4. Modelagem (3) (4) 4.1. Estacionaridade

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1 24 4. Modelagem Em um modelo esaísico adequado para se evidenciar a exisência de uma relação lead-lag enre as variáveis à visa e fuura de um índice é necessário primeiramene verificar se as variáveis logarimo neperiano dos preços à visa e fuuro possuem raízes uniárias, conseqüenemene, as séries seriam não esacionárias. Em seguida, verificar se as variáveis logarimo neperiano dos reornos à visa e fuuro não possuem raízes uniárias, conseqüenemene, as séries seriam esacionárias. As variáveis logarimo neperiano dos reornos à visa e fuuro são dadas, respecivamene, por: s = l n( S / S 1 ) (3) f = l n( F / F 1 ) (4) 4.1. Esacionaridade Uma série é dia esacionária quando não há comporameno de endência definido e ela freqüenemene cruza sua média (zero). Uma série com essas caracerísicas ambém é conhecida como ruído branco. Já uma série não esacionária exibe movimenos que a faz se disanciar de sua média, que ela cruza raramene ou nunca, dependendo do ipo de não esacionaridade (Brooks 2002). Uma série dia não esacionária é caracerizada pelo não decaimeno dos erros passados, iso é, os valores dos ruídos de períodos aneriores vão er um efeio não descendene nos valores correnes da variável dependene.

2 25 105,0 100,0 95,0 90,0 85,0 80,0 75,0 70,0 65,0 60,0 jan-08 fev-08 mar-08 abr-08 mai-08 jun-08 jul-08 ago-08 se-08 ou-08 DJIA SPOT DJIA FUTURE Figura 1 Exemplo de séries não esacionárias. Dow Jones Indusrial Average à visa e fuuro. Fone: Bloomberg 4.2. Tese de Dickey-Fuller Para se verificar as esacionaridades das séries log-preço e log-reorno dos índices à visa e fuuro, basa rodar um ese de Dickey-Fuller Aumenado, ambém conhecido como Augmened Dickey-Fuller Tes ou ADF es, que em como hipóese nula a exisência de raiz uniária (Ho: φ = 1), assim, se o p-valor resulane do ese de Dickey-Fuller Aumenado for menor que 5%, rejeia-se a hipóese nula de exisência de raiz uniária com um grau de confiança de 95% e com isso conclui-se que as séries em quesão são de fao esacionárias (Brooks 2002). A equação da eoria de Dickey-Fuller pode ser expressa por: y = ϕ y + u (5) 1 H : ϕ = 1 0

3 Tese de Duas Eapas de Engle-Granger A eoria por rás da relação de lead-lag exige que haja um equilíbrio de longo prazo e para isso não basa que a formulação conenha somene diferenciais de primeira ordem, é necessário que haja uma relação ineremporal enre as variáveis à visa e fuura. A solução, enão, é verificar se exise uma relação de coinegração enre as séries de log-preço dos índices fuuro e à visa (Brooks, Rew e Rison 2001) e para isso, uilizamos a meodologia de Duas Eapas de Engle- Granger. Esa consise em rodar uma regressão simples uilizando o modelo de Mínimos Quadrados Ordinários que se pode expressar por: lns = γ + γ l nf (6) 0 1 E em seguida rodar o ese de Dickey-Fuller Aumenado para o resíduo dessa regressão, caso a série do resíduo se verifique esacionária, fica comprovado a relação de co-inegração enre as séries de log-preço dos índices fuuro e à visa. Comprovada a relação de co-inegração enre as séries fuuro e à visa do índice, o Teorema de Represenação Granger anuncia que há um Modelo de Correção de Erro correspondene. O Modelo de Correção de Erro para o log-preço à visa e fuuro pode ser expresso por: r l ns = β + δzˆ + β l ns + α l nf + ε (7) 0 1 i i i i= 1 j= 1 s Onde ẑ = ln S - γ0 - γ1 ln F são os resíduos da regressão de primeira eapa dos log-preços (o ermo de correção de equilíbrio).

4 Tese de Causalidade de Granger Todavia, exise a possibilidade que as séries de log-preço dos índices fuuro e à visa possuam uma relação de causalidade bi-direcional, ou seja, uma série implica na oura e vice-versa. Para esarmos essa possibilidade, opamos por rodar o Tese de Causalidade de Granger que consise em usar um ese-f para verificar se dados passados de uma variável Y possuem alguma informação esaisicamene significane sobre oura variável X na presença de dados passados de X. Se possuir, dizemos que Y causa X. Exisem várias maneiras de se implemenar o Tese de Causalidade de Granger. Um méodo simples seria usar a especificação auoregressiva de uma auoregressão veorial bivariada (SAS Insiue Inc 2009). Assuma um período passado p e esime a equação sem resrição que se segue pela meodologia de Mínimos Quadrados Ordinários: p x = c + α x + β y + u 1 i i i i i= 1 i= 1 p (8) H 0 : β 1 = β 2 =... = β p = 0 Conduza um ese-f da hipóese nula esimando a equação resriiva a seguir ambém pela meodologia dos Mínimos Quadrados Ordinários: p = + γ i i + ε (9) i= 1 x c x Compare suas respecivas somas dos resíduos quadrados e se a esaísica do ese for maior que um valor críico específico, enão rejeiamos a hipóese nula de Y não causar X.

5 Meodologia dos Mínimos Quadrados em Dois Eságios Caso haja comprovação de uma relação de causalidade bi-direcional das séries esadas, eremos que refazer o ese de Duas Eapas de Engle-Granger e rodar uma regressão uilizando a meodologia dos Mínimos Quadrados em Dois Eságios, pois a regressão com a meodologia dos Mínimos Quadrados Ordinários fica compromeida devido ao problema de simulaneidade. A meodologia dos Mínimos Quadrados em Dois Eságios é um méodo de regressão para cobrir modelos que violem as hipóeses de recursividade da regressão pela meodologia dos Mínimos Quadrados Ordinários, especificamene modelos onde o ermo de disúrbio da variável dependene é correlacionado com as causas das variáveis independenes (Oliveira 2008). A meodologia dos Mínimos Quadrados em Dois Eságios é definida por (1) um eságio onde variáveis dependenes ou endógenas novas são criadas para subsiuir as variáveis originais, e (2) um eságio onde a regressão é operacionalizada pela meodologia dos Mínimos Quadrados Ordinários, no enano, usando as variáveis dependenes novas. O propósio do primeiro eságio é criar variáveis dependenes novas que não violem as hipóeses de recursividade da regressão pela meodologia dos Mínimos Quadrados Ordinários Tese de Co-inegração de Johansen e Juselius Ouro modelo para se evidenciar a relação de co-inegração enre as séries fuuro e à visa do índice, como o objeivo deecar se há relacionameno de longo prazo enre as variáveis, seria o Tese de Co-inegração de Johansen e Juselius (Johansen e Juselius 1990). Sendo a hipóese nula de que exisem pelo menos r veores de co-inegração represenada maemaicamene por: H0: λi = 0 i = r + 1,..., n (10) Ou seja, somene os primeiros r auovalores (λ) são diferenes de zero. Essa resrição pode ser imposa para diferenes valores de r. O próximo passo consise

6 29 na comparação do valor do logarimo da função de verossimilhança do modelo com resrição relaivamene ao logarimo da função de verossimilhança do modelo sem resrição. Esse ese é denominado de esaísica raço e é represenado em ermos algébricos como: λraço = -2log(Q) (11) Onde Q = (função de verossimilhança resria maximizada dividida pela função de verossimilhança sem resrição maximizada). Apesar do Tese de Co-inegração de Johansen apresenar ambém a esaísica Máximo Auovalor, focaremos apenas na primeira esaísica nesse rabalho Modelo Veorial de Correção de Erro Um Modelo Veorial de Correção de Erro ou Vecor Error Correcion Model (VECM) pode vir a ser necessário caso o ese de Co-inegração de Johansen evidencie a presença de um veor de co-inegração. Esse modelo pode ser represenado por: z =Γ z + +Γ z + z +Φ D + u K (12) 1 1 k 1 k+ 1 k Onde, Γi = - (I - A Ai), (i = 1,..., k - 1), e Π = - (I - A Ak). O Modelo Veorial de Correção de Erro especifica as dinâmicas de curo prazo para cada variável no sisema em um arcabouço eórico em que direciona as dinâmicas para a relação de equilíbrio de longo prazo sugerida pela eoria econômica. A exisência de um equilíbrio de longo prazo não previne a exisência de desvios no curo prazo. Phillips (Phillips 1998) mosrou que projeções baseadas em um Modelo Veorial de Correção de Erro que expliciamene esimam a relação de co-inegração e raízes uniárias são consisenes e assinoicamene óimas. Empiricamene, a lieraura de projeções (forecasing) ende a respaldar a superioridade dos Modelos Veoriais de Correção de Erro para

7 30 projeções de um horizone de longo prazo, embora essa vanagem não seja ão clara para o curo prazo Tese de Heerocedasicidade de Whie Um ese e suma imporância que deve ser implemenado nese rabalho é o Tese de Heerocedasicidade de Whie para verificar a exisência de auocorrelação dos resíduos das regressões. Segundo Brooks (Brooks 2002), o ese de Whie é obido aravés de uma regressão auxiliar, onde a variável dependene é composa pelo veor dos resíduos, e as independenes são as variáveis explicaivas, seus valores elevados ao quadrado e os produos cruzados desas mesmas variáveis. Por fim, a esaísica é calculada muliplicando o R 2 da regressão auxiliar pelo amanho da amosra. Esa esaísica segue assinoicamene disribuição Qui-quadrada, com grau de liberdade igual ao número de regressores (excluindo o ermo consane) da regressão auxiliar. O Tese de Heerocedasicidade de Whie em como hipóese nula a homocedasicidade dos resíduos Modelo GARCH Caso venhamos a verificar a exisência de resíduos heerocedásicos, eremos de rodar um ese do modelo GARCH (Generalised Auorgressive Condiionally Heeroscedasic Model) que raa de variáveis não-lineares. Com o modelo GARCH é possível inerprear a variância correne como uma função ponderada de um valor médio de longo prazo, informação de volailidade de períodos passados e a variância do modelo durane períodos passados (Brooks 2002). Podemos represenar esse modelo por: q p = 0 + iu i + j j i= 1 j= 1 (13) σ α α β σ

8 31 2 σ Onde é a variância condicional. Usando o modelo GARCH é possível inerprear a variância correne como uma função ponderada de um valor médio de longo prazo (dependene de α 0 ), informação sobre a volailidade de períodos 2 passados ( α u ) e a variância do modelo durane períodos passados ( β σ ). i i 2 j j