Econometria Semestre

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1 Economeria Semesre CAPÍTULO ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS CONCEITOS BÁSICOS.. ALGUMAS SÉRIES TEMPORAIS BRASILEIRAS Nesa seção apresenamos algumas séries econômicas, semelhanes às exibidas por Gujarai. A idéia é rabalhar ambém, nese capíulo, com dados nacionais. Talvez a primeira coisa a fazer ao modelar uma série emporal é apresenar seu gráfico ao longo do empo. Esa práica simples é imporane, pois mosra se a série em endência e sazonalidade, se sua variabilidade aumena ou diminui com o empo, ec, o que fornece informações imporanes sobre a esacionariedade (ou não) da série. Por exemplo, a figura a seguir mosra as imporações e exporações brasileiras FOB a parir do úlimo rimesre de 994 em milhões de dólares. Figura Imporações e Exporações FOB (US$ milhões) Imporações - (FOB) - US$(milhões) - BCB Boleim/BP - BPN4_MTV4 994 T4 995 T 995 T4 996 T 996 T4 997 T 997 T4 998 T 998 T4 999 T 999 T4 000 T 000 T4 00 T 00 T4 00 T 00 T4 003 T 003 T4 004 T 004 T4 005 T 005 T4 006 T 006 T4 007 T 007 T4 008 T 008 T4 009 T 009 T4 Exporações - (FOB) - US$(milhões) - BCB Boleim/BP - BPN4_XTV4 Noa se claramene na figura o aumeno de ambas (imporações e exporações) a parir de 00. Também se percebe que o saldo da balança comercial foi quase zerado no fim do período ( o. rimesre de 00). Noa: FOB = Free on Board. O vendedor é o responsável pelo desembaraço da mercadoria para exporação

2 Economeria Semesre A figura exibe o PIB, o consumo das famílias e a formação brua de capial, odos em número índice. No caso do PIB e do consumo das famílias, noa se uma endência de crescimeno ao longo de quase odo o período apresenado. A formação brua de capial (ambém em número índice), em um comporameno bem mais erráico. Figura PIB, Consumo das Famílias e Formação Brua de Capial - em número índice T4 995 T 995 T4 996 T 996 T4 997 T 997 T4.. PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Definição.. (processo esocásico) 998 T 998 T4 999 T 999 T4 000 T 000 T4 00 T 00 T4 00 T 00 T4 003 T 003 T4 004 T 004 T4 005 T 005 T4 006 T 006 T4 007 T 007 T4 008 T 008 T4 009 T 009 T4 PIB rimesral (995=00) - Dados dessazonalizados - Produo Inerno Bruo a preços de mercado - Índice PIB rimesral (995=00) - Dados dessazonalizados - Consumo das famílias - Índice Capial - formação brua - índice encadeado (média 995 = 00) - IBGE/SCN 000 Trim. - SCN4_FBKI4 Um processo esocásico (ou processo aleaório) é uma coleção de variáveis aleaórias definidas num mesmo espaço de probabilidades geralmene represenamos um processo esocásico por: { X() : T } onde normalmene represena o empo (ou, em alguns casos, espaço). X() é chamado de esado do processo no insane, e é uma variável aleaória. O conjuno T é o conjuno de índices, ou espaço paramérico do processo esocásico. A cara dese espaço paramérico nos permie separar os processos esocásicos em conínuos ou discreos, como na próxima definição.

3 Economeria Semesre Definição.. (Processos Conínuos e Discreos) Um processo esocásico {X() : T} é um processo conínuo (ou processo com parâmero conínuo) se o conjuno T é um inervalo (finio ou infinio) de números reais. Ao conrário, se o conjuno de índices T é um conjuno finio ou conável, por exemplo, T = {,, 3,...) ou T ={, 9, 43, 79} dizemos que o processo esocásico é um processo discreo (ou processo com parâmero discreo). Se o processo é discreo, freqüenemene mudamos a noação para X (ao invés de X()). Logo, um processo esocásico é uma coleção de variáveis aleaórias ordenadas no empo. Em resumo: Um processo esocásico é uma família de variáveis aleaórias que descreve a evolução no empo ou espaço de algum processo físico. Aqui esaremos ineressados apenas em processos discreos, nos quais o índice do empo é T = {,,..., N}. Definição.3. (Série Temporal) Uma Série Temporal é um conjuno de observações ordenadas no empo (não necessariamene igualmene espaçadas), e que apresenam dependência serial (iso é, dependência enre insanes de empo). A noação usada aqui para denoar uma Série Temporal é Y, Y, Y 3..., Y N, que indica uma série de amanho N. O insane N geralmene indica o úlimo insane disponível. De uma maneira um pouco mais formal, dizemos que uma série emporal é uma realização de um processo esocásico. Uma série emporal {Y, Y, Y 3..., Y N } pode ser encarada como uma realização de um processo esocásico. Para descrevermos compleamene um processo esocásico precisamos especificar a disribuição conjuna do veor {Y, Y, Y 3..., Y N }. Suponha que os Y s são conjunamene Gaussianos. Enão, para conhecer a sua disribuição conjuna, basa especificar o veor de médias {μ, μ,..., μ N } e a mariz de variância covariância Σ. Mas, Σ é uma mariz simérica de dimensão N, e coném N(N+)/ elemenos diferenes. Logo, a complea especificação dese processo

4 Economeria Semesre requer o conhecimeno de N + N(N+)/ parâmeros. Podemos perceber claramene que inferir sobre odos eses parâmeros com base em apenas uma realização do processo é uma arefa impossível, e porano algumas simplificações devem ser feias. A hipóese simplificadora mais comum é esacionariedade. Definição.4. (Processo Esacionário) Dizemos que um processo esocásico é esacionário se ele aingiu o equilíbrio. Em ermos formais, num processo esacionário, a disribuição de probabilidade conjuna nos insanes,,..., m é a mesma que a disribuição nos insanes +k, + k,..., m + k para qualquer k, ou seja, um descolameno de k unidades de empo não afea a disribuição de probabilidade conjuna. Noe que, nesa definição, m é arbirário. Se omarmos m = acima, segue que, num processo esacionário, a disribuição marginal de Y é a mesma que a disribuição marginal de Y +k. Logo, a disribuição marginal de Y não depende do insane de empo escolhido e, em paricular, a média e variância de Y são consanes para qualquer. Analogamene, se m =, as disribuições de probabilidade bivariadas p(y, Y +k ) não dependem de, e enão a covariância enre Y e Y +k depende apenas do lag k. Em resumo, a condição de esacionariedade implica em: Média do processo é consane; Variância do processo é consane; Covariância enre Y e Y +k depende apenas do lag k. Definição.5. (Processo Esacionário de a. ordem ou fracamene esacionário) Um processo é dio fracamene esacionário (ou esacionário de a. ordem) se esas rês condições são saisfeias (média consane, variância consane e covariância que só depende do lag ). Noe que esas condições referem se apenas aos dois primeiros momenos da disribuição de probabilidade dos Y s, o que explica a erminologia processo esacionário de a. ordem". A definição de esacionariedade mais geral envolve momenos de odas as ordens (m arbirário na definição) e é muio mais complicada de verificar que a esacionariedade de segunda ordem. Se os Y s são conjunamene Gaussianos, as duas condições (esacionariedade esria e esacionariedade de a. ordem) são equivalenes.

5 Economeria Semesre O uso de esacionariedade fraca é ão comum que muias vezes, ao nos referirmos a um processo como esacionário, o que emos em mene é um processo fracamene esacionário. Logo, por convenção, se nada for dio a respeio do ipo de esacionariedade de um processo, suponha que ele é fracamene esacionário! Definição.6. (Auocovariância de lag k) A auocovariância de lag k é definida como a covariância enre Y e Y +k iso é: γ k = Cov(Y, Y +k ) = E[(Y μ)(y +k μ)] para k = 0,,,... Noe que γ 0 = Var(Y ) = σ pois Cov(Y, Y ) = Var(Y ). A auocovariância é uma das funções usadas na idenificação da esruura de um modelo ARIMA. Definição.7. (Auocorrelação de lag k) A auocorrelação de lag k é definida como: ( Y, Y k ) γ k = ( Y ) σ Cov + ρk = para k = 0,,,... Var Noe que ρ 0 = sempre. As definições.6. e.7. referem se à auocovariância e auocorrelação eóricas. Na práica, apenas observamos uma série emporal, e esas funções devem ser esimadas a parir da série. A seguir definimos a auocovariância e auocorrelações amosrais, iso é, calculadas a parir dos dados observados (ou seja, a parir da série emporal). Normalmene iremos nos referir à função de auocorrelação como ACF (do inglês, Auocorrelaion Funcion). Também, pela esacionariedade do processo, ρ k = ρ k, e porano basa fazer o gráfico para as auocorrelações com lags posiivos. Ese gráfico é chamado de correlograma. Definição.8. (Auocovariância amosral de lag k) N-k ck = ( Y Y ).( Y + k Y ) N = Noe que, para o lag zero, esa expressão orna se:

6 Economeria Semesre N c0 = ( Y Y ) N = que é a variância amosral da série. Definição.9. (Auocorrelação amosral de lag k) r k c = c k 0 = N-k = ( Y T = Y ).( Y ( Y + k Y ) Y ) Da expressão anerior segue que r 0 = sempre! Essas esimaivas são assinoicamene não endenciosas quando N (o amanho da série). Em geral deve se er N 50 (e k, o número de defasagens, N/4). Fórmula de Barle Sob a hipóese ρ k = 0 para odo lag k > U (onde U indica um lag grande ) segue que: cov N U ( rk, rk s ) ρ ρ i i= U + s i S Valores sucessivos de r k podem exibir alas correlações. Fazendo s = 0 na equação anerior leva a: Var N U ( rk ) i= U ρ i Para N grande e sob a hipóese ρ k = 0, a disribuição de r k é aproximadamene Normal com média zero e variância N U i= U ρ. Na práica as correlações (desconhecidas) são subsiuídas na i expressão acima por seus esimadores r k e enão: Var + N U ( ) r k r i i=

7 Economeria Semesre Esa fórmula será usada para ober inervalos de confiança para r k. Também, se o amanho (N) da série é grande, r k é aproximadamene Normal com média zero, e os inervalos de confiança podem ser consruídos a parir desa disribuição. Exemplo Considere as séries da figura. A seguir exibimos os gráficos das auocorrelações das rês séries. ACF da série de exporações ACF da série de imporações Os correlogramas das duas séries êm uma caracerísica em comum: o decaimeno das auocorrelações é muio leno noa se que exisem auocorrelações significanes aé 5 rimesres anes para as duas séries. O decaimeno leno da função de auocorrelação é uma das caracerísicas marcanes de séries não esacionárias.

8 Economeria Semesre Você verá, ao longo dese capíulo, uma grande preocupação a respeio da esacionariedade de uma série. Por que? Numa série não esacionária, a média (ou a variância, ou ambas) da série varia com o empo, e nese caso só podemos esudar seu comporameno para o período disponível, ou seja, não é possível generalizar as conclusões para ouros períodos de empo. Um exemplo clássico de série não esacionária é o passeio aleaório ( random walk ). Anes de defini lo, precisamos recordar a noção de ruído branco. Um processo esocásico ε é um ruído branco se sua média é zero, sua variância é consane, e ermos sucessivos não apresenam correlação serial em qualquer defasagem. Podemos consruir um passeio aleaório a parir de um ruído branco. É imporane desacar que consideraremos dois ipos de passeio aleaório, com endência e sem endência. Passeio aleaório sem deslocameno ( drif ) A série Y é um passeio aleaório se: = Y Y + u (.3.4) onde u é um ruído branco. Esa é a equação de um processo AR() em que ρ = +. Esa equação é usada para modelar aivos financeiros quando acrediamos que a hipóese de mercados eficienes é válida. O que isso quer dizer? Que o preço de um aivo no insane é o preço no insane anerior mais um erro de média zero, com variância consane, e que a previsão do preço do aivo amanhã é o preço de hoje, e assim não exise possibilidade de ganhos no mercado usando a informação das observações passadas. Quais as implicações da equação (.3.4)? Vamos escrevê la a parir do insane inicial. Se a observação inicial é Y 0 enão, num insane qualquer podemos escrever:

9 Economeria Semesre A média no insane é: Pois odos os u êm média zero. Ou seja, a média em qualquer insane é igual ao valor inicial, é uma consane. A variância no insane é: Isso decorre imediaamene da expressão (.3.5), pois: var( Y ) = var Y0 + ui = var ui =.var i =. i= i= ( u ) σ Noe que, à medida que aumena, a variância de Y cresce indefinidamene, o que viola uma das condições de esacionariedade. Uma das caracerísicas do passeio aleaório sem deslocameno é a persisência dos choques aleaórios, iso é, o efeio de cada ermo de erro u não se dissipa ao longo do empo. Assim, podemos dizer que o passeio aleaório em memória infinia, pois guarda a informação de odos os choques sofridos aé o período correne. Uma caracerísica imporane do passeio aleaório sem deslocameno é: sua primeira diferença é um processo esacionário. Isso é fácil de verificar pois: Assim, se enamos modelar uma série e ela se parece com uma random walk, uma boa idéia é irar a primeira diferença da série e verificar se a série resulane é esacionária. Passeio aleaório com deslocameno ( drif ) A equação (.3.4) é modificada da seguine forma:

10 Economeria Semesre Onde δ é o parâmero de deslocameno ( drif ). Por que deslocameno? Basa escrever a equação anerior em ermos da primeira diferença: Y se desloca para cima ou para baixo dependendo de δ ser posiivo ou negaivo. A média e variância de Y são dadas por: Desas equações noamos que nem a média nem a variância do processo são consanes, e assim o passeio aleaório com deslocameno e claramene não esacionário. Exemplo simulação de um passeio aleaório Geramos 500 erros iid N(0,) e, a parir deles consruímos duas séries de passeio aleaório, com e sem deslocameno, e com valor inicial Y 0 = 00. Os valores gerados esão na planilha simulação_random_walk_capiulo_.xls e o usuário pode alerar o valor de δ e verificar o efeio sobre a série gerada. A figura 3 mosra o passeio aleaório SEM deslocameno e a figura 4 apresena um passeio aleaório com drif = 0,. Figura 3 Passeio aleaório SEM deslocameno - valor inicial

11 Economeria Semesre Figura 4 Passeio aleaório COM deslocameno - valor inicial 00 e "drif" drif = 0, O passeio aleaório é um caso paricular de processos esocásicos conhecidos como processos de raiz uniária. Considere o modelo AR(): O processo é um passeio aleaório sem deslocameno (e enão é um processo não esacionário) quando ρ = +. Se ρ =, o processo ambém é não esacionário (verifique!). Se ρ < o processo descrio por (.4.) é esacionário. Definição.0. (Operador de araso, backward shif operaor ) O operador de araso B é definido como: B.Y = Y. Também, suas poências são dadas por: B k Y = Y k. O modelo AR() pode ser escrio em ermos do operador de araso, como: ( ρ.b)y = u O processo será esacionário se ρ <, ou seja, se a raiz de ρ.b = 0, que é B=/ρ esiver FORA do círculo uniário. O processo em raiz uniária se B =, ou seja, se ρ =, indicando que o processo é uma random walk.

12 Economeria Semesre Assim, na práica é fundamenal verificar se uma série em raiz uniária, pois isso significa verificar se ela não é esacionária..3. PROCESSOS ESTACIONÁRIOS NA TENDÊNCIA E ESTACIONÁRIOS NA A. DIFERENÇA Uma quesão imporane na modelagem de séries econômicas é verificar se a endência de uma série é deerminísica ou esocásica. Considere o seguine modelo: O passeio aleaório é um caso paricular dese modelo em que β = 0, β = 0 e β 3 =. O passeio aleaório com deslocameno é obido fazendo se β 0, β = 0 e β 3 =. Podemos reescrever ese processo em ermos da a. diferença e enconramos: β é a endência dese processo, e é denominada uma endência esocásica. O processo (.5.3a) é esacionário na a. diferença, ou seja, a a. diferença da série do passeio aleaório com deslocameno é uma série esacionária. Se, na equação (.5.), β = 0, β 0 e β 3 = 0, emos: Ese é um processo esacionário em endência. Por que? Embora ele enha média β + β., que não é consane, sua variância é consane. O processo (.5.4) em uma endência deerminísica β + β. e pode ser ransformado num processo esacionário após a remoção da endência. Passeio aleaório com deslocameno e endência deerminísica

13 Economeria Semesre Ao diferenciarmos a equação anerior enconramos: A série de a. diferença exibe uma endência deerminísica. O processo Y é claramene não esacionário. Tendência deerminísica com componene AR() esacionário Considere o modelo abaixo no qual supomos que β 3 <. Y é uma série esacionária em orno de uma endência deerminísica. Exemplo simulação Na figura a seguir comparamos séries com endência esocásica e deerminísica. Geramos 500 erros iid N(0,) e, a parir deles consruímos duas séries, uma com endência deerminísica e oura com endência esocásica. Em ambos os casos o pono inicial é Y 0 = 00. As séries foram geradas da seguine maneira: - Tendência deerminísica: Y = 0,. + u - Tendência esocásica: Y = 0, + Y + u Na série com endência deerminísica, os desvios em relação à linha de endência são puramene aleaórios e não impacam o comporameno de longo prazo da série. Na série com endência esocásica, o componene aleaório u afea a rajeória de longo prazo da série. Séries com endência esocásica e deerminísica endência esocásica endência deerminísica