Enunciado genérico. Trabalho: Séries Temporais Disciplina: Estatística Ambiental

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1 Enunciado genérico Trabalho: Séries Temporais Disciplina: Esaísica Ambienal Criérios de escolha da série 1. A série escolhida deverá er uma exensão, N, de pelo menos 150 observações da variável em esudo;. O período de amosragem (ou unidade de empo), inervalo de empo enre observações consecuivas, deve ser consane. 3. A série não deve exibir lacunas (missing values); 4. A série não deve exibir valores anómalos (ouliers), em número significaivo. 5. Dever-se-ão, se possível, excluir séries que exibam variações abrupas, desconinuidade aparene, do seu nível médio. Resumo dos ópicos principais do rabalho Noa prévia: supõe-se que o desenvolvimeno dos principais ópicos do rabalho se apoia na uilização de funções/roinas escrias para o programa MATLAB, componenes de Toolbox denominada TSA (Time Séries Analysis). O rabalho a desenvolver pode ser dividido em duas pares: Pare I. Decomposição/Esacionarização da série original. A série original raramene pode ser visa como realização de processo esocásico esacionário, pelo que a sua análise (da série) compora passos com visa a ober uma série residual/ransformada que possa ser visa como al. Resumo dos principais passos da Pare I. a) Esacionarização da variância Da inspecção visual do cronograma 1 (ime plo) da série original, avaliar se a ampliude das oscilações, movimenos, em orno de uma endência não periódica (nível médio), exibe um padrão consisene de variação, crescene ou decrescene (não esacionária em variância). Em caso afirmaivo, enar a aplicação de ransformações, como a logarímica ou a raiz quadrada (as mais frequenes), de modo a ober-se uma série ransformada que seja esacionária em 1 Represenação, em gráfico, dos valores observados da variável em função do parâmero discreo, múliplo ineiro da unidade de empo ou período de amosragem.

2 variância. A ransformação de Box-Cox, é uma ransformação não linear mais geral, de que a ransformação logarímica e raiz quadrada são casos especiais. b) Com base na série esacionarizada em variância, podem seguir-se dois caminhos alernaivos, a saber: b 1 ) Decomposição clássica com Dessazonalização, consise na idenificação/modelação e remoção da componene cíclica sazonal, cujo período, d, deve poder ser facilmene especificado. A dessazonalização da série compreende a idenificação e remoção da componene sisemáica periódica (cíclica). Uilizar o comando em MATLAB >> [ Z _, S _ ] = seascomp1( X _, d) com X_ a série a dessazonalizar, d o período do ciclo sazonal, Z_ a série dessazonalizada e S_ a componene sazonal. Quando o nível médio da série em variação pouco acenuada, pode-se uilizar o comando >> [ Z _, M _, S _ ] = seascompm1( X _, d) onde M_ é a série das médias por ciclo. Idenificação/modelação, por regressão linear múlipla, da componene sisemáica denominada endência não periódica (nível médio global), caso a série dessazonalizada exiba, em oda a sua exensão, um padrão consisene de crescimeno/decrescimeno ou variação ajusável por um polinómio de baixo grau (aé 3º grau). Exemplificação de comandos em MATLAB para ajusameno de polinómio do º grau, m = c0 + c 1 + c, à endência, m, da série sem componene sazonal ou dessazonalizada: >> = ' ( N) [ ] 1: ; % Vecor coluna dos insanes de observação >> A = ones( size( )).^ ; >> b = Z _ ; % Z _ vecor coluna da série semcomponenesazonal >> coef = A \ b; % Solução de mínimos quadrados lineares >> m_ = A* coef; % componene endência global >> s = sum(( m_ b).^ ) /( N 3); % Variância esimada dos resíduos >> Covar = s* inv( A A); % Variância-covariância dos esimadores dos coeficienes >> s coef = sqr( diag( Covar)); % Desvios padrão dos esimadores dos coeficienes >> _ coef = coef./ s coef % Esaísica Suden hipóese nula de coeficienes iguais a 0 X 1 X 1,com série original e, parâmero no inervalo -1,1. lim log. Z = X [ ] = ( X ) e 0

3 Gerar série residual, Y, por subracção à série esacionária em variância, X, das componenes sisemáicas cíclica/sazonal e de endência. Nese pono, assume-se que série residual é realização de processo esocásico esacionário. >> Y = X _ S_ m_ ; b ) Aplicação dos operadores de diferenciação simples, = ( 1 B), onde B é o operador S araso, e de diferenciação sazonal, S ( 1 B ) = (de período S conhecido), à série esacionária em variância, X, de modo a ober-se série ransformada/diferenciada, Y, sem aparenes componenes sisemáicas sazonal e de endência não periódica. Esa série será denominada série residual, visa como realização de processo esocásico esacionário. Exemplificação com comandos em MATLAB: Neuralização/eliminação da componene esriamene periódica de período S >> Z _ = diffd( X _, S); Neuralização/eliminação de endência linear da série dessazonalizada Z _ >> Y _ = diff( Z _ ); c) Tese de aleaoriedade pura da série residual Y. A série residual, Y, visa como uma realização de processo esocásico esacionário, obida por um dos caminhos alernaivos deve ser sujeia a ese/ensaio da hipóese nula de a série ser aleaória pura 3, mediane o cálculo e aplicação de esaísicas ese. O ese principal, e mais frequene, é baseado na função de auocorrelação esimada, correlograma 4. Em MATLAB, o correlograma pode ser obido com o comando: >> rho _ k = acf ( Y _, plo _ flag, k _ max); com rho _ k, vecor de (k_max + 1) coeficienes de auocorrelação esimados para os desfasamenos k = 0,1,,,k_max. O segundo argumeno, plo_flag, especifica se no correlograma são ambém raçados os limies críicos (linhas) de ese/ensaio da nulidade dos coeficienes de auocorrelação, com ordenadas de ± para um nível de significância de N 5% (aproximadamene). 3 Iso é, uma realização de processo esocásico esacionário especial conhecido, enre os engenheiros de conrolo e de processameno de sinal, como processo ruído branco. 4 Variação dos coeficienes de auocorrelação esimados para desfasamenos (lags) k de pelo menos 36 unidades de empo.

4 Adicionalmene, esimar a função de auocorrelação parcial para desfasamenos k de pelo menos 36 5 unidades de empo. Uma regra práica propõe/sugere k_max = max(36, N/4); O comando em MATLAB para gerar os coeficienes de auocorrelação parcial, phi_k, k = 0,1,,,k_max, é exemplificado na linha seguine: >> phi _ k = pacf ( acvf ( Y _ ), k _ max, plo _ flag, plo _ cl), com acvf, a função de cálculo das auocovariâncias para os desfasamenos k, plo_flag se diferene de 0, o correlograma parcial é desenhado e se plo_cl diferene de 0, os limies críicos acima referidos são ambém desenhados no correlograma parcial. Noar que esas duas funções devem ambém ser esimadas para a série original. Caso o ese conclua pela aleaoriedade pura da série residual, erminar o exercício, especificando o modelo maemáico final que será, conforme o caminho adopado: Caso b1) Modelo: X = m + S + Y, com Y série residual aleaória pura (sucessão de variáves aleaórias independenes e idenicamene disribuídas com média 0 e variância σ Y ). d D Caso b) Modelo(exemplo): ( X ) = Y, onde d e D são as ordens, respecivamene, dos S operadores diferenciação simples e de diferenciação sazonal de período S. Em geral, as ordens d e D raramene excedem 1. Em qualquer dos casos, X é a série esacionária em variância, pelo que se esa não coincidir com a série original, deve ser aplicada a ransformação inversa da ransformação logarímica ou raiz quadrada (as mais frequenes), em ordem a modelar a série original. Pare II. Modelação da sucessão residual,, enquano sucessão de variáveis aleaórias não independenes ou auocorrelacionadas (processo esocásico esacionário). A Pare II, compreende as seguines eapas: a) Especificação das ordens, p e q, de modelo linear ARMA(p,q). As funções de auocorrelação (oal) e parcial esimadas podem ajudar (e normalmene ajudam) a especificar valores iniciais para as ordens p e q. Ese passo exige considerável experiência da pare do analisa. b) Esimação de parâmeros, por formulação e resolução de problema de mínimos quadrados não lineares (nos parâmeros). Ese exercício, pela sua complexidade, deve ser feio com a assisência direca do docene. Os resulados a ober são: Y 5 3 ciclos sazonais de período igual a 1 meses.

5 Valores esimados (esimaivas ponuais) dos parâmeros φ i, i = 1,,..., pe θ j, j = 1,,..., q e variância, ˆw σ, da série residual (ruído branco); Mariz de variância-covariância, Covar, dos esimadores dos parâmeros φ i, i = 1,,..., p e θ j, j = 1,,..., q. Inervalos de confiança para os φ i, i = 1,,..., p e θ j, j = 1,,..., q do modelo ARMA(p,q) ; Para os mais afoies, segue uma breve exemplificação de comandos em MATLAB para dar cumprimeno a esa alínea: >> pah( pah, '. \ immopibox '); % Especificar direcório das roinas de opimização >> % Resolução ieraiva do problema de Mínimos Quadrados Não Lineares >> % Méodo de Levenberg - Marquard ' ' >> [ param, info, perf, Jacobiana] = smarquard(' SQC _ ARMA', [ φes, θes ], [], [], p, q, Y _ ); >> param _ op = param(:, end); % Esimaivas de mínimos quadrados dos parâmeros >> w_ = SQC _ ARMA( param _ op, p, q, Y _ ); % Série residual >> s w_ MQ = sum( w_.^ ) /( N - p- ( p+ q)); % Esimaiva da variância da série residual >> % Mariz de variância - covariância dos esimadores d os parâmeros: Covar_MQ >> Covar _ MQ = s w _ MQ inv( Jacobiana Jacobiana); >> s_ MQ = sqr( diag( C_ MQ)); % Desvios padrão esimados dos esimadores dos parâmeros c) Avaliação da qualidade esaísica do modelo ajusado (Tesando: 1) a hipóese de nulidade dos parâmeros φ i, i = 1,,..., p e θ j, j = 1,,..., q; ) as condições de causalidade e inveribilidade do modelo ajusado, mediane o cálculo das raízes dos polinómios auoregressivo e de média móvel; 3) ocorrência de raízes/facores comuns enre os polinómios auoregressivo e de média móvel; 4) ocorrência de raízes próximas da unidade; Avaliação da qualidade do ajusameno (Análise dos resíduos- vidé ese de aleaoriedade pura da série residual.). Para mais pormenores, vide pono 3.5 das noas sobre Séries Temporais. d) Simulação. Gerar realização do processo esocásico esacionário. O resulado final será um modelo ARMA(p,q) para o processo esocásico esacionário, Y ( BY ) = ( Bw ), { w} N WN( 0, w) φ θ σ = 1