Incertezas na Robótica Móvel Filtros Bibliografia Recomendada. EESC-USP M. Becker /78
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- Manoel Barata Cavalheiro
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1 Aula 5 Inrodução à Robóica Móvel Lidando com Incerezas Prof. Dr. Marcelo Becker EESC - USP
2 Sumário da Aula Inrodução às Incerezas Incerezas na Robóica Móvel Filros Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 009 /78
3 Inrodução às Incerezas Origem Ineaidão dos equipamenos de medida bias uncerainy Variações randômicas na medida precision uncerainy Em projeos, a esimaiva das incerezas deve ser feia num nível de confiabilidade da ordem de 95% EESC-USP M. Becker 009 3/78
4 Inrodução às Incerezas Propagação das Incerezas: A incereza dos resulados finais depende da incereza de cada medida individualmene Eemplo:, I V P P P P P δ δ δ δ δ ± I I I V V V I V P δ δ ± ± EESC-USP M. Becker 009 4/78
5 Inrodução às Incerezas Caso Geral: R f,, L, n δr R R δ δ L δ n R n R i δ i δr : Coeficiene de Sensibilidade de R com relação a i : incereza de i Pode ser nulo caso os ermos se cancelem EESC-USP M. Becker 009 5/78
6 Inrodução às Incerezas Caso Geral de Propagação de Incerezas Incereza Máima: w R n w i i R Ou: RSS: roo of he sum of he squares i w :incereza das variáveis i w R n i w i R i / Validação: Todas as variáveis medidas devem ser independenes enre si EESC-USP M. Becker 009 6/78
7 Caso Especial de Propagação de Incerezas: N n b a C R K Inrodução às Incerezas / n n R w N w b w a R w K As maiores incerezas endem a dominar o resulado EESC-USP M. Becker 009 7/78
8 Inrodução às Incerezas Como Esimar Incerezas Aleaórias? Assuma que a variável é medida n vezes: n i n i Calcule o desvio padrão das medidas: S n i i n / A incereza aleaória na média é obida por uma disribuição -disribuion: p ± α / EESC-USP M. Becker 009 8/78 S n
9 Inrodução às Incerezas Suden s -disribuion S / n f ν Γ, ν ν νπ Γ ν Suden s, degree of freedom ν n- ν / EESC-USP M. Becker 009 9/78
![Inrodução às Incerezas Inervalo de Esimaiva para uma população média n < 30 P[ α / α / ] α S S P [ α / α / ] α n n S /](/docs-images/93/111310130/images/10-0.jpg "n ± α / S n Area α / Area α / Com nível de Confidência -α Inervalo de Confidência α / 0 α / EESC-USP M.")
10 Inrodução às Incerezas Inervalo de Esimaiva para uma população média n < 30 P[ α / α / ] α S S P [ α / α / ] α n n S / n ± α / S n Area α / Area α / Com nível de Confidência -α Inervalo de Confidência α / 0 α / EESC-USP M. Becker 009 0/78
11 Inrodução às Incerezas Suden's -Disribuion Table EESC-USP M. Becker 009 /78
12 Inrodução às Incerezas Componenes Aleaórios da Incereza No caso em que a média e o desvio padrão são obidos aravés de diferenes conjunos de dados, i.e.: M S S M M i i M p ± M, α S M : p ± α / S Como deerminar? Se n 30, -α 95%:.0 Se n < 30, -α 95%: use Tabela do slide anerior... M M EESC-USP M. Becker 009 /78
13 Inrodução às Incerezas Incerezas Sisemáicas: B Permanecem consanes se o ese é repeido nas mesmas condições; São independenes do amanho da amosra; Erros conhecidos que não foram eliminados; Podem ser esimadas a parir de: Especificações do fabricane, eses de calibração, modelagem maemáica, ec.; EESC-USP M. Becker 009 3/78
14 Inrodução às Incerezas Ilusração Gráfica das Incerezas Aleaórias e Sisemáicas População Amosragem EESC-USP M. Becker 009 4/78
15 Inrodução às Incerezas Incereza Toal: Combinação das incerezas sisemáica e aleaória usando RSS: Para múliplas amosragens B P / W Para uma amosragem B P / W EESC-USP M. Becker 009 5/78
16 Inrodução às Incerezas Bayes Filers Predicion: bel p u, bel d Correcion: bel η p z bel EESC-USP M. Becker 009 6/78
17 :, ~ σ πσ σ e p N p Inrodução às Incerezas Gaussianas: σ π -σ σ Variável única / / : ~ e p, Ν p d π Muli-variável EESC-USP M. Becker 009 7/78
18 , ~, ~ σ σ a b a N Y N X Propriedades de Gaussianas: Inrodução às Incerezas, ~ σ b ax Y, ~, ~, ~ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ N X p X p N X N X EESC-USP M. Becker 009 8/78
19 , ~, ~ T A A B A N Y B AX Y N X Gaussianas Muli-variáveis Inrodução às Incerezas Vamos permanecer no Gaussian world enquano pudermos iniciar com Gaussians e for possível realizar apenas ransformações lineares. B AX Y, ~, ~, ~ N X p X p N X N X EESC-USP M. Becker 009 9/78
20 Inrodução às Incerezas Elipses de Erro: Como a mariz de covariância de uma variável aleaória deermina o formao da elipse de erro e vice-versa? Mariz de Covariância; Elipse de Erro; Auovalores; Coeficiene de Correlação. [Coresia de Kai Arras] EESC-USP M. Becker 009 0/78
21 Inrodução às Incerezas Mariz de Covariância Elipse de Erro Auo-valores Coeficiene de Correlação [Coresia de Kai Arras] EESC-USP M. Becker 009 /78
22 Sumário da Aula Inrodução às Incerezas Incerezas na Robóica Móvel Filros Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 009 /78
23 Incerezas na Robóica Móvel Movimeno de Robôs Móveis Inerenemene sujeios a incerezas Como é possível modelar as incerezas? EESC-USP M. Becker 009 3/78
24 Incerezas na Robóica Móvel Rede Dinâmica Bayesiana Dynamic Bayesian Nework EESC-USP M. Becker 009 4/78
25 Incerezas na Robóica Móvel Modelos Probabilísicos para Movimeno - Para implemenar Bayes Filers, é necessário o modelo de ransição p, u - O ermo p, u especifica a probabilidade poserior que a ação u causa no robô de a - Como é possível modelar p, u baseado nas equações de movimeno... EESC-USP M. Becker 009 5/78
26 Incerezas na Robóica Móvel Sisema de Coordenadas - A configuração do robô pode ser descria por 6 parâmeros: 3 coordenadas caresianas e 3 ângulos ângulos de Euler roll, pich e yaw ou il - Em superfícies planares:,y,θ EESC-USP M. Becker 009 6/78
27 Incerezas na Robóica Móvel Modelos de Movimeno - Na práica, em-se ipos de modelos: Baseados em odomeria Odomery-based Baseados na Velocidade Velociy-based ou dead reckoning - Modelos do ipo Odomery-based são empregados quando o robô móvel em encoders nas rodas - Modelos do ipo Velociy-based são aplicados quando o robô não possui um sisema de odomeria A nova pose posição e orienação é baseada nas velocidades e no inervalo de empo EESC-USP M. Becker 009 7/78
28 Incerezas na Robóica Móvel Dead Reckoning - Originário do deduced reckoning - Procedimeno maemáico para deerminar a posição aual do veículo - O cálculo da pose aual do veículo é baseado em suas velocidades e no inervalo de empo EESC-USP M. Becker 009 8/78
29 Incerezas na Robóica Móvel Razões para a presença de erros Caso Ideal Rodas com Diâmeros Diferenes Obsáculos Carpee, ec... EESC-USP M. Becker 009 9/78
30 Incerezas na Robóica Móvel Modelo de Odomeria O robô move-se de para Informação de Odomeria: EESC-USP M. Becker /78
31 Incerezas na Robóica Móvel Modelo de Odomeria EESC-USP M. Becker 009 3/78
32 Incerezas na Robóica Móvel A função Aan Esende a angene inversa e acera os sinais de e y EESC-USP M. Becker 009 3/78
33 Incerezas na Robóica Móvel Modelo de Ruído em Odomeria A medida de movimeno é dada por um movimeno sujeio a ruído EESC-USP M. Becker /78
34 Incerezas na Robóica Móvel Disribuições Típicas para Ruído em Odomeria Disribuição Normal Disribuição Triangular EESC-USP M. Becker /78
35 Incerezas na Robóica Móvel Cálculo da Probabilidade zero-cenered Para Disribuição Normal Para Disribuição Triangular EESC-USP M. Becker /78
36 Incerezas na Robóica Móvel Cálculo da Probabilidade dados,, u Valores de odomeria u Valores de ineresse, EESC-USP M. Becker /78
37 Incerezas na Robóica Móvel Aplicação Aplicação do modelo do sensor para pequenos deslocamenos Disribuições ípicas com formao de banana banana-shaped disribuions obidas para a previsão no plano D. EESC-USP M. Becker /78
38 Incerezas na Robóica Móvel Sample-based Densiy Represenaion EESC-USP M. Becker /78
39 Incerezas na Robóica Móvel Como? Disribuição Normal Disribuição Triangular EESC-USP M. Becker /78
40 Incerezas na Robóica Móvel Disribuição Normal 0 6 Samples EESC-USP M. Becker /78
41 Incerezas na Robóica Móvel Disribuição Triangular EESC-USP M. Becker 009 4/78
42 Incerezas na Robóica Móvel Rejeição do Sampling Sampling de disribuições arbirárias EESC-USP M. Becker 009 4/78
43 Incerezas na Robóica Móvel Rejeição do Sampling Eemplo: Sampling de EESC-USP M. Becker /78
44 Incerezas na Robóica Móvel Modelo de Movimeno baseado em Sample Odomery EESC-USP M. Becker /78
45 Incerezas na Robóica Móvel Modelo de Movimeno baseado em Sample Odomery EESC-USP M. Becker /78
46 Incerezas na Robóica Móvel Eemplos de Sample Odomery EESC-USP M. Becker /78
47 Incerezas na Robóica Móvel Modelo baseado em Velocidade EESC-USP M. Becker /78
48 Incerezas na Robóica Móvel Equações para o Modelo baseado em Velocidade: Cenro do círculo: Com: EESC-USP M. Becker /78
49 Incerezas na Robóica Móvel Cálculo da Probabilidade: EESC-USP M. Becker /78
50 Incerezas na Robóica Móvel Sampling para o Modelo de Velocidade: EESC-USP M. Becker /78
51 Incerezas na Robóica Móvel Eemplos de Sample Velociy: EESC-USP M. Becker 009 5/78
52 Sumário da Aula Inrodução às Incerezas Incerezas na Robóica Móvel Filros Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker 009 5/78
53 Filro de Kalman Discreo Esima o esado de um processo conrolado em empo discreo que é governado por uma equação diferencial linear esocásica linear sochasic difference equaion. A B u ε Com a medida: z C δ EESC-USP M. Becker /78
54 Filro de Kalman Discreo A Mariz n n que descreve como o esado evolui de a - sem conrole ou ruído; B C ε δ Mariz n l que descreve como o conrole u muda o esado de a -; Mariz k n que descreve como mapear o esado para uma observação z. Variáveis aleaórias represenando os ruídos do processo e da medida que são assumidos como sendo independenes e disribuídas normalmene com covariâncias R e Q respecivamene. EESC-USP M. Becker /78
55 Aualização do Kalman Filer em D Medida e Incereza Associada Crença Inicial Crença após a aplicação do Filro de Kalman EESC-USP M. Becker /78
56 com T T Q C C C K K C I C z K bel, c obs K om K z K bel σ σ σ σ σ Aualização do Aualização do Kalman Kalman Filer Filer em D em D Crença após a aplicação do Filro de Kalman EESC-USP M. Becker /78
57 T R A A B u A bel, ac a b u a bel σ σ σ Aualização do Aualização do Kalman Kalman Filer Filer em D em D R A A Crença após a aplicação do Filro de Kalman Nova Crença após Movimeno para a Direia EESC-USP M. Becker /78
58 Aualização do Kalman Filer em D Crença após a aplicação do Filro de Kalman Nova Crença após Movimeno para a Direia Nova Medida e Incereza Associada Nova Crença após a Aplicação do Filro de Kalman EESC-USP M. Becker /78
59 Sisemas Gaussianos Lineares: Inicialização A crença inicial é uma disribuição normal: bel N ;, EESC-USP M. Becker /78
60 Sisemas Gaussianos Lineares: Dinâmica A dinâmica é uma função linear do esado e conrole adicionada do ruído: A B u ε ; A B u R p, u, N bel p u, bel d ~ N ; A B u, R ~ N ;, EESC-USP M. Becker /78
61 N R B u A N d bel u p bel, ; ~, ; ~, Sisemas Gaussianos Lineares: Sisemas Gaussianos Lineares: Dinâmica Dinâmica T T T R A A B u A bel d B u A R B u A bel ep ep η EESC-USP M. Becker 009 6/78
62 As Observações ambém são funções lineares adicionadas do ruído: C z δ Sisemas Gaussianos Lineares: Sisemas Gaussianos Lineares: Observações Observações Q C z N z p, ; N Q C z N bel z p bel, ; ~, ; ~ η EESC-USP M. Becker 009 6/78
63 , ; ~, ; ~ N Q C z N bel z p bel η Sisemas Gaussianos Lineares: Sisemas Gaussianos Lineares: Observações Observações wih ep ep T T T T Q C C C K K C I C z K bel C z Q C z bel η EESC-USP M. Becker /78
64 Algorimo do Filro de Kalman. Algorihm Kalman_filer -, -, u, z :. Predicion: A B u A A 5. Correcion: T T 6. K C C C Q 7. K z C 8. I K C T 9. Reurn, R EESC-USP M. Becker /78
65 Ciclo Ciclo Predição Predição - Correção Correção T R A A u B A bel, ac a u b a bel σ σ σ Predicion EESC-USP M. Becker /78
66 Ciclo Ciclo Predição Predição - Correção Correção, T T Q C C C K C K I C z K bel,, obs K K z K bel σ σ σ σ σ Correcion EESC-USP M. Becker /78
67 z K σ u b a Predicion Ciclo Ciclo Predição Predição - Correção Correção, T T Q C C C K C K I C z K bel,, obs K K z K bel σ σ σ σ σ T R A A u B A bel, ac a u b a bel σ σ σ Correcion EESC-USP M. Becker /78
68 Sumário sobre Kalman Filer Ala Eficiência: medidas polinômio de dimensão k e esado de dimensão n: Ok.376 n Óimo para Sisemas Gaussianos Lineares! A maioria dos Sisemas Robóicos são NÃO LINEARES! EESC-USP M. Becker /78
69 Sisemas Dinâmicos Não- Lineares A grande maioria dos problemas mais realísicos relacionados à robóica são NÃO-LINEARES g u, z h EESC-USP M. Becker /78
70 Hipóese de Linealização EESC-USP M. Becker /78
71 Função Não-Linear EESC-USP M. Becker 009 7/78
72 Linealização para o EKF EESC-USP M. Becker 009 7/78
73 Linealização para o EKF EESC-USP M. Becker /78
74 Linealização para o EKF 3 EESC-USP M. Becker /78
75 Predicion:,,, u g u g u g Firs Order Taylor Series Epansion Linealização Linealização para para o EKF 3 o EKF 3 Correcion:,, G u g u g H h h h h h EESC-USP M. Becker /78
76 EKF Algorimo. Eended_Kalman_filer -, -, u, z :. Predicion: u g, G G T R A B u A A T R 5. Correcion: 6. T T K H H H Q 7. K z h 8. I K H T T K C C C Q K z C I K C 9. Reurn, H h G g u, EESC-USP M. Becker /78
77 Sumário da Aula Inrodução às Incerezas Incerezas na Robóica Móvel Filros Bibliografia Recomendada EESC-USP M. Becker /78
78 Bibliografia Recomendada Siegwar, R. and Nourbakhsh, I.R., 004, Inroducion o Auonomous Mobile Robos, s Ediion, MIT Press, ISBN X hp:// Sandin, P. E., 003, Robo Mechanisms and Mechanical Devices Illusraed, McGraw-Hill, ISBN X Trhun, S., Burgard, W., and Fo, D., 005, Probabilisic Roboics, The MIT Press, ISBN EESC-USP M. Becker /78
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