3 Metodologia. 3.1 Modelos em Espaço de Estado Lineares Gaussianos

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1 3 Meodologia 3.1 Modelos em Espaço de Esado Lineares Gaussianos Esruura Básica A forma em Espaço de Esado Linear Gaussiana (forma em EE daqui por diane) consise em duas equações. A primeira delas é chamada equação das observações, que descreve a evolução de um processo esocásico p- variado e observável y, = 1, 2,... e a oura é chamada equação do esado. Especificamene: y = Z α + d + ε, ε N(0,H ) α +1 = T α + R η, η N(0,Q ) (3-1) α 1 N(a 1,P 1 ). O processo m-variado α é chamado de esado e é considerado não-observável. Os erros ε e η são independenes no empo, enre si e de α 1. As marizes do sisema Z, d, T, R, H e Q são deerminísicas. Dada uma série emporal de amanho n do processo y, definam-se Y j ( y 1,...,y j), a j E(α Y j ) e P j Var(α Y j ). As equações de predição e de suavização do filro de Kalman fornecem fórmulas recursivas para o cálculo dos momenos condicionais acima quando j = 1 e para j = n, respecivamene. Suas expressões analíicas enconram-se em (3-2) e (3-3). Suas derivações, sob os pressuposos da forma em EE aqui adoada, podem ser obidas em Durbin & Koopman (2001) e em Harvey (1989). υ = y Z a 1 d, F = Z P 1 Z + H, K = T P 1 Z F 1, L = T K Z, = 1,...,n, a +1 = T a 1 + K υ, P +1 = T P 1 L + R Q R, (3-2)

2 Capíulo 3. Meodologia 19 r 1 = Z F 1 υ + L r, N 1 = Z F 1 Z + L N L, a n = a 1 + P 1 r 1, P n = P 1 P 1 N 1 P 1, (3-3) r n = 0, N n = 0, = 1,...,n. Há diversos arigos publicados na área de esimação de IBNR mediane o arcabouço da forma em EE. O primeiro deles, que pode ser desacado, é o rabalho de de Jong & Zehnwirh (1983), um precursor do uso do filro de Kalman na lieraura auarial. Nele, o riângulo é organizado de al forma que as diagonais formam os veores das observações. Uma variane dese méodo ambém é apresenada em Aherino & Fernandes (2007). Em de Jong (2006) ainda se propõe a forma em EE para se esimar correlações enre valores do riângulo. Também cumpre ciar o arigo Verrall (1989), que oferece uma meodologia de esimação denro do enfoque Bayesiano. Ouro rabalho de imporância é devido a Wrigh (1990). Greg Taylor ambém se uiliza da forma em EE para esimar seu modelo em Taylor (2003), ao qual se emprega o filro EDF (Exponenial Disribuion Filer). Além de arigos, cia-se ambém o livro de auoria do próprio Taylor (cf. Taylor, 2000), no qual, em adição a um apanhado de écnicas previamene desenvolvidas na lieraura, é oferecida uma abordagem em que cada linha do riângulo runoff é visa como um veor aleaório Modelos Esruurais Um modelo esruural para séries emporais é aquele no qual as componenes não observáveis de nível, inclinação, sazonalidade e ruído são modeladas expliciamene, cf. Harvey (1989). O modelo em (3-4) é o modelo esruural com as componenes periódica e de nível esocásicas que será considerado nas aplicações do presene rabalho. y = µ + γ + x β + ε, ε N(0,σε), 2 µ +1 = µ + ζ, ζ N(0,σζ), 2 (3-4) J 1 γ +1 = γ +1 j + ω, ω N(0,σω). 2 j=1 O ermo de regressão x β é principalmene moivado pela necessidade de inervenções de ouliers e de quebras (vide seção 3.1.3). A idéia de se esimar al modelo esruural em paricular é a de que suas componenes não observáveis

3 Capíulo 3. Meodologia 20 erem capacidade de explicar o comporameno dos sinisros IBNR de forma inuiiva. A componene de nível µ explica as informações referenes ao volume de sinisros ocorridos em cada ano de acidene. Cabe à componene periódica γ capar o padrão da série em cada linha do riângulo, iso é, será responsável por explicar o comporameno do araso na liquidação dos sinisros. O modelo esruural em a seguine forma em Espaço de Esado: µ +1 γ +1 γ. γ J ( ) y = µ γ γ 1. γ J = x β + ε, = 1, 2,...,n µ γ γ 1. γ J ( Nas subseções seguines, serão apresenadas duas proposas que visam resolver o problema da esimação de IBNR sob a ordenação por linhas do riângulo de runoff proposa na seção 2, e do cálculo do erro médio quadráico associado. Muio essencialmene e, em palavras, o primeiro deles pare para a dedução, bloco a bloco, de uma expressão analíica fechada da mariz de covariância condicional das parcelas do IBNR (cf. expressão (2-6)) empilhados; o segundo, por sua vez, é baseado no aumeno do veor de esado com um acumulador das parcelas do IBNR. Ou seja, um méodo ena solucionar o problema consruindo blocos de covariâncias ; e o ouro, acumulando a reserva. ξ ω ) Incorporação de sazonalidade enre o período de origem dos sinisros (linhas do riângulo) A meodologia descria nese rabalho independe da unidade de empo uilizada no riângulo, seja ela mensal, rimesral, semesral ec. Abarca, ainda, nauralmene, a possível exisência de comporamenos periódicos enre as colunas do riângulo, após a inrodução do modelo (3-4) como previamene comprovado. Enreano, em deerminadas unidades de empo, pode haver, ao menos eoricamene, cera periodicidade enre as linhas, refleindo, assim, a

4 Capíulo 3. Meodologia 21 possibilidade de exisência de um padrão sazonal nas ocorrências de sinisros IBNR. Na Figura 3.1 esá represenado um riângulo rimesral. Caso exisam indícios empíricos de que sinisros originados em um deerminado rimesre de um ano em paricular enham aspecos em comum com os originados no mesmo rimesre de ouros anos, esa sazonalidade pode esar incorporada direamene no modelo. Uma forma de se acrescenar essa componene sazonal seria aravés de variáveis dummies, como no modelo abaixo: no qual d (i) = y = µ + γ + J i=2 β (i) d (i) + ε, (3-5) 1 y {i-ésimo período,...,s-ésimo período }, i = 2, 3,...,J 0 caso conrário. Origem Desenvolvimeno d w Q1 C 1,0 C 1,1 C 1,2 C 1, Q2 C 2,0 C 2,1 C 2, Q3 C 3,0 C 3,1 C 3, Q4 C 4,0 C 4,1 C 4, Q1 C 5,0 C 5,1 C 5,2 2007Q2 C 6,0 C 6,1 C 6,2 2007Q3 C 7,0 C 7,1 C 7,2 2007Q4 C 8,0 C 8,1 C 8,2 2008Q1 C 9,0 C 9,1 C 9,2 2008Q2 C 10,0 C 10,1 C 10,2 2008Q3 C 11,0 C 11,1 2008Q4 C 12,0 Figura 3.1: Triângulo rimesral. A inclusão dos referidos parâmeros adicionais pode agravar ainda mais a quesão da maximização da verossimilhança, já que a quanidade de valores falanes sempre será cerca de 50% do número de observações do riângulo. 3.2 Primeira Abordagem: o méodo dos blocos Considere a forma em EE e oda a noação correspondene a esa e ao filro de Kalman da subseção Adicionalmene, defina

5 Capíulo 3. Meodologia 22 I { : y é não-ausene}, Ỹ {y i j : i j I, j} 1, Y {y : = 1,...,n} e L L, se I T, caso conrário Observe que N n k=+1 L +1...L k 1Z k F 1 k Z kl k 1...L +1. Ỹ, no conexo de cálculo de IBNR, consise na informação proveniene do riângulo (cf. Figura 2.3). O pono de parida para udo o que se desenvolverá nesa subseção são expressões recursivas, deduzidas em Durbin & Koopman (2001, seção 4.5), para algumas marizes de covariâncias condicionais provenienes de manipulações com as equações de suavização do filro de Kalman. Esas são sumarizadas no seguine Lema: Lema 1 Sejam, j = 1,...,n quaisquer. Enão, 1. Cov(α,α j Y) = P 1 L L +1...L j 1(I m N j 1 P j j 1 ), j sendo que L L +1...L j 1 = I m quando j =. 2. Cov(ε,ε j Y) = H K L +1...L j 1W j, j > sendo que W j = H j (F 1 j Z j K jn j L j ). 3. Cov(ε,α j Y) = H K L +1...L j 1(I m N j 1 P j j 1 ), j >. 4. Cov(α,ε j Y) = P 1 L L +1...L j 1W j, j sendo que W j = H j (F 1 j Z j K jn j L j ) e L L +1...L j 1 = I m quando j =. Ouro resulado imporane é o Lema 2 dado na sequência, o qual se relaciona com disribuições Gaussianas condicionais e, diferenemene de odos os resulados desa seção, não se resringe necessariamene ao conexo de modelos em Espaço de Esado. A prova dese Lema enconra-se no apêndice A.1. Lema 2 Sejam x, y e z veores aleaórios com disribuição conjuna Gaussiana. Se Cov(y, z) = 0 e se Cov(x, z) = 0, enão E(x y, z) = E(x y) (3-6) Var(x y, z) = Var(x y). (3-7) 1 Observe que Ỹ esá sendo definido como um conjuno de veores aleaórios e não como um veor aleaório empilhado. Mas, para o que segue, o mesmo pode ser viso como al.

6 Capíulo 3. Meodologia 23 O próximo resulado, de prova bem direa e apresenada no apêndice A.2, revela uma espécie de orogonalidade enre a pare observada do riângulo e as parcelas não observadas do IBNR. Lema 3 Para odo / I, ε é não-correlacionado com Ỹ. A linha conduora do desenvolvimeno do méodo dos blocos é a obenção de uma mariz de covariância condicional de odos os y, ais que / I, empilhados dado Ỹ. O caminho para isso é esudar, para os mesmos índices, as covariâncias condicionais dos veores aleaórios não-observáveis α, ε e η e explorar convenienemene a linearidade da relação enre eses e os y. O próximo resulado maerializa esa ideia e em como base de consrução os Lemas 1, 2 e 3. Sua prova enconra-se no apêndice A.3. Lema 4 Para, j / I arbirários, em-se que: 1. Cov(ε,ε j Ỹ) = H, para = j 0, caso conrário. 2. Cov(ε,α j Ỹ) = 0 ( ) 3. Cov(α,α j Ỹ) = P 1 L L +1...L j 1 I N j 1 P j j 1, se < j P 1 P 1 N 1P 1, se = j. Esabelecidos os resulados de supore, agora já exisem plenas condições para que se deduzam as expressões compuacionais do méodo dos blocos. Essas se enconram no próximo Teorema, cuja prova esá no apêndice A.4. Teorema 1 Para,j arbirários, em-se que 0 se I ou j I Cov(y,y j Ỹ) = Z (P 1 P 1 N 1P 1 )Z + H se = j e,j / I ( ) Z P 1 L L +1...L j 1 I N j 1 P j j 1 Z j se < j e,j / I. Após er-se chegado ao objeivo desejado, cabem aqui alguns comenários de ordem práica. A implemenação compuacional da expressão maricial, enunciada no Teorema 1, envolve o armazenameno de algumas marizes advindas das recursões do filro de Kalman: P 1 e N 1 para odo / I,

7 Capíulo 3. Meodologia 24 e ainda as marizes L τ,l τ+1,...,l τ 1, 1 τ < τ n nas quais τ e τ são o primeiro e o úlimo insanes, respecivamene, em que exisem valores falanes. Também, é a mesma fórmula que, quando calculada para odas as combinações possíveis de índices i e j, conduz ao insumo básico - que é a mariz de covariâncias condicionais complea de Y n dado Ỹ - para que se calcule uma medida de precisão associada à esimação de qualquer combinação linear dos valores falanes Erro médio quadráico da Reserva IBNR esimada: casos oal e por ano Para um veor a = (a 1, a 2,...,a n ) qualquer, em-se que E(a Y Ỹ) = a E(Y Ỹ) e Cov(a Y Ỹ) = a Cov(Y Ỹ)a. A reserva IBNR é calculada escolhendo-se um veor a, aqui definido por a (T), de forma que a (T) i = 1 se i / I e a (T) i = 0 caso conrário. Para as parcelas do IBNR relaivas a um específico ano de acidene (linhas), uilize o mesmo veor a com coordenadas nulas nos lugares apropriados - os que não correspondem ao ano. Esa análise por ano de acidene é ineressane porque permie a idenificação de fones de incerezas nas parcelas do IBNR. Assim, as expressões do méodo dos blocos para a Reserva IBNR e seu correspondene erro padrão são: ÎBNR ˆR = a E(Y Ỹ) (3-8) ep(ibnr) a êp(r) = Cov(Y Ỹ)a (3-9) Uso da disribuição log-normal para y Uma alernaiva à hipóese de normalidade para y do riângulo é a disribuição log-normal, que induz, por primeiros princípios, à modelagem de z log y. Essa disribuição foi exensamene explorada na lieraura auarial (cf. Taylor, 2000, capíulo 9), ano na área de Modelos Lineares Generalizados (MLG) quano na área de Séries Temporais. Em MLG, podemse ciar os rabalhos de Kremer (1982), Renshaw (1989), Chrisofides (1990), Verrall (1991) e Doray (1996); na área de Séries Temporais, êm-se de Jong & Zehnwirh (1983), Verrall (1989), de Jong (2004) e de Jong (2006). Apesar de desenvolver seu modelo sem precisar admiir qualquer disribuição (cf. Mack, 1994a), Mack faz um exemplo uilizando log-normalidade para a consrução gráfica da reserva (cf. Mack, 1994b).

8 Capíulo 3. Meodologia 25 Sob a adoção do méodo dos blocos, ese pressuposo disribucional alernaivo dá origem ao seguine algorimo para o cálculo da reserva IBNR esimada e seu correspondene erro médio quadráico: 1. Aplique o filro de Kalman ao riângulo formado pelos z, armazenando odas as marizes devidas (vide comenários finais da seção 3.2). 2. Uilize o méodo dos blocos para ober ẑ E(z Z) = E(log y Ỹ), σẑ 2 Var(z Z) e σẑ,ẑ j Cov(z,z j Z). 3. Calcule 2 : { } ŷ = exp ẑ + σ2 ẑ 2 σŷ 2 = exp { } ( ) 2ẑ + σẑ 2 e σ2 ẑ 1 { } σŷ,ŷ j = exp ẑ + ẑ j + σ2 ẑ 2 + σ2 ẑ j 2 (3-10) (3-11) (e σ ẑ,ẑ j 1) (3-12) 4. Proceda com os cálculos da subseção anerior. Essa é uma clara vanagem dese méodo sobre o do acumulador, que não permie, por consrução, a modelagem do logarimo dos valores do riângulo, como será viso na sequência. 3.3 Segunda Abordagem: o méodo do acumulador Ese méodo consise em adicionar uma componene ao veor de esado, denoada por δ, a qual será responsável pela acumulação das previsões dos valores falanes: [ α +1 δ +1 [ ] [ ] α y = Z 0 + d + ε δ ] [ ][ T 0 = I X α δ ] + [ R 0 ] η, (3-13) na qual X = 0 quando I e X = Z quando / I (observação falane). Denoe por ψ e ψ os veores de parâmeros dos modelos (3-1) e (3-13) respecivamene e denoe por L e L as correspondenes verossimilhanças. Apesar de ψ = ψ com efeio, o modelo em (3-13) é um simples aumeno na 2 Esas expressões decorrem de direa aplicação de função geradora de momenos e/ou função caracerísica.

9 Capíulo 3. Meodologia 26 equação do esado do modelo em (3-1) cujas marizes do sisema adicionais não compreendem novos parâmeros, não é muio direo afirmar o mesmo, ou algo diferene, para os esimadores de máxima verossimilhança provenienes de L e de L. O próximo resulado, cuja prova enconra-se no apêndice A.5, esclarece essa dúvida e, mais à frene, mosrar-se-á fundamenal para a implemenação compuacional do méodo do acumulador. Proposição 1 ˆψ arg max L(ψ) = arg max L (ψ ) ˆψ. Inerpreação: Apesar de o modelo aumenado possuir uma componene a mais de acumulação, não há acréscimo de informação à função de verossimilhança, pois, mesmo que a componene adicional seja, recursivamene, função de α, ese úlimo depende, recursivamene, apenas de si mesmo. A imporância práica da Proposição 1 advém de as implemenações se simplificarem muio sobreudo com a exensão adicional do veor de esado a ser mosrado na próxima subseção, pois o veor de parâmeros poderá ser esimado aravés do modelo original (com marizes menores) e, assim, as esimaivas obidas serão uilizadas no filro de Kalman do modelo aumenado Exensão adicional do acumulador: acumuladores parciais por ano de origem Como já viso na seção 3.3, o méodo do acumulador consise no acréscimo do acumulador δ ao veor de esado, e no redimensionameno das marizes do sisema. Enreano, é conveniene incorporar não só o acumulador da reserva IBNR oal, mas ambém acumuladores parciais para cada ano de origem w = 2,...,J, pela mesma moivação apresenada no méodo dos blocos. Para ano, seja δ um veor de dimensão J 1 al que δ = (δ (2),...,δ (J), δ (T) ), cujo sobrescrio (i) represena a parcela referene a,δ (3) linha i, com 2 i J, e o oal i = T. O modelo em (3-13), enão, é expandido no modelo em (3-14)

10 Capíulo 3. Meodologia 27 α +1 δ (2) +1. δ (J) +1 δ (T) +1 y = [ ] Z [ T = X 0 (m pj) I (pj pj) ] α δ (2). δ (J) δ (T) α δ (2). δ (J) δ (T) + ε, R 0 +. η, (3-14) 0 com X = (X (1),X (2),...,X (J),X (T) ). As novas dimensões dos veores e marizes dese modelo esão exposas na abela 3.1. Como viso na seção 3.3, a mariz de ransição em (3-14) é formada por rês blocos consanes e um variane no empo, X, cujos elemenos seguem a regra a seguir. Para i = 1,...,J E ambém X (i) = [ ] Z / I e linha i, 0 caso conrário. X (T) = [ ] Z / I, 0 caso conrário. Por fim, exise uma exensão direa da Proposição 1 aplicável ao modelo (3-14), a qual, como aneriormene discuido na seção 3.3, facilia a esimação dos parâmeros do modelo em siuações práicas Erro médio quadráico da Reserva IBNR esimada: casos oal e por ano Como já mencionado na seção anerior, uma das vanagens do méodo do acumulador é ober-se o valor esimado da reserva IBNR e seu erro médio quadráico direamene do veor de esado suavizado e sua mariz de variânciacovariância, respecivamene.

11 Capíulo 3. Meodologia 28 Veor ou Mariz Dimensão α (m + pj) 1 Z p (m + pj) T (m + pj) (m + pj) (m + pj) r R Tabela 3.1: Nova dimensão dos veores e marizes para o méodo do acumuldador. A reserva esimada será dada por ˆR = E(δ (T) n+1 Ỹ) + / I d, exaamene como na equação (2-6). Seu erro médio quadráico será dado pelo úlimo elemeno da diagonal principal da mariz Var(α n+1 Ỹ) = P n+1 n. Assim, a reserva e seu respecivo erro padrão são dados por: ÎBNR ˆR = E(δ n+1 Ỹ) (T) + d, (3-15) / I ep(ibnr) êp(r) = Var(δ n+1 Ỹ) (T) + H. (3-16) / I