4 Método de geração de cenários em árvore

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1 Méodo de geração de cenários em árvore 4 4 Méodo de geração de cenários em árvore 4.. Conceios básicos Uma das aividades mais comuns no mercado financeiro é considerar os possíveis esados fuuros da economia. O preço e a endência de cada aivo refleem a avaliação do mercado uano às realizações fuuras possíveis. Especialisas defendem seus ponos de visa sobre o fuuro do mercado e os invesidores alocam seu dinheiro de acordo com o risco e o reorno de cada aivo. Exisem muias maneiras de esimar cenários ue represenem o fuuro da economia. Na árvore de decisão, os nós esão relacionados à probabilidade discrea de evenos específicos. Um conjuno de nós consecuivos e inerligados represena um possível cenário. Para represenar o fuuro, a esruura de árvore é dividida em cenários S = (S 0,..., S T ) de T eságios onde s S são as possíveis realizações de odos os faores de risco envolvidos ue ocorrem com probabilidade p s. Uma árvore genérica de decisão (Figura 0) com 5 eságios é dada por: Figura 9. Árvore genérica de decisão

2 Méodo de geração de cenários em árvore 4 Onde S possui k realizações possíveis dado S 0 = s 0, S possui k dado S = s, e assim por diane. Nessa formaação, exisem k. k. k 3. k 4. k 5 possíveis cenários (caminhos) fuuros ue podem ou não er probabilidades disinas. Cada cenário é uma realização possível, porém somene o conjuno de odas elas é ue represena o fuuro. Na práica é inviável incluir odos os cenários possíveis, no enano um conjuno finio e suficienemene peueno pode represenar bem os faores de risco. 4.. Revisão da lieraura A geração de cenários em árvore é descria por dois arigos principais: Gülpinar, Rusem e Seergren (004) e Kouwenberg (00). O primeiro propõe e compara méodos disinos para esruurar os cenários em árvore de forma a represenar o fuuro das variáveis econômicas e auariais em esudo. Já o segundo, além de descrever um méodo eficiene de geração de cenários em árvore, além de abordar um modelo de PE, um modelo esocásico e um modelo para o passivo. O primeiro arigo se divide em rês abordagens de geração: por simulação, por oimização e híbrida (simulação/oimização). Na primeira abordagem, cenários dos preços dos aivos, gerados aleaoriamene aravés do modelo esocásico escolhido, formando grupos conhecidos pela denominação de cluser. O cenróide de cada cluser, selecionado como o cenário mais próximo de seu cenro (o cenário médio, por exemplo), dá origem aos nós da árvore. Essa abordagem pode ser feia por simulação seüencial ou paralela. Na segunda, a geração de cenários em árvore por oimização, os cenários de preços e suas probabilidades são escolhidos de forma a minimizar o uadrado da diferença enre propriedades esaísicas de cada eságio da árvore e com as mesmas propriedades relaivas ao modelo esocásico esimado. Seüencias de oimizações não-lineares ou uma única oimização não-linear para oda a esruura são as duas caegorias desa abordagem. Por fim, a geração da árvore de cenários híbrida (simulação / oimização), apresena uma redução do esforço compuacional com relação à segunda. A obenção dos preços é feia por simulação e as probabilidades são obidas pela oimização.

3 Méodo de geração de cenários em árvore 43 Os procedimenos são esados com dados hisóricos uilizando um modelo de oimização para escolha de porfólio. A segunda abordagem usando uma oimização única é, eoricamene, a melhor forma de represenar os faores de risco. Porém, segundo Gülpinar, Rusem e Seergren (004), o esforço compuacional não demonsra ganhos na comparação de resulados com as ouras abordagens. O segundo arigo, Kouwenberg (00), além de apresenar um modelo VAR para os faores de risco e uma modelagem de programação esocásica, ambém descreve uma meodologia muio eficaz na geração de cenários em árvore. O Ajused Random Sampling é baseado numa geração aleaória dos cenários ajusando seus principais momenos com o modelo esaísico original. O uso de variáveis aniéicas permie o ajuse de odos os momenos cenrais ímpares da árvore com o modelo economérico para os faores de risco. Com a média e a simeria ajusadas, os ramos condicionais da árvore de possibilidades sofrem uma ransformação na variância para complear o ajuse com a disribuição original. A facilidade de implemenação e o menor esforço compuacional do modelo de Kouwenberg fazem desse méodo uma forma eficiene de geração de cenários esruurados em árvore usando um modelo economérico simples para os faores de risco Méodo proposo Um modelo de PE necessia de uma represenação coerene de incereza. Esa por sua vez é expressa pela função de disribuição de probabilidade conjuna conínua dos faores de risco. O processo decisório, na realidade, uiliza uma aproximação discrea desa disribuição. A obenção de uma amosra esruurada dos cenários fuuros dos parâmeros esocásicos é conhecida como geração de cenários em árvore. Nos modelos mui-eságios, a cada período, novas ramificações inerligam o esado aual a esados fuuros, criando assim a esruura de árvore de possibilidades. A formulação discrea dos faores de risco e um espaço de probabilidade adeuado ornam um número grande, porém finio de cenários suficienes para

4 Méodo de geração de cenários em árvore 44 represenar o fuuro. Em uma siuação ideal seria incluído odo o universo de possibilidades dos cenários, com odas as realizações pessimisas e oimisas. No enano, dado um hisórico único dos parâmeros sob incereza, o fuuro pode ser caracerizado por um número raável de realizações para o próximo eságio. O nó raiz da esruura represena a siuação aual dos faores de risco sendo direamene observável nos dados problema. Os nós seguines represenam os esados fuuros condicionados a seu esado passado único, o nó anecessor. As ligações enre os nós, além de caracerizarem as euações do modelo de PE, represenam o período de ocorrência dos parâmeros sob incereza. A geração de cenários em árvore depende de algumas premissas escolhidas a priori: o horizone de esudo, o número de eságios, as durações de cada eságio e a esruura de nós da árvore. As simulações dese rabalho uilizam um horizone de esudo de 0 anos com uma esruura de árvore de 5 eságios de amanhos disinos. Devido a limiações compuacionais e a necessidade de manuenção do horizone de longo prazo, os úlimos eságios são mais longos ue os primeiros de forma a complear o horizone com o número de eságios definido. Esa escolha esá relacionada à necessidade de uma precisão maior nos evenos mais recenes. A decisão de realocação do insane zero é a mais imporane já ue o modelo pode ser usado novamene no ano seguine com o hisórico aualizado. A duração dos eságios, em ordem cronológica, é de,, 3, 5 e 0 anos. A esruura escolhida das realizações condicionadas ao nó anecessor é de 0 ramificações para o primeiro eságio, 6 para o segundo e o erceiro eságios, e 4 para o uaro e o uino ( ). Figura 0. Esruura de árvore escolhida

5 Méodo de geração de cenários em árvore 45 O méodo de geração de cenários em árvore adoado nese rabalho é baseado no Adjused Random Sampling de Kouwenberg (00), com algumas adapações para o conexo brasileiro. A fala de dados ou mesmo um curo período recene de desenvolvimeno de uma economia esável (plano real, inflação conrolada,...) faz com ue o modelo esocásico para os faores de risco enha uma freüência rimesral ao invés de anual. A esruura da árvore, por sua vez, é caracerizada com um amanho de eságio mínimo de ano. Essa incompaibilidade de freüência exige uma adapação na meodologia proposa por Kouwenberg. O modelo VAR de reversão à média descrio aneriormene é uilizado como base para a geração da árvore propriamene dia. É necessário acrescenar um novo índice à noação do modelo economérico. Define-se X como o veor dos faores de risco do rimesre do eságio, e dur() como a duração do eságio em rimesres. eságio. X 0 é o valor observável dos faores de risco para o início do X X, ~ 0, N O processo é iniciado com a previsão deerminísica do modelo esocásico descrio. São compuadas as previsões das variáveis econômicas para o primeiro rimesre ( = ) do primeiro eságio ( = ). X X,, dur, O reorno das ações, ou seja, a variação percenual do índice Ibovespa, pode ser uilizado como exemplo para demonsrar as eapas do processo de geração de cenários em árvore. Esas eapas são igualmene aplicadas para os ouros faores do modelo VAR.

6 % Méodo de geração de cenários em árvore 46 Calculando os faores de risco, o reorno deerminísico das ações no primeiro eságio é dado por: 9 Reorno das ações no eságio e= = Figura. Previsão deerminísica para os reornos das ações Observa-se a endência de ueda na renabilidade média da renda variável, pois o úlimo dado hisórico (8,77%), uilizado no insane = 0 da previsão, é maior do ue a média escolhida (4,00%). É esperado ue, no longo prazo, o reorno das ações convirja para a média. A componene de incereza é incluída somando um resíduo normalmene disribuído, com média nula e mariz de variâncias e covariâncias aos valores deerminísicos calculados. Na práica, iso é feio aravés da geração de valores aleaórios com disribuição N(0,) para os resíduos. A noação uilizada para eses resíduos é: i ~ N0,, i,, N Onde N é o número de nós do eságio. Esa geração é feia aravés de valores aniéicos para a previsão um passo a frene dos faores de risco. Os N / primeiros valores são gerados aleaoriamene uilizando a disribuição dos resíduos. A segunda meade é compuada como os mesmos valores da primeira com sinais rocados (valores aniéicos). Esa écnica

7 Méodo de geração de cenários em árvore 47 garane ue odos os momenos cenrais ímpares (média, simeria,...) da amosra sejam iguais aos da disribuição conínua original. É necessário ue o número de realizações condicionais seja par. N i i No primeiro eságio, por exemplo, 0 ramos esão condicionados ao nó raiz. Os cinco primeiros valores de são gerados aleaoriamene e os úlimos cinco são compuados como valores aniéicos dos primeiros. () () (3) Figura. Valores aniéicos (4) (5) (6) = - () (7) = - () (8) = - (3) (9) = - (4) (0) = - (5) A simulação esocásica com valores aniéicos garane o ajuse da média e da simeria, no enano esa écnica não garane um ajuse de variância de cada uma das cinco componenes de. A noação desas componenes é dada por:

8 Méodo de geração de cenários em árvore 48 i i i i i i Se uma variável aleaória ~ N(0, ) for muliplicada por um coeficiene, a média será manida e a variância muliplicada por. Sendo assim, exise um único muliplicador ue ajusa a variância amosral de cada variável do modelo VAR. j j j desvio padrão ( j (.)). N N i j i Onde j é a j-ésima componene da diagonal de Muliplicando os resíduos por são compuados os erros ajusados ue serão usados no cálculo dos faores de risco no rimesre = do eságio =. j i * i, j,,3, 4 e 5 j j As previsões esocásicas dos faores são feias somando os erros ajusados aos valores deerminísicos. São compuados os valores X para = e =. X X

9 % % Méodo de geração de cenários em árvore 49 O exemplo do reorno das ações para o primeiro rimesre do primeiro eságio na figura abaixo reraa a inclusão de incereza na previsão deerminísica. São compuadas 0 realizações condicionadas ao nó raiz. Reorno esocásico ajusado das ações em e= = Figura 3. Previsões esocásicas para os reornos das ações Tendo compuado os faores de risco em =, é possível fazer a previsão deerminísica para = e recomeçar a meodologia para o segundo rimesre do primeiro eságio. O processo é compleado para o primeiro eságio compuando os coeficienes esocásicos para os rimesres resanes. Formam-se assim, dez cenários de renabilidades para o primeiro eságio. Cenários para os reornos das ações no eságio e= = Figura 4. Cenários para os reornos das ações

10 Méodo de geração de cenários em árvore 50 A inicialização do processo para = é feia usando as renabilidades do úlimo rimesre de = como os nós raízes do segundo eságio. Para = emos a seguine formulação: X 0 X dur( ) A meodologia é repeida para os eságios =, 3, 4, e 5 obendo, respecivamene, 6, 6, 4 e 4 cenários para cada nó inicial X 0 do eságio.