Fábio Luiz de Oliveira Bezerra 1 Av. Prof. Moraes Rego, 1235 Cidade Universitária CEP: Recife/PE Brasil

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1 AVALIAÇÃO DA ESTIMATIVA DO RISCO DE MERCADO DE AÇÕES E OPÇÕES DE COMPRA DA PETROBRÁS UTILIZANDO A METODOLOGIA VALUE AT RISK (VaR) COM SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO Fábio Luiz de Oliveira Bezerra Av. Prof. Moraes Rego, 35 Cidade Universiária CEP: Recife/PE Brasil carmona@npd.ufpe.br Charles Ulises De Monreuil Carmona Av. Prof. Moraes Rego, 35 Cidade Universiária CEP: Recife/PE Brasil Tel: (8) carmona@ufpe.br Universidade Federal de Pernambuco - UFPE Deparameno de Ciências Adminisraivas CEP: Recife/PE Brasil Resumo: Ese rabalho em o inuio de avaliar a capacidade da abordagem Value a Risk com simulação de Mone Carlo (SMC), na previsão do risco de mercado da ação da Perobrás (PETR4) e das opções de compra da PETR4 (PETRJ39, PETRH6, PETRH5). Compara-se a performance da SMC com os méodos denominados paraméricos: para a careira de ações, considera-se o modelo do desvio padrão, e, para as opções, uilizam-se aproximações Dela e Dela-Gama. A SMC para as opções é obida pelos seguines modelos de precificação do valor da careira: o de Black & Scholes (SMC Univariada), o de Hull & Whie, que inclui volailidade esocásica (SMC Bivariada), e, por úlimo, a inclusão da axa de juros ambém esocásica aravés do modelo de Rendleman e Barer (SMC Trivariada). As evidências empíricas sugerem que a esimaiva do VaR pela simulação de Mone Carlo supera a dos méodos paraméricos, noadamene em careiras não-lineares. Palavras-chave: Risco de mercado, Value a Risk, simulação de Mone Carlo. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

2 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo AVALIAÇÃO DA ESTIMATIVA DO RISCO DE MERCADO DE AÇÕES E OPÇÕES DE COMPRA DA PETROBRÁS UTILIZANDO A METODOLOGIA VALUE AT RISK (VaR) COM SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO. Inrodução A abordagem Value a Risk (VaR) em sido uma das écnicas mais uilizadas no gerenciameno de risco ornando-se padrão na indúsria bancária. Uma grande vanagem da esimaiva do risco aravés do VaR consise na capacidade de mensurar e agregar diversas posições de risco de oda a insiuição em um único valor. Isso orna a compreensão muio mais fácil do nível de risco da empresa para seus direores, acionisas e invesidores. Embora a abordagem do VaR para a esimaiva do risco de mercado seja de fácil enendimeno, exisem diversas meodologias para sua obenção, cada uma apoiando-se em suposições diferenes quano às caracerísicas dos faores de risco de mercado e adequandose melhor a diferenes perfis de composição da careira. Conforme desacam Hull e Whie (987), os modelos maemáicos e esaísicos mais uilizados para o cálculo do VaR (meodologia paramérica) admiem que reornos diários das variáveis de mercado (preço de aivos, axas de juros, câmbio) seguem uma disribuição de probabilidade do ipo normal. Na práica, as séries de reornos diários dessas variáveis apresenam assimeria e significaivos graus de curose. Por ouro lado, a simulação de Mone Carlo parece ser uma meodologia confiável e abrangene para a mensuração de riscos financeiros, e capaz de capurar uma grande variedade de riscos, inclusive de preço, de volailidade e de crédio. É conveniene, porano, realizar uma análise de acuidade das meodologias para o cálculo do VaR, comparando-se a esimaiva de perda poencial de uma careira medida pelo VaR com a perda efeiva ou real observada após a passagem do empo.. Referencial eórico Jorion () esabelece uma definição formal para al medida: o VaR mede a pior expecaiva de perda durane um cero período de empo, sob condições normais de mercado e com um dado nível de confiança. Considerando-se VC o valor da careira no momeno inicial e R a sua axa esperada de reorno no final do horizone de empo, o valor esperado da careira após o horizone deerminado será de VC = VC ( + R), ambém define VaR como a perda da careira relaiva ao seu valor esperado: VaR = VC VC * = VC ( R R * ) REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

3 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona onde VC* é o valor esperado mínimo admiido para a careira referene ao nível de significância desejado, e R* é o reorno associado a VC*. O VaR pode ser definido como a perda absolua da careira, ou seja, relaiva a zero ou sem referência com o valor esperado da careira: VaR = VC * * VC = VC R Esa úlima forma é a comumene uilizada no meio acadêmico e de mercado, pois represena a perda real da careira em relação ao momeno em que esá se medindo o VaR. Para enconrar o valor mínimo esperado, necessia-se esabelecer um nível de confiança e conhecer a função de disribuição de probabilidade fuura da careira de aivos ou do reorno da careira, respecivamene quando se calcula o VaR do valor da careira ou de reorno. Considerando a função de disribuição de probabilidade do valor fuuro da careira, f(x), a deerminado nível de confiança, q, deseja-se descobrir a pior realização possível para a careira, VC*, al que a probabilidade de exceder esse valor seja q: q = VC * f ( x) dx * ou al que a probabilidade de um valor menor que VC*, p = P( x VC ), seja -q: q = VC * f ( x) dx = P ( x VC *) = p probabilidade p, onde * Porano, em-se que VC = F ( p), que corresponde ao valor do quanil de F é a função inversa de densidade de probabilidade. Daí: * VaR = VC VC = VC F ( p) Se não há a função de disribuição de probabilidade analiicamene, deve-se proceder empiricamene à consrução da disribuição do valor da careira e calcular o quanil pela ordenação direa das freqüências de ocorrências dos valores. Como se vê, o VaR é obido do quanil da função de disribuição de probabilidade da careira, logo sendo aplicado a qualquer disribuição, seja ela normal ou não, discrea ou conínua, com cauda grossa ou fina. Se a disribuição for normal, considerando µ e σ, respecivamene, média e desvio padrão, o quanil genérico p é a função inversa de disribuição normal cumulaiva de probabilidade Φ ( p). Para as disribuições normais, o VaR é dado por: VaR = VC ασ (-) REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 3

4 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo onde α é desvio normalizado para a significância selecionada, σ é o desvio padrão e VC é o valor inicial da careira do momeno do cômpuo do VaR. Para careira com vários faores de risco, a função de disribuição de probabilidade da careira é obida a parir da disribuição dos faores de risco ou variáveis financeiras aos quais esá exposa a careira. Considerando-se que as variáveis aleaórias que represenam os faores de risco são dados por X,..., X d, a função que represena o valor da careira, que pode ser uma função perda ou modelo de precificação da careira, será dada por η = L( X, X,..., X 3). Denoa-se FL como a função de disribuição cumulaiva de probabilidade da função perda, F L ( l) = Pr( η < l). Considerando G a função de disribuição mulivariada das variáveis X,..., X d, a função de disribuição cumulaiva é: F L d l R ( l) = Pr( L( X,..., X d ) < l) = [ L( X,..., X d )] dg( X,..., X d ) (-) O cálculo do VaR consise, enão, na esimaiva do quanil: para um dado p, enconrar l p al que F ( l ) p. Enão VaR é dado por l = F ( p ). Porano, para calcular L p = p L o VaR é preciso aproximar a inversa da função de disribuição cumulaiva de probabilidade da função de perda da careira.. Modelos de precificação de opções Para calcular o VaR de conraos não-lineares como, por exemplo, conraos de opções, orna-se fundamenal deerminar o modelo de precificação dos mesmos, que, subraído do valor inicial da careira, represena a função perda do valor da careira. Exise uma série de modelos maemáicos para o cálculo dos prêmios de opções. O modelo proposo por Black & Scholes (973) B&S foi a primeira solução para a fórmula de equilíbrio geral na avaliação do prêmio de opções. No caso de opções do ipo européia, B&S apresenaram as seguines fórmulas para a avaliação dos seus prêmios: Para opção de compra: Para opção de venda: c = S N( d ) K e R ( T ) N( d σ T ) (-3) p = S N ( d) + K e R ( T ) N ( σ T d) Como sabemos, o modelo B&S pare do pressuposo de que o aivo objeo em um comporameno esocásico conínuo, na forma de movimeno geomérico browniano. Iso quer dizer que se assume que a disribuição probabilísica dos preços do aivo objeo, em uma daa fuura, é log-normal e, por conseguine, a disribuição probabilísica das axas de reorno REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 4

5 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona calculadas coninuamene, e composa enre duas daas. O preço da ação é a solução da seguine equação diferencial esocásica: ds = µ S d + σs dw() onde S ( ) = S >, w() é um processo de Wiener, com endência insanânea e desvio dados, respecivamene, por σ e µ. Um modelo alernaivo ao B&S é o proposo por Hull e Whie (987), no qual pressupõem-se as mesmas hipóeses de B&S, exceo a que se refere ao comporameno do preço e da volailidade. Nese, o preço de uma ação assume um processo esocásico mais geral e a volailidade é assumida como esocásica, da seguine forma: ds = µ ( S, σ, ) S d + σ S dw( ) dv = φ ( σ, ) V d + ξ ( σ, ) V dz( ) onde V = σ é a variância insanânea dos reornos, w() e z() são dois processos de Wiener independenes enre si, e S é o preço da ação no insane. Hull e Whie (987) demonsram que, quando a volailidade não é correlacionada com o preço da ação, pode-se escrever o valor de uma opção de compra européia em como: c( S, σ, ) cbs ( V ) f ( V σ ) = d V onde V ) é a fórmula de B&S, f(.) é a função de densidade de probabilidade de V, e V é o c ( BS valor médio da axa de variância definido como: V = T T σ ds Iso é, o preço da opção é a esperança condicional em do preço B&S, uilizandose o valor da inegral acima como parâmero de volailidade. Pode-se usar uma aproximação do modelo de H&W que o orna ão práico como o de B&S, uilizando-se como parâmero de volailidade na fórmula de B&S a raiz quadrada da média das previsões da volailidade ao quadrado aé T- passos à frene (Duffie e Pan, 997). Considerar a axa de juros deerminísica pode não ser ão realisa, assim, o ideal seria relaxar esa hipóese e abrir a possibilidade de juros esocásicos. Hull () aesa que, em geral, a axa de curo prazo é descria, num modelo neuro ao risco, pelo processo de Iô, da seguine forma: dr = m( R) d + s( R) dz REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 5

6 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo Assume-se que o desvio insanâneo m(r) e a endência s(r) sejam funções de R, mas independenes do empo. Esse modelo implica que odas as axas se movem da mesma direção durane qualquer inervalo de empo, mas não na mesma proporção. No modelo de Rendleman e Barer (98), considera-se que m(r)=µr e o s(r)=σr, onde µ é a axa de crescimeno esperada e σ a volailidade da axa de juros, levando a crer que devido ao comporameno da economia, as axas de juros enham endência de reversão à média em longo prazo.. Simulação de Mone Carlo Para as disribuições de probabilidade, nas quais não há os valores da função de disribuição cumulaiva de probabilidade em forma analíica ou pelo menos abulados, necessia-se uilizar os méodos numéricos de inegração, para o cálculo do quanil que represena o VaR. Uma das écnicas possíveis é o méodo de Mone Carlo. A aplicação mais comum do méodo de Mone Carlo é o cálculo de inegrais, embora seja ambém uilizado para ouras finalidades como, por exemplo, a resolução de equações. Considera-se, primeiramene, a seguine inegral definida: θ = b a f ( x) dx O problema de calcular a inegral orna-se um problema de esimaiva da média, E(f(Y)). Um esimador para a média é dado pela fórmula: onde ^ θ = ( b a ) f ( y ) y i são valores de uma amosra aleaória de amanho n reirada da disribuição de probabilidade uniforme sob o inervalo [a, b]. A variância dessa esimaiva é dada por: ( b a) ^ b b Var (θ ) =. f x f n ( ) ( ) a a d O desvio padrão esá direamene associado ao erro de convergência, e, da equação anerior, conclui-se que a ordem do erro é de / n. Uma imporane propriedade do desvio padrão da esimaiva pelo méodo Mone Carlo é a independência com a dimensão da inegral. Os erros normalmene são dependenes da dimensão d: d n (Genle, 998). dx n i REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 6

7 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona O méodo de Mone Carlo ambém é basane uilizado na precificação de opções: simulam-se as rajeórias dos faores de risco aé o prazo de vencimeno da opção, aplicam-se esses valores na função que represena o valor da opção e descona aé a daa desejada a uma axa de juros livre de risco. O preço aual de uma opção de compra européia, considerando as hipóeses de B&S, é o valor esperado da opção numa siuação de indiferença ao risco, desconado a uma axa de juros livre de risco: onde T- é o empo aé o vencimeno da opção, c R( T ) = e E[ g( S )] (-4) T S é o preço do aivo no empo, e g(.) é a função pay-off da opção e R é a axa livre de risco. Por simplificação algébrica, supõe-se que =. Num mundo neuro ao risco, ln ST possui uma disribuição de probabilidade normal onde o preço da ação num empo fuuro T será dado pela expressão, conforme desacado em Boyle (977): S T = S e ( R ( σ / )) T +σε T (-5) onde ε é uma variável aleaória com disribuição normal padrão, R é a axa livre de risco e ST é o preço do aivo no empo T. Aplicando esa úlima equação na função do valor esperado da opção (Eq..4), em-se (Joy, Boyle e Tan, 996): RT (( R ( σ / )) T+ σε T) ε / g[ Se ] e π c= e dε Aravés da inversa da função de disribuição de probabilidade da variável normal ε, ransforma-se a inegral de menos infinio a mais infinio para uma inegral com disribuição uniforme sobre o inervalo [,]: c = ε / h( ε) e dε = h( Φ ( x)) dx= π f ( x) dx Esa simplificação permie ober uma aproximação eficiene para a inegral pela seleção apropriada de amosras de ponos no inervalo [,]. Pela simulação de Mone Carlo, geram-se n valores de variáveis com disribuição uniforme e o valor da opção será dado por: REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 7

8 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo c = n n i= f ( ξ ), onde ξ ~U (,) Pode-se opar pela geração de valores de variáveis normais e o valor da opção ornará: c = n n i= i i h( ε ), onde ε ~ N(, ). Será viso em iem poserior que, com os números pseudo-aleaórios, o erro da esimaiva acima será da ordem de será da ordem de ( log( n) ).3 Gerando números aleaórios n d. / n i i, enquano que, com os números quase-aleaórios Pode-se classificar os números aleaórios em rês grupos: a) Aleaórios. Os números aleaórios são os números puramene aleaórios, que são selecionados por meio não deerminísico, que não envolvem algorimos ou funções, e normalmene são obidos por inermédio de evenos naurais ou físicos. Nesa classificação, enquadram-se os geradores de números aleaórios (Sobol, 994). b) Pseudo-aleaórios. São os obidos por meio de algorimos, de al forma que apresenem um ciclo de repeição ão alo quano possível, de modo a simular uma disribuição verdadeiramene randômica. Nese grupo, enquadram-se os méodos de congruência linear abordados por Genle (998). c) Quase-aleaórios. Conhecidos como seqüências de baixa discrepância, são ambém obidos por procedimenos maemáicos. Desenhando um conjuno de números pseudo-aleaórios em duas dimensões, vê-se que os mesmos não preenchem regularmene os espaços (figura.), verificando-se regiões onde não há ponos, ou seja, os números pseudo-aleaórios não são disribuídos uniformemene no espaço (Paskov e Traub, 995). Para ornar melhor a esimaiva da inegração pela sua média (Sobol, 994), seria conveniene que os números aleaórios pudessem ser disribuídos uniformemene a cada amosra subseqüene. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 8

9 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona Seqüência de Sobol Seqüência de Pseudo-Aleaórios.8.8 a números de a números de a 8 Seqüência de Sobol Seqüência de Pseudo-Aleaórios números de 9 a 5 números de 9 a 5 Seqüência Sobol Seqüência de Pseudo-Aleaórios números de a números de a 5 Figura.. Disribuição em (duas) dimensões de seqüências de números pseudoaleaórios gerados pela função ran e de quase-aleaórios gerados pelo algorimo de Sobol. Há um conceio em eoria dos números denominado discrepância, que mede o desvio da uniformidade de um conjuno de ponos em uma dimensão d. A quesão em saber qual conjuno de ponos em uma dimensão d em a discrepância mais baixa ainda não foi resolvida, porém há várias seqüências de ponos de baixa discrepância conhecidas. Conforme Papageorgious e Paskov (999), o erro de aproximação uilizando números deerminísicos é o produo da variância, Var( ρ l), da função ρ l, com a discrepância da amosra D n, D n ( log( n) ) seqüência de baixa discrepância e d é a dimensão do problema. d = Cd, onde Cd é uma consane que depende da n REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 9

10 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo Percebe-se que o erro de convergência para ponos de baixa discrepância é proporcional ao inverso da quanidade de números uilizados, sugerindo que ese méodo é superior que o méodo de Mone Carlo (Paskov, 994). Esa vanagem diminui com o aumeno da dimensão d e alguns pesquisadores relaam que esa vanagem eórica desaparece para d > 3 (Paskov e Traub, 995)..4 Criérios de avaliação dos modelos VaR Os criérios devem idenificar a ocorrência de falhas nas previsões, imporando para a avaliação os ponos onde a previsão foi inferior à efeivamene ocorrida (caudas da disribuição de reornos). Criérios de avaliação que procurem capar o desempenho da previsão ao longo de oda a curva de disribuição dos reornos não necessariamene serão os melhores do pono de visa do risco, principalmene quando a abordagem é o VaR. Os criérios baseados em funções-objeivo avaliam a capacidade do modelo em esimar a curva de disribuição de reornos, conudo, a grande preocupação com o risco é a capacidade de prever exceções, já que o VaR procura capurar os piores cenários. Dessa forma, as caudas da disribuição de probabilidade são mais imporanes do pono de visa do risco e opou-se por avaliar a esimaiva do VaR pelo criério de backesing, proposo pelo Comiê de Basiléia, conjugado com o ese de proporção de falhas proposo por Kupiec (995). Kupiec desenvolveu um modelo que serve para verificar se o número de vezes em que as perdas efeivas superaram as perdas esimadas pelo VaR pode ser considerado aceiável. Ele considerou, para vários períodos, inervalos de não rejeição da hipóese nula de que p é a correa probabilidade da proporção (número de falhas dividido pelo oal de dias) a um nível de significância de 5%, conforme indicado na abela abaixo. Tabela.. Inervalos de não-rejeição da hipóese nula Ho de que a proporção de falhas p* é igual a p, a 5% de confiança O número x indica a quanidade de insucessos que poderia se observado numa amosra de amanho n, sem rejeiar a hipóese nula de que p é a correa probabilidade a um REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

11 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona nível de significância 5%. Kupiec ambém fornece oura maneira de esar o modelo de VaR, aravés da quanidade máxima que a amosra uilizada deverá coner para rejeiar a hipóese anerior, ressala que a écnica de avaliação das esimaivas de VaR só será confiável com um grande número de observações. 3. Meodologia Foram formuladas as seguines hipóeses a serem esadas: H: A simulação de Mone Carlo (SMC) com gerador de números quase-aleaórios apresena maior convergência que com números pseudo-aleaórios, na esimaiva do VaR das ações e das opções da Perobrás S/A. H: O VaR calculado pela simulação Mone Carlo (SMC) e gerador de números quasealeaórios apresena-se adequado na previsão da variação de ais aivos. H3: A simulação de Mone Carlo (SMC) apresena melhor desempenho na avaliação do VaR do que os méodos paraméricos. A base de dados empregada nese rabalho é composa pelos preços observados da ação preferencial nominaiva da Perobrás S/A, nos mercados à visa (PETR4), e de conrao de opções de compra da PETR4 (PETRJ39, PETRH5 e PETRH6). Os dados da ação PETR4 foram coleados no período de 4 de julho de 994 a 8 de agoso de, enquano foram obidos os preços das opções de compra de séries negociadas no período de de abril de 998 a 8 de agoso de. Uilizam-se as coações diárias de fechameno da ação e da opção de compra como realização do processo esocásico dos preços (Taylor, 986). Para a análise proposa por ese rabalho, uilizou-se uma careira linear hipoéica composa de uma ação PETR4 e uma careira não-linear hipoéica composa por uma opção de compra da PETR4. O reorno foi calculado pela forma logarímica, que é dado por: r F = ln F onde: F é o valor do faor de risco no insane. Para o cálculo do prêmio da opção uilizaram-se os modelos de B&S, H&W e o modelo de H&W associado com o modelo de Rendleman e Barer (98), que considera a axa de juros como variável esocásica, para a avaliação dos prêmios de conraos de opção. E, para represenar a axa de reorno do aivo livre de risco, uilizou-se a axa de juros SELIC, que reflee o cuso médio das operações com íulos públicos federais. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

12 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo A careira hipoéica é composa de opções de compra da ação PETR4, no enano a posição pode ser comprada ou vendida, e, a depender desa, a avaliação do desempenho dos méodos em prever a pior perda na careira será diferene. É conveniene, enão, analisar as duas siuações. 3. VaR - Simulação de Mone Carlo Para a careira linear, formada apenas com ações à visa, basa simular os valores da ação uilizando rajeórias de preço. Como foi viso, num mundo neuro ao risco, ln S T possui a seguine disribuição de probabilidade, e pela equação.5 pode-se escrever uma fórmula recursiva, discreizada no inervalo, para o preço da ação da seguine forma: S = S e ( R ( σ / )) + σε (3-6) onde ε é uma variável aleaória com disribuição normal padrão, R é a axa livre de risco e S é o preço do aivo na eapa. Para a careira de opções, no modelo de B&S, simulam-se as rajeórias de preço da ação para o momeno de empo desejado, e aplica-se a fórmula de precificação para ober uma disribuição empírica do valor da opção. O VaR enão é medido direamene pelo quanil da significância desejada. No modelo H&W, simulam-se as rajeórias de preço e de volailidade implícia, e aplica-se o modelo de precificação para ober o valor esperado da opção para o momeno em que se esar esimando a perda da careira. No erceiro modelo analisado, além dessas duas rajeórias, ambém simula o processo esocásico da axa de juros pelo modelo de Rendleman e Barer (98). Quando há mais de um faor de risco, er-se-á a seguine expressão: X j = X j e j ( R ( σ / )) + σ j ε j onde i X são os valores no insane dos faores de risco j, sejam preço da ação, volailidade ou axa de juros, e ε são variáveis aleaórias independenes enre períodos de empo e enre as séries j. Enreano, os faores de risco são geralmene correlacionados, e, para modelar essa correlação, uiliza-se a faoração de Cholesky para as variáveis aleaórias. O componene essencial de um gerador de números pseudo-aleaórios é uma disribuição uniforme sobre o inervalo [,], que produz uma variável aleaória x. A parir de REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

13 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona uma disribuição uniforme, pode-se ransformar esa em diversas disribuições desejadas. No caso de inegração de funções, que corresponde ao procedimeno de inversão da função de disribuição para esimar o quanil, uilizam-se disribuições uniformes. Para simular as rajeórias de preços dos faores de risco, parindo da suposição de que seguem o movimeno browniano geomérico, precisa-se de uma disribuição normal padronizada. Exisem vários méodos para ransformar uma disribuição uniforme em normal padrão. Um dos mais uilizados é o méodo de Box Miller (Press e al., 99), no enano apresena perda de eficiência em seqüências quase-aleaórias (Galani e Jung, 997) que será de fundamenal imporância para ese rabalho, como será viso logo a seguir. Uilizar-se-á o méodo proposo por Moro (995). Ese méodo ransforma o número aleaório com disribuição uniforme na disribuição desejada, aravés da inversa da função de disribuição de probabilidade cumulaiva. Como geradores de números aleaórios, uiliza-se a função ran (Press e al., 99), que é baseado no méodo de congruência linear, e, como gerador de números quasealeaórios, uiliza-se a seqüência de Sobol (Press e al.,99), implemenados em Forran. Eses algorimos fornecem variáveis uniformes e para proceder a ransformação em variável aleaória normal, uiliza-se o algorimo de Moro (995). As variações de valor para conraos lineares podem ser oalmene explicadas pelos ermos de primeira ordem da expansão da série de Taylor, já que os de maiores são nulos. Para a careira hipoéica composa da ação PETR4, assumiu-se que o reorno seguirá uma disribuição normal, de modo a uilizar a seguine fórmula do VaR apresenada no referencial eórico, a que denomina-se de méodo paramérico do desvio padrão: VaR = VC ασ, onde α é desvio normalizado para a significância selecionada, σ é o desvio padrão ou volailidade do preço da ação e VC é o valor de mercado da careira. Uiliza-se o desvio padrão amosral em janelas móveis de amanho de dias como esimador da volailidade do preço. Para derivar uma expressão analíica do VaR para a careira não-linear composa de opção de compra, recorre-se ao modelo de precificação de Black&Scholes (equação.3), que relaciona o valor de uma opção a vários faores de risco: R c = g( S, σ, R, ) = S N ( d ) K e N( d σ T ) Uilizando os primeiros ermos da expansão de Taylor para esa função g(.), a variação no valor da opção pode ser escria da seguine forma: REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 3

14 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo g g g g g dc= ds+ ds + dσ + dr+ d S S σ r É comum definir as derivadas parciais da função g(.) do valor da opção pelas seguines leras gregas: Dela da opção: g = = N (d) S Gama da opção: g Φ( d) Γ = = S Sσ T Vega da opção: g Λ = = S σ T Φ(d ) Rô da opção: g R( T ) ρ = = Ke ( T ) n( d σ r T ) O grande faor de risco da opção é sem dúvida o preço da ação. É por isso que normalmene se usa a aproximação linear do Dela para a análise do risco da opção. A grande vanagem da aproximação Dela é a adição, ou seja, se emos uma careira com várias opções, o risco pode ser analisado como a soma das posições Dela de cada opção. Considerando só o Dela, a variação do valor do prêmio da opção, dc, será: dc = ds e porano: Var( dc) = Var( ds) Considerando σ a volailidade das variações do preço da ação, σ(ds/s), e recorrendo a equação do processo de Iô, ds = µ Sd + σsdz, em-se que : Var( ds) = σs Supondo agora que a disribuição dessa variação é normal, pode-se aplicar a fórmula do VaR dada pela equação.. Enão, o VaR da variação do valor da opção será: VaR( dc) = α Sσ Considerando que a variação do prêmio da opção esá inserida nas gregas Dela e Gama, da série de Taylor, a variação do prêmio da opção será: dc = ds + Γ ds Se a variável ds for normalmene disribuída, obém-se: Var( dc) = ds ( ΓVar( ) Var( ds ) + ) Considerando σ a volailidade das variações do preço da ação, σ(ds/s), o VaR da opção será: REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 4

15 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona VaR ( ΓS ) ( dc) = α S σ + σ A composição Dela-Gama fornece uma aproximação muio melhor para as variações na opção, enreano sempre se esará incorrendo em erro, devido ao fao de os ermos de ordens maiores que o Gama esarem sendo desprezados. Uiliza-se a volailidade implícia como esimador para a volailidade do aivoobjeo quando da aplicação dos modelos de precificação de opções. No cálculo do VaR, é necessário definir arbirariamene um nível de significância e um período de empo. Uilizou-se um inervalo de confiança de 99% no cálculo do VaR para a careira linear de ações da Perobrás. Já no caso da careira de opções, como as séries de opções não são muio negociadas, uilizou-se o inervalo de 95%. 4. Resulados Empíricos Compara-se inicialmene a eficiência dos números quase-aleaórios e pseudoaleaórios, no cálculo do VaR uilizando a simulação de Mone Carlo para careiras lineares e não-lineares. A careira linear hipoéica uilizada para a análise é composa de (uma) ação preferencial da Perobrás S/A PETR4. Uilizando a equação 3-6, implemenamse diversas rajeórias de preço da ação para o dia seguine, a parir da simulação de uma disribuição normal da variável ε. Com a disribuição dos preços, deermina-se a disribuição da perda da careira, de onde reira-se, pela significância desejada, o VaR do quanil amosral correspondene. Uilizando as informações aé o dia 3/4/998, procede-se ao cálculo do VaR para o dia seguine, /5/998, com significância de 99%. Considera-se o valor verdadeiro do VaR, o obido com simulação de Mone Carlo com 5. ponos (valor exao =.895). A convergência do procedimeno numérico é verificada pelo gráfico do erro relaivo percenual versus número de simulações, consane na figura 4.. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 5

16 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo Figura 4.. Erro relaivo percenual do VaR da ação PETR4 calculado pela SMC com números pseudo-aleaórios e quase-aleaórios Pode-se ambém comparar eses méodos uilizando-se do criério referenciado por Papageorgiou e Traub (996), verificando-se para um mesmo nível de erro relaivo percenual (ER), E-4 por exemplo, quanos ponos são necessários para aingir al erro pela uilização dos dois ipos de geradores de aleaórios. A velocidade relaiva, calculada pela razão enre a quanidade de números uilizados para o mesmo nível de precisão, ambém serve de parâmero para verificar a axa de convergência relaiva enre os geradores. Tabela 4.. Erro relaivo percenual e velocidade relaiva da esimaiva do VaR aravés da SMC com números pseudo-aleaórios e quase-aleaórios. Consaa-se pela abela 4. que a velocidade relaiva da SMC com números quasealeaórios é bem superior a da SMC com números pseudo-aleaórios. Iso represena, além da eficiência numérica, um empo compuacional muio menor e, por conseguine, um cuso ambém menor. Verifica-se, em seguida, a performance da simulação de Mone Carlo e Quase Mone Carlo no cálculo do VaR de uma careira composa de opção de compra da Perobrás S/A, que represena nese rabalho uma careira não-linear. A PETRJ39 é uma opção de compra da ação PETR4 com vencimeno em de ouubro de e com preço de exercício de R$ 5,, para o loe de (cem) ações. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 6

17 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona Uiliza-se, para o cálculo da volailidade da série da ação objeo da opção, o esimador de máxima verossimilhança com mínima variância, uilizando como base hisórica os úlimos dias de negociação da ação PETR4. O valor verdadeiro para o VaR da careira de opção foi considerado o valor obido com simulação de. números. Considera-se, inicialmene, como variável esocásica, apenas o preço do aivoobjeo (SMC Univariada), obedecendo a movimeno definido como um processo de Iô, enquano que os demais parâmeros necessários para o cálculo do prêmio são considerados consanes. Ese é o modelo original de Black & Scholes. Para comparação da performance da geração dos números aleaórios, calcula-se o VaR para o dia /8/, uilizando o modelo acima e combinando seqüências de Sobol e de números pseudo-aleaórios. Pela figura 4.3, se observam que os números quase-aleaório fazem com que a esimaiva do VaR enha convergência mais rápida para o valor verdadeiro. Com menos de simulações, já foi possível aingir o valor verdadeiro, e permanecer em orno dese valor com erros relaivos inferiores a E-4. Figura 4.3. Convergência do VaR da careira de opções de compra PETRJ39 uilizando simulação de Mone Carlo (Univariada) Na abela 4., comparam-se os méodos, uilizando o criério da velocidade relaiva referenciado no iem anerior. Observa-se que a velocidade relaiva é quase cinco vezes maior para a seqüência de números quase-aleaórios. Esa velocidade diminuiu um pouco em relação à velocidade relaiva obida para a careira linear. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 7

18 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo Tabela 4.. Erro relaivo percenual (ER) e velocidade relaiva do VaR da opção de compra PETRJ39 uilizando simulações de Mone Carlo (Univariada) Supõe-se, em seguida, que o aivo-objeo e a volailidade implícia seguem um processo esocásico (SMC Bivariada). Uiliza-se a aproximação do modelo de H&W para precificar a opção e calcular o seu valor no horizone de um dia a frene, de modo a esimar o VaR. Na abela 4.3, apresenam-se os valores dos erros relaivos percenuais, considerando o valor exao para a esimaiva o calculado com. simulações. Verifica-se que a esimaiva do VaR pela simulação de Mone Carlo (SMC Bivariada) com gerador de números quase-aleaórios converge a uma velocidade relaiva de quaro vezes em comparação com o de números pseudo-aleaórios. Percebe-se que esa vanagem diminui em relação à SMC Univariada onde se considerou apenas o preço da ação como uma variável esocásica. Tabela 4.3. Erro relaivo percenual e velocidade relaiva do VaR da opção PETRJ39 calculado com SMC Bivariado Considera-se, agora, que as rês variáveis; o preço da ação, a volailidade da ação e a axa de juros, são esocásicas e acima seguem um processo de Iô. O modelo dos juros é admiido como sendo o modelo de Rendleman e Barer (98). Na abela 4.5, apresenam-se os valores dos erros relaivos, considerando o valor exao para a esimaiva o calculado com simulações. Observa-se novamene que a seqüência de números quase-aleaórios foi mais eficiene, considerando-se que aingiu um erro relaivo com uma quanidade menor de simulação. No enano, quando comparado com a SMC Bivariada, percebe-se que a velocidade relaiva diminuiu mais um pouco. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 8

19 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona Tabela 4.4. Erro relaivo percenual e velocidade relaiva do VaR da opção PETRJ39 com SMC Trivariada Depreende-se da análise que, independenemene do gerador de aleaórios uilizado, a convergência do procedimeno numérico de cálculo do VaR é maior quando se raa de careira lineares. A velocidade relaiva da esimaiva, uilizando-se seqüências de quase-aleaórios, apresenou-se em odos os momenos mais eficienes. Ademais, percebe-se que, à medida que se incluiu uma dimensão no procedimeno numérico, com a inclusão sucessiva de variáveis esocásicas, a performance relaiva dos quase-aleaórios diminui, embora a vanagem em relação aos pseudo-aleaórios coninue grande. Ese resulado esá coerene com a análise das fórmulas do erro de esimaiva uilizando números pseudo-aleaórios, obido na seção.4, que é da ordem de / n da esimaiva uilizando números quase-aleaórios, que é da ordem de ( log( n) ) n, e do erro d. Esses resulados ambém esão coerenes com os obidos por Paskov e Traub (995), Joy, Boyle e Tan (996), Papageorgiou e Traub (996) e Galani e Jung (997). Em sínese, pode-se concluir que a simulação de Mone Carlo (SMC) com gerador de números quase-aleaórios apresena maior convergência que com números pseudoaleaórios, na esimaiva do VaR de uma careira de ações e de uma careira de opções da Perobrás (Hipóese não rejeiada). Uilizando agora apenas as seqüências de números quase-aleaórios, verifica-se a capacidade dos modelos de SMC e paramérico, para uma careira linear e oura não- linear, em prever a variação na careira para um dia de horizone de empo. Calcula-se o VaR da ação PETR4 para o horizone de (um) dia e a 99% de confiança, para os 5 dias compreendidos enre //998 e 5//999. Os (cem) dias aneriores a //998 foram uilizados para calcular os parâmeros volailidade e média, a serem aplicados nos modelos. O VaR paramérico em mais de 9 (nove) dias foi superado pelo reorno efeivo, enquano que o VaR pela SMC só foi excedido em (dois) momenos. Resa saber se as falhas ocorridas para os méodos esão denro da incereza oriunda da variação amosral. Para ano uiliza-se a abela., consruída por Kupiec (995). REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 9

20 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo Tabela 4.5. Tese de rejeição da hipóese de que a proporção de falhas é de % Para um nível de confiança de 95%, a máxima quanidade de falhas permiida para não rejeiar a hipóese de que a proporção das mesmas é igual ao nível de confiança do VaR, ou seja 99%, é de ocorrências, conforme Kupiec (abela.). Rejeia-se, porano, apenas o VaR paramérico da careira com posição vendida. Verifica-se que, embora, para a careira com posição comprada, não enham sido rejeiados os dois méodos, é significaiva a diferença da quanidade de erros para cada méodo, apresenando o méodo de SMC menos erros. Para verificar a capacidade das esimaivas de VaR dos méodos proposos para careiras não-lineares, uiliza-se uma careira hipoéica composa de opções de compra PETRH5 e PETRH6, pois as mesmas apresenam o maior inervalo de negociação para o período analisado, de modo a er maior consisência para o ese de proporção das falhas. Realizou-se o cálculo do VaR para odo o período de negociação da opção PETRH6 uilizando a simulação de Mone Carlo com inúmeros quase-aleaórios e ambém pelas aproximações Dela e Dela-Gama. Os resulados enconram-se na abela 4.6. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

21 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona Tabela 4.6. Esimaivas do VaR da opção PETRH6 pela simulação de Mone Carlo (SMC) em 3 varianes e para os méodos paraméricos Dela e Dela-Gama Aplicando o procedimeno de backesing, calcula-se a proporção de falhas dos méodos na previsão da perda da careira. Os resulados são mosrados na Tabela 4.7. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

22 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo Tabela 4.7. Tese de Hipóese de que a proporção de falhas do VaR é.5 a 95% de confiança A proporção de falhas pelos méodos paraméricos foi rejeiada a 95% de confiança, enquano os 3 (rês) modelos de SMC não foram rejeiados. A performance dos 3 (rês) ipos de simulação de Mone Carlo foi exaamene a mesma. Concluí-se, porano, que a inclusão de variáveis esocásicas, quase sejam, a volailidade implícia e juros, não agregou ao modelo capacidade de prever a variação da careira. Replicou-se o mesmo procedimeno para a opção PETRH5, obendo-se resulados similares: ambém os méodos paraméricos foram reprovados. Em sínese, pode-se concluir que o VaR calculado pela simulação Mone Carlo (SMC) e gerador de números quase-aleaórios apresena-se adequado na previsão da variação das careiras de ações PETR4 e de opções da Perobrás, PETRH5 e PETRH6 (Hipóese não rejeiada), bem como apresena melhor desempenho que os méodos paraméricos (Hipóese 3 não rejeiada). Porano, as rês hipóeses formuladas não foram rejeiadas. 5. Conclusões A esimaiva do VaR pela simulação de Mone Carlo para a ação PETR4 foi considerada adequada para previsão da perda da careira, ao nível de confiança de 99%, uilizando-se o ese de proporção de falhas proposo por Kupiec (995). Ademais, ese méodo eve performance melhor que o méodo paramérico do desvio padrão. O VaR calculado pela simulação de Mone Carlo, uilizando os rês modelos de precificação, o Black&Scholes (SMC Univariada), o de Hull&Whie que inclui volailidade esocásica (SMC Bivariada) e, por úlimo, a inclusão da axa de juros ambém esocásica aravés do modelo de Rendleman e Barer (SMC Trivariada), apresenou-se adequado na avaliação da perda do valor das opções. Nas séries analisadas, não se rejeiou a hipóese de REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago

23 Fábio Luiz de Oliveira Bezerra & Charles Ulises De Monreuil Carmona que a esimaiva de VaR é suficiene para prever as piores realizações da careira de opções, denro de um nível de confiança desejado de 95%. A SMC eve performance melhor do que os modelos paraméricos de aproximação pela expansão de Taylor, Dela e Dela-Gama. Na realidade, as esimaivas do VaR pelos méodos Dela e Dela-Gama foram inclusive rejeiadas pelo ese de Kupiec (995). As esimaivas do VaR pelos modelos de Black & Scholes (SMC Univariado), Hull & Whie (SMC Bivariada) e o do Hull & Whie com juros esocásicos (SMC Trivariada) foram compaíveis. Não houve melhorias significaivas na esimaiva de VaR pelo modelo de B&S com a inclusão da volailidade implícia como variável esocásica (SMC Bivariado). A esimaiva do VaR considerando-se, além do preço e da volailidade, a axa de juros como variável esocásica, ambém não apresenou diferenças significaivas com relação àquelas obidas pelos modelos de Black & Scholes e de Hull & Whie. Referências Bibliográficas BOYLE, P. P. Opions: a mone carlo approach. Journal of Financial Economics, n. 4, p , 977. DUFFIE, D.; PAN, J. An overview of value a risk. Journal of derivaives, v. 4. n. 3, p. 7-49, spring 997. GALANTI, S.; JUNG, A. Low-discrepancy sequences: Mone Carlo simulaion of opions prices. The Journal of Derivaives, p , fall 997. GENTLE, J. E. Random number generaion and Mone Carlo mehods. New York: Springer- Verlag, 998. HULL, J. C. e WHITE, A. Opions, fuures & ohers derivaives, 4 ª ed., Upper Saddler River: Prenice-Hall,. JOY, C., BOYLE, P. P. e TAN. K. S. Quasi-Mone Carlo mehods in numerical finance. Managemen Science, v. 4, n. 6, p , jun JORION, P. Value a risk: he new benchmarking for managing financial risk. ª ed., New York: McGraw-Hill,. KUPIEC, P. Techniques for verifying he accuracy of risk measuremens models. Journal of Derivaives, v., p , dez MORO, B. The full mone. Risk, v. 8, n., p , fev PAPAGEORGIOU, A.; TRAUB, J.T. Beaing Mone Carlo. Risk, v.9, n.6, p , jun REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 3

24 Avaliação da esimaiva do risco de mercado de ações e opções de compra da Perobrás uilizando a meodologia Value a Risk (var) com simulação de Mone Carlo PASKOV, S. H.; TRAUB, J. F. Faser valuaion of financial derivaives. The Journal of Porfolio Managemen, p. 3-, fall 995; PRESS, W. H., e. al.. The ar of scienific compuing, ª ed., Cambridge - EUA: Cambridge Universiy Press,996. RENDLEMAN, R.; BARTTER, B. The pricing of opions on deb securiies. Journal of Financial and Quaniaive Analysis, n. 5, p. -4, mar. 98. SOBOL, I. M. A primer for he Mone Carlo Mehod. USA: CRC Press LLC, 994. REAd Edição 8 Vol. 8 No. 4, jul-ago 4