2 Processos Estocásticos de Reversão à Média para Aplicação em Opções Reais

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1 Processos Esocásicos de Reversão à Média para Aplicação em Opções Reais Resumo Ese capíulo analisa alguns méodos usados na deerminação da validade de diferenes processos esocásicos para modelar uma variável incera e verificar se esa pode er seu comporameno descrio por um caminho aleaório ou se os modelos de reversão à média descrevem melhor seu comporameno. São analisados os principais modelos de reversão à média passiveis de serem usados em avaliação por opções reais, sejam eses de faor único, ariméico e geomérico, ou de dois faores. Para cada modelo analisado é demonsrada ou desenvolvida uma abordagem para deerminar os parâmeros necessários à sua modelagem, sempre a parir de séries emporais exisenes de valores da variável que se preende modelar. Dessa forma é possível uilizar diversos modelos esocásicos em aplicações de opções reais, não se resringir a modelagem por movimeno geomérico browniano. As abordagens desenvolvidas são enão aplicadas a séries emporais de preços spo de eanol e açúcar no mercado brasileiro. Em seguida, os parâmeros de cada modelo desenvolvido são levanados e comparados, mosrando que para preços deflacionados os modelos auo-regressivos são mais adequados, enquano que nas séries nominais o processo de caminho aleaório é mais apropriado. Também é mosrado que ambos processos podem ser inegrados num modelo de dois faores, mais complexo, porém que melhor descreve o comporameno dessas variáveis..1. Inrodução As incerezas responsáveis pela volailidade dos projeos geralmene são modeladas como um Movimeno Geomérico Browniano (MGB) para fins de avaliação pela eoria das opções reais. Isso simplifica sua modelagem e ambém

2 5 permie que a esimação dos parâmeros necessários para essa modelagem seja feia a parir de séries emporais de valores da variável incera. Mas em deerminado ipos de variáveis inceras, essa simplificação excessiva que pode levar a erros de superesimação do valor das opções reais, gerando uma decisão de invesimeno não óima. Os modelos esocásicos de reversão à média de faor único, como os de Dixi e Pindyck (1994) e Schwarz (1997) ou de dois ou mais faores, como os de Gibson e Schwarz (1990), ainda Schwarz (1997), Baker, Mayfield e Parsons (1998) e Schwarz e Smih (000) podem aproximar de forma mais realisa o comporameno de diversas variáveis inceras. Por ouro lado além de serem muios, os modelos de reversão à média, principalmene os geoméricos, êm a esimação de parâmeros mais complicada que no caso do MGB. Muios deses modelos foram desenvolvidos para descrever o comporameno de commodiies que dispõe de conraos fuuros negociados em bolsas de mercadorias. Quando é ese o caso, a esimação dos parâmeros pode ser feia por ferramenas como filro de Kalman ou o filro de parículas (AIUBE, BAYDIA e TITO, 006). Quando não se dispõe de preços fuuros, ou quando eses não êm liquidez, ou mesmo quando a variável incera não é um preço de mercadoria, essas ferramenas não fornecem esimaivas precisa (SCHWARTZ e SMITH, 000, p. 90) e é necessário recorrer a esimações economéricas para ober os parâmeros necessários dos modelos de reversão à média. Ese capíulo se propõe a analisar os méodos geralmene usados para avaliar se uma variável pode er seu comporameno descrio por um MGB ou se os modelos de reversão à média descrevem melhor seu comporameno, e propor uma abordagem complemenar. Também serão explicados os principais modelos de reversão à média passiveis de serem usados em avaliação por opções reais. Para cada um deses será mosrado como esimar os parâmeros que o compõe à parir de série hisórica, assim como proceder à modelagem de sua simulação, ano real quano neura ao risco, necessária para o cálculo do valor de opções reais. Finalmene serão usadas séries de preços spo de açúcar e eanol para esimar os parâmeros de cada modelo descrio. Os resulados mosram que os processos de reversão à média se aplicam com muia precisão às séries de preços deflacionadas, mas no caso de preços nominais o modelo de dois faores, que

3 6 considera pare do processo como um MGB e pare como uma reversão à média, é mais adequado apesar de sua maior complexidade. O capíulo esá esruurado da seguine forma. Após esa inrodução, é explicado o comporameno das variáveis esocásicas usadas em opções reais. Na seção.3 é proposa uma meodologia de deerminação de validade do processo, seja MGB ou de reversão à média. Na seção.4 são descrios os processos de reversão à média de um faor assim como a esimação de parâmeros para eses, e na.5 um processo de dois faores. Os resulados da aplicação desses modelos a séries de preços de eanol e açúcar são mosrados na seção.6 e conclusões e sugesões de ouras pesquisas na seção.7... Processos Esocásicos e seu Uso em Aplicações de Opções Reais Para que opções reais enham valor são necessárias rês condições com relação ao valor do aivo subjacene: incereza do seu valor fuuro, irreversibilidade, pelo menos parcial em relação ao invesimeno uma vez ese realizado e flexibilidade quano à capacidade da gesão em agir, alerando o caminho fuuro do valor do projeo em resposa a resolução das incerezas (DIXIT e PINDYCK, 1994). Quano à incereza, esa esá presene na grande maioria dos projeos e é a principal fone de riscos, ano privados quano públicos, associados ao projeo. A origem desa são as variáveis que compõe o projeo e cujo valor fuuro é geralmene apenas esimado por uma projeção deerminísica. Essas variáveis inceras podem ser de diversas origens e ipos: preço de uma commodiy, quanidade de um mercado (como quanidade de veículos rafegando, demanda fuura por um serviço, ec.), faia a ser capurada desse mercado, incereza ecnológica, ec. A correa modelagem do comporameno fuuro dessas incerezas é de fundamenal imporância para a avaliação das opções reais porvenura exisenes. Negligenciar esse aspeco da modelagem numa avaliação por opções reais pode levar a resulados enganosos, seja super-dimensionando ou negligenciando o seu real valor.

4 7 Frequenemene é usado o Movimeno Geomérico Browniano (MGB) como o fazem Paddock, Siegel, e Smih (1988), como modelo esocásico para modelar as variáveis inceras de um projeo, sem maiores quesionamenos quano a sua validade para as incerezas mapeadas. Ese é fácil de modelar e, a rigor, é um óimo processo esocásico para modelagem de preços de ações, commodiies financeiras como ouro, índices de mercado como Ibovespa, e aivos financeiros em geral, mas ambém para demanda de novos produos, errenos, ec. Muias vezes, no enano, a incereza a ser modelada não segue um processo esocásico similar a um MGB (LUND, 1993), e é frequenemene o caso quando é proporcional a preços que dependem de nível de equilíbrio de longo prazo, como é o caso de commodiies não financeiras (AL-HARTHY, 007, GEMAN, 005, PINDYCK, 001, 1999, METCALF e HASSET, 1995, SMITH e MCCARDLE, 1998, BRENNAM e SCHWARTZ, 1985, BHATTACHARYA, 1978). Alguns auores como Lo e MacKinlay (1988) afirmam que mesmo preços de ações não são correamene descrios por um MGB. Nesse caso, geralmene um Modelo de Reversão à Média (MRM) é considerado o mais adequado. A lógica por rás de um MRM vem da microeconomia: quando os preços esão deprimidos (ou abaixo de sua média de longo prazo), a demanda desse produo ende a aumenar, ao passo que sua produção ende a diminuir. Isso é devido ao fao que o consumo de uma commodiy com preço baixo aumena enquano os baixos reornos para as empresas produoras as levarão a posergar invesimenos e fechar unidades menos eficienes, reduzindo assim a disponibilidade do produo. O oposo acorrerá se os preços esiverem alos (ou acima da média de longo prazo). No enano a reversão pura de faor único pode ser demais previsível e, dependendo da variável modelada, poderia aé ser uma escolha de modelagem pior que o MGB. Em deerminados casos seria mais realisa enão combinar um processo de MRM com um MGB modelando o nível de equilíbrio, ou enão adicionar um processo de salos. Dias (008) classifica os processos esocásicos para modelagem de preços de peróleo em rês caegorias mosradas na Tabela.1.

5 8 Tabela.1. Processos esoásicos mais usuais Tipo de Modelo Esocásico Nome do Modelo Referências Modelo Imprevisível Modelo Previsível Modelos mais Realisas Fone: Dias (008) Movimeno Geomérico Browniano (MGB) Reversão à Média Pura (MRM) Modelo de dois ou rês faores, e de reversão para nível incero de longo prazo Reversão à média com salos Paddock, Siegel e Smih (1988) Dixi e Pindyck (1994), Schwarz (1997, modelo 1) Gibson e Schwarz (1990), Schwarz (1997, modelos & 3), Baker, Mayfield e Parsons (1998), Schwarz e Smih (000) Dias e Rocha (1999, 001), Aiube, Baidya e Tio (006) Os processos de reversão à média geralmene uilizados são baseados em modelos desenvolvidos para descrever o comporameno de commodiies e alguns deses usam o conceio da axa de conveniência (GIBSON e SCHWARTZ, 1990, SCHWARTZ, 1997, CASASSUS e COLLIN-DUFRESNE, 005) para descrever esse comporameno como expõe Pindyck (001). Para isso precisam de séries emporais de preços de conraos fuuros da commodiy modelada, os parâmeros do modelo (ou a calibragem dese) são enão levanados com a écnica de filro de Kalman ou aé de filro de parículas (AIUBE, BAIDYA e TITO, 006). No enano as commodiies que dispõe de séries de preços fuuros com liquidez suficiene para correamene aplicar essa écnica são relaivamene poucas, como preços de peróleo, gás naural nos Esados Unidos, e alguns produos negociados em bolsas de mercadorias. Além desse pono muias commodiies não dispõem de séries de preços spo e é enão usado o primeiro conrao fuuro como proxy do preço spo. Nas aplicações de opções reais frequenemene as variáveis inceras não são somene preços de commodiies ransacionados em bolsas de mercadorias, mas variáveis do próprio projeo e aé preços de produos dos quais não se dispõe de séries de preços fuuro. O que se pode observar dessas variáveis são valores hisóricos dos quais se em séries emporais. hp://

6 9.3. Deerminação da Validade do Processo Esocásico Para se deerminar qual modelo pode ser uilizado na modelagem de uma variável esocásica podemos, num primeiro passo, esar a validade do modelo MGB a parir de uma série emporal desa. Como o MGB é um caso de um processo chamado de raiz uniária, ou seja, uma série emporal alamene persisene na qual o valor correne é igual ao valor do período anerior mais uma perurbação fracamene dependene, essa série pode ser esada para a presença de raiz uniária, aravés de uma regressão linear por mínimos quadrados e aplicandose um ese de Dickey-Fuller. Iso é, fazendo a regressão sobre a equação: x = a + b x + ε, e verificando-se a hipóese nula de que b=1, em qual caso a 1 série erá uma raiz uniária e segue um caminho aleaório. Em ouras palavras, ela pode ser modelada por um MGB. A forma mais usual é de reescrever essa equação, subraindo-se x -1 de ambos os lados como na equação (.1): x x = a + ( b 1) x + ε (.1) 1 1 A seguir verifica-se a hipóese nula de que (b-1) = 0, o que equivale a b=1. Como o esimador por mínimos quadrados possui viés para zero, o ese padrão não pode ser uilizado, e precisaremos usar as esaísicas de valores dos eses de Raiz Uniária (Dickey-Fuller). Esas são abeladas e conhecidas, e podem ser visas na Tabela.. Tabela.. Valores críicos assinóicos de ese de Raiz Uniária. Sem endência emporal Nível de Significância 1%,5% 5% 10% Valores Críicos -3,43-3,1 -,86 -,57 Fone: Wooldridge, 000, p. 580 Para séries com evidene endência emporal, a equação (.) precisa ser modificada na seguine forma, para levar em consideração essa endência: x x 1 = a + ( b 1) x 1 + c + ε (.)

7 30 Nesse caso os valores críicos do ese mudam, uma vez que ao reirar a endência de uma série com raiz uniária, esa passa a er caracerísicas de um processo I(0). Porano é necessário ambém usar uma magniude maior para as esaísicas de forma a rejeiar a presença de raiz uniária. Nesse caso usa-se um ese expandido de Dickey-Fuller cujos valores esão na Tabela.3. Tabela.3. Valores críicos assinóicos de ese de Raiz Uniária. Com endência emporal.4.nível de Significância.5.1%.6.,5%.7.5%.8.10%.9.Valores Críicos.10.-3, , , ,1 Fone: Wooldridge, 000, p. 583 É imporane resalar que é muio difícil rejeiar a hipóese nula de Raiz Uniária, ou seja, que a série segue um caminho aleaório (MGB). Dixi e Pindyck (1994) e Pindyck (1999) conseguem comprovar que os preços de peróleo não seguem um MGB, mas apenas para uma série de 10 anos. Ao analisar séries mais curas, de 30 e 40 anos, eses auores não conseguem rejeiar a hipóese nula. Oura informação ambém é obida dessa regressão: a H 1, é que b < 1 (b > 1 não é geralmene considerado, pois significaria que a série em comporameno explosivo (WOOLDRIDGE, 000). Ainda que não rejeiando a H 0, quando obemos valores de b<1, podemos assegurar que emos indícios de reversão à média. Veremos abaixo que inclusive esse valor de b é proporcional ao parâmero conhecido como velocidade de reversão da série, e que no caso de b =1, essa velocidade seria nula. A não rejeição de um caminho aleaório (MGB), ainda pode permiir a exisência de algum nível de auo-regressão (reversão à média) na variável esudada. Porano, como sugerem Dixi e Pindyck, a escolha do processo esocásico poderá depender ano de considerações esaísicas quano eóricas, por exemplo inuição com relação aos mecanismos de equilíbrio do aivo modelado (DIXIT e PINDYCK, 1994, DIAS, 008). Como alernaiva Pindyck (1999) sugere que a verificação de aé qual nível os choques de preços são permanenes pode ser mais informaivo do que a pesquisa sobre raiz uniária na invesigação de caminho aleaório ou reversão à média. Num processo auo-regressivo, os choques de preço endem a dissipar-se

8 31 sob a permanene força de reversão, enquano que caso de um MGB os choques de preço endem a ser permanenes. Para esar essa condição, Pindyck uiliza um ese de razão de variância que mede o nível para o qual a variância de uma série cresce com o reardo ou lag do ese. O ese da razão da variância pode ser descrio pela equação (.3). R k Var P = k Var P ( + P ) ( P ) 1 k + 1 (.3) O ermo Var (.) na formula represena a variância das séries de diferenças enre preços, com reardo (lag) de k períodos, nas séries de preços P. No caso de um MGB, à medida que a variância cresce linearmene com k, a razão R k deveria convergir para 1 quando k cresce. Na presença de reversão à média, por ouro lado, a variância é delimiada a um cero nível com o crescimeno de k. Ou seja, para valores alos do reardo k, ou lag, a razão da variância R k deveria cair indicando que os choques de preço não são permanenes e que os preços reverem para algum nível de equilíbrio. Lo e MacKinlay (1988) ambém usam um ese semelhane para comprovar que preços de ações ambém não seguem um MGB. Enquano os processos esocásicos ariméicos e geoméricos brownianos (MAB, MGB) êm cada um, um único modelo esocásico, os processos regressivos conhecidos como Movimenos de Reversão à Média (MRM) são inúmeros, variando em grau de complexidade. Os mais simples são, evidenemene, os de faor único, que possuem somene uma fone de incereza. O capíulo analisa quaro desses modelos: o conhecido como processo de Ornsein- Uhlenbeck, sendo ese um MRM ariméico, e os modelos geoméricos conhecidos como modelos de Pindyck (1994), modelo 1 de Schwarz (1997) e de Dias/Marlim (1999). A seguir são analisados rês modelos de dois faores sendo que um dese, o modelo de Schwarz e Smih (000) é analisado em maior profundidade.

9 3.4. Modelos de Reversão à Média de Faor Único Serão discuidos e apresenados quaro modelos de reversão à média de um faor: um ariméico (modelo de Ornsein Uhlenbeck) e ouros rês geoméricos (modelo de Pindyck, modelo 1 de Schwarz, e modelo de Dias/Marlim). Apenas o primeiro é de fao referenciado na lieraura por esses nomes, e ouros foram assim chamados nese capíulo referenciando seus auores, apesar de frequenemene serem assim denominados. Os modelos esocásicos geoméricos diferem-se dos ariméicos, não somene por não reornarem valores negaivos, mas ambém por erem seus reornos proporcionais ao valor da variável. Para cada modelo discuido é apresenado seu valor esperado e variância, ou no caso dos geoméricos, a variância do logarimo de sua variável, sua discreização real e neura ao risco para efeio de uso em simulação, e a esimação de parâmeros a parir de séries hisóricas empíricas Modelo Ariméico de Ornsein-Uhlenbeck A forma mais simples de reversão à média (MRM) é o processo de faor único conhecido por processo de Ornsein-Uhlenbeck (OU), ambém chamado de MRM Ariméico, e definido pela equação (.4): ( ) dx = η x x d + σ dz (.4) onde: x é a variável esocásica, x é a média de longo prazo da variável esocásica, ou seja o nível de equilíbrio de longo prazo desa, η é a velocidade de reversão, ou a medida de inensidade com a qual os choques esocásicos são dissipados pelo efeio de reversão à média, σ é a volailidade do processo, ou a medida de inensidade das perurbações esocásicas da variável, dz é o processo padrão de Weiner, com disribuição normal: dz = ε d, e: ε ~ N(0,1), e

10 33 d o incremeno de empo do processo Média e Variância As expressões da Média e da Variância de um processo esocásico são imporanes para efeio de seu uso em avaliação, e elas raduzem o comporameno da variável, por uma óica financeira, do Reorno Esperado (Média) e do Risco (Variância). O processo de Ornsein-Uhlenbeck (Dixi & Pindyck, 1994) definido em (.4), em o valor esperado e a variância conhecidos e dados por Dixi e Pindyck (1994, p ). Eses são E ( x ) x ( x x ). e η e: ( 0 ) = + 0 (.5) σ ( 0 ) var( x ) ( 1 e η = ) (.6) η Discreização do Modelo Para podermos simular o processo em quesão, precisamos da equação empo discreo dese. Esa é obida somando a parcela deerminísica da media (.5) com a esocásica (.6), a qual é enão muliplicada pela disribuição normal com média 0: η η η 1 e x = x 1e + x ( 1 e ) + σ N ( 0,1) (.7) η Podemos proceder assim, pois x possui disribuição normal. Essa discreização é exaa e independe do amanho de (KLOEDEN e PLATEN, 199, p. 118).

11 Esimação de Parâmeros Para deerminar os valores dos parâmeros para o MRM Ariméico (OU), escrevemos esse processo a parir da equação (.5) em ermos do inervalo emporal discreo : x = x + ( x x) e 1 η η η x = x(1 e ) + e x 1 x x = x (1 e ) + ( e 1) x (.8) η η 1 1 A equação (.7) é a expressão para empo conínuo do processo auoregressivo de primeira ordem da seguine expressão x x = x (1 e ) + ( e 1) x + ε η η 1 1 onde o erro ε é normalmene disribuído com media 0 e variância σ. ε Se escrevermos a equação (.8) na forma: η η ( 1 ) ( 1) x x = x e + e x a b 1 Ou, considerando o erro da série: x x = a + ( b 1) x + ε, (.9) 1 1 enão podemos esimar os parâmeros do processo em quesão fazendo uma regressão linear sobre as séries x. Vale noar que a equação (.9) é igual a (.1), porano esaremos procedendo à mesma regressão execuada para fim de esar a Raiz Uniária da série em quesão. A parir dos esimadores obidos da regressão podemos calcular os parâmeros a parir das equações (.8) e (.9). A parir desas emos b 1 = e η 1 e η = ln( b) / (.10) Também emos: a x ( 1 e η ) =, e com (.10) x = a ( b 1) (.11)

12 35 O parâmero de volailidade σ pode ser deerminado a parir da variância σ ε σ =, derivada η dos erros da regressão, a qual é dada pela expressão ( 1 e η σε ) da equação (.6). Reescrevendo esa uilizando a relação b σ 1 ε = σ b ln b, ou e η = e (.9), obemos σ = σ ε ln b ( b 1) (.1) onde σ é o erro padrão da regressão. ε Podemos noar que o parâmero de velocidade de reversão, η, obido pela regressão na equação (.10), é inversamene proporcional à chamada meia vida do processo. Esa é o empo no qual o valor esperado da variável auo-regressiva diminui a disância aé seu nível de equilíbrio, pela meade, de onde o nome meia vida (SCHWARTZ e SMITH, 000). A meia vida em anos correspondene a um valor b, de uma série x seria calculada assim: T 1/ ln = ln b Para se er uma idéia de ordem de grandeza, para uma série de preços semanais ( = 1/5) um valor de b = 0,99 (que dificilmene rejeiaria a hipóese nula de raiz uniária num ese de Dickey Fuller), daria uma meia vida T 1/ de 1,33 anos, que pode ser considerada baixa, com um valor anual de η = 0,53, considerado alo. Dias (005) considera que a meia vida de preços de peróleo seja superior a rês anos. Porano podemos agora enender com mais clareza porque a não rejeição da H 0 de Raiz Uniária, não significa que não haja indícios de reversão à média numa série x. A esimação da meia vida do processo, inversamene proporcional ao logarimo naural da velocidade de reversão, é um indicador mais consisene da presença de auo-reversão. Porano valores de b < 1, mesmo que muio próximos de 1, já são indícios suficienes de auoregressão

13 Simulação Neura ao Risco Hull (1999, p. 44) considera a avaliação neura ao risco a ferramena mais imporane na análise de derivaivos. Isso significa que para o apreçameno de derivaivos, opções e opções reais, é necessária a forma neura ao risco do processo esocásico usado na modelagem da incereza, pois num mundo neuro a risco uiliza-se a axa livre de risco como faor de descono do processo. Porano é necessário que se possa derivar a sua forma neura ao risco. No caso de um o MRM (OU), da mesma forma que com o MGB, ese é converido em neuro ao risco alerando-se o parâmero de crescimeno (drif) (DIXIT, PINDYCK, 1994). Sendo: µ - a axa de descono ajusada ao risco α - a axa de crescimeno do processo (drif) δ - a axa de dividendos do processo, ou no caso de commodiy: axa de conveniência, e r - a axa livre de risco No caso de um processo ajusado ao risco (ou processo real), emos: µ = α + δ ou α = µ δ. Na forma neural ao risco, o crescimeno α do processo é subsiuído por: r ( x x) δ. Como no caso de reversão à média o crescimeno real é α = η, e, conrariamene ao caso do MGB, a axa de dividendos não é consane, mas é uma função de x: δ = µ α = µ η ( x x) Com essa expressão obemos o crescimeno neuro a risco para o processo de reversão à média: ( ) ( ) ( ) r δ = r µ + η x x r δ = η x x µ r ( µ r) r δ = η x x η Podemos noar que: (µ r) é o prêmio de risco. Comparando ambos os crescimenos (ajusado ao risco, ou real, e neuro ao risco) podemos ver que a passagem do processo real para o neuro ao risco, envolve a subração do prêmio de risco normalizado ( r) µ η da média de longo prazo x. Ou seja, no processo

14 37 neuro ao risco os valores reverem para um nível inferior aquele do processo real, e a diferença enre eses é o prêmio de risco normalizado. Dessa forma obemos uma equação ajusada para a simulação neural ao risco de x( ). A expressão em empo conínuo desa é: µ r dx = η x x d + σdz η Na forma neural ao risco, o processo x() é simulado (válido ambém para grande) pela equação em empo discreo (.13). η µ r 1 e x = x 1e + x e N η + η O ermo ( r ) e a simulação real. η η ( 1 ) σ ( 0,1) (.13) µ η, o prêmio de risco normalizado, é a diferença enre esa.4.. Modelos Geoméricos de Reversão à Média Como já expliciado, a principal limiação envolvendo o Movimeno de Reversão à Média Ariméico (OU), ou mesmo ouros processos ariméicos como o MAB, é que ese pode produzir valores negaivos para x() os quais apesar de serem aceiáveis para algumas variáveis (ais como axas de reorno ou axas de conveniência de commodiies) de uma forma geral são um problema quano esamos considerando uma vasa gama de variáveis inceras, ais como preços de commodiies por exemplo, mais não se resringindo a eses O Modelo de Dixi & Pindyck (1994) O modelo de Dixi & Pindyck é definido como um MRM geomérico de faor único, no qual aparece uma variável P adicional em cada ermo do lado direio da equação (.14), do processo de OU. É conhecido como modelo de Dixi

15 38 & Pindyck (D&P) (DIXIT e PINDYCK, 1994, p. 161), e a sua forma maemáica esá na equação (.14). ( ) dp = η P P Pd + σ Pdz (.14) Por essa expressão em-se um processo geomérico, no qual o incremeno de valor da variável (dp) passa a ser proporcional ao nível da variável em si (P) Média e Variância Inicialmene devemos escrever o MRM Ariméico correspondene, para, a parir das expressões de valor esperado e variância dese, podermos deerminar valor esperado, discreização, real e neura ao risco, e parâmeros do processo geomérico. Para isso definimos uma variável x = ln P com: ( ) * * dx = η x x d + σ dz A vanagem de uilizar o logarimo naural dos preços P é que é geralmene assumido que as commodiies possuem uma disribuição log-normal de preços (o que fica garanido por er dz* uma disribuição normal) e ambém porque se x=lnp enão P=exp(x) e ese não pode ser negaivo. Aplicando o lema de Iô: x x 1 x x dx = + η ( P P) P + σ P d + σpdz P P P x x 1 x 1 = 0, =, = P P P P 1 ( ) 1 1 dx = 0 P P P P d 1 + η σ + σ Pdz P P P σ dx = η P P d + σdz η ou P σ ln P dx = η P ln P d + σ dz ln P η P * P Temos enão: η = η, ln P * σ = σ, e σ ln P x = P η P

16 39 Podemos observar que o modelo de D&P em a desvanagem de que a * ransformação pelo lema de Iô reorna valores de η e x dependenes do nível de preços P. Esa limiação faz com que esse modelo não seja práico em aplicações reais, pois o cálculo ano do valor esperado quano do processo discreo se ornam significaivamene mais complexos. Dias (008) sugere que esa limiação pode ser conornada em ermos práicos considerando um valor médio para P. Se for assumido P como sendo essa média (a própria media de longo prazo para a qual o processo deve reverer), e considerando que P() possui disribuição log-normal, o que requer que a meade da variância seja adicionada para a passagem de E(x) para E(P), uilizando as equações (3) e (5) do processo OU, emos enão: * Seja, enão η = η P ln P e são assumidos consanes), enão: σ ln P σ ln P x = P = ln P η P η P (os quais σ ln P P E( x ) = ln P 1 exp η ( 0) η P ln P P + ln P exp η ( 0) ln P (.15) σ ln P P var( x ) = 1 exp η ( 0) (.16) η P ln P e, pela propriedade da log-normalidade (SCHWARTZ e SMITH, 000, SCHWARTZ, 1997): var( x ) = + ( ) exp E( x ) E P P Chamando de A =, obemos a parir de (.15) ln P σ E( x ) = ln P 1 exp A( ) + ln Pexp A( ) η A ( ( η 0 )) ( η 0 ) Como emos, de (.16): σ var ln ( P ) = var( x ) = 1 exp ( ηa( 0) ) η A Assim:

17 40 σ E( P ) = exp ln P ( 1 exp [ η A( 0) ]) + η A σ ln P exp ( η A( 0) ) + 1 exp( η A( 0) ) (.17) 4η A Discreização do Modelo Como emos: P =exp(x ) e x direamene P à parir das expressões de E(x ) e Var(x ): em disribuição normal, podemos ober η A σ η A η A 1 e P = exp ln P ( 1 e ) + ln P 1e + σ N ( 0,1) η A η A (.18) Esimação de Parâmeros De forma similar ao modelo ariméico de OU, podemos escrever a equação (.5) da variável x, com os parâmeros obidos pelo lema de Io, a parir do modelo de D & P: η η 1 = (1 ) + ( 1) 1 x x x e e x Subsiuindo x * = ln S, η = η A e σ x = ln P η A e re-arrumando: ( ) ( η A η A )( σ η ) ( = + ) ln P P 1 e ln P A e 1 ln P ( ) 1 1 a b 1 (.19) ln P P = a + ( b 1)ln P (.0) Da mesma forma que com o modelo OU, podemos esimar os parâmeros do processo por uma simples regressão linear sobre as séries de preços P. Dos resulados da regressão, obemos os parâmeros requeridos a parir das equações (.19) e (.0). Da equação (.19) emos b 1 = e η A 1 e η A = ln( b)

18 41 ou: ( ) η = ln b A (.1) Como com o modelo OU, o parâmero de volailidade σ pode ser deerminado a parir da variância σ dos erros ε da regressão, a qual é dada pela ε σ =, derivada da equação (.6), ou re-escrevendo esa η A expressão ( 1 η A σε e ) uilizando a relação b A e η = e (.1) obemos 1 b σ ε = σ, ou: ln b σ = σ ε lnb ( b 1) (.) Pode ser observado que o parâmero de volailidade é independene de A = P ln P, e somene uma função de resulados da regressão. Das equações (.19) e (.0), a ln P A ( 1 e η A = σ η ) relação já obida 1 b = 1 e η A, emos: a σ = ln P 1 η A ( b) e: a σ P = exp + ( 1 b) η A. Com a (.3) Aqui ambém pode ser observado enão que o nível de reversão de longo prazo depende ano da volailidade do processo quano de sua velocidade de reversão. Mas ainda emos o valor de P dependene de A o qual é ambém uma função de P ( A = P ln P ). Como queremos deerminar os parâmeros direamene das esimações da regressão, subsiuímos o valor de ηa de (.1): a σ P = exp + 1 ln ( b) ( b) e de σ a parir de (.): a ln b P = + exp σ 1 ε ln 1 Finalmene: ( b) ( b)( b )

19 4 a P = exp σ ε ( b) ( b ) Ou: σ P exp a ε = + ( 1 b) ( 1+ b) (.4) É ineressane noar que esse nível de média de longo prazo já não é mais dependene de A, e é somene uma função dos resulados obidos da regressão. Ou seja, ao pressupormos que A é consane, ou que P / lnp em variação insignificane, podemos calcular uma média de longo prazo para o modelo de D & P independene do nível de P. P Essa expressão permie agora calcular valor de A =, e de η por (.1). ln P Simulação Neura ao Risco Como P( ) x( ) = e, de forma a ober a equação de simulação neural ao risco para o modelo MRM geomérico de D&P precisamos subrair do logarimo da média de longo prazo ( x = ln P σ η A), o prêmio de risco normalizado do processo (ver equação (.13)) que no caso do modelo de D & P é: ( r) (.30). µ η A, na equação r P = exp ln P e + ln P 1 e η A η A η A σ µ 1 η A ( ) η A 1 e + σ N ( 0,1) η A (.5) Na forma neura ao risco, o processo P pode ser simulado pela equação em empo discreo (.5). Mas para os resulados de parâmeros, média e discreização, ano real quano neura ao risco, obidos acima para o modelo de D&P, é imporane

20 43 lembrar que parimos de uma suposição de que os valores assumidos por P êm baixa variação, de al forma que subsiuído por P ln P possa ser considerado consane, e P A =. Essa resrição do modelo de D&P faz com que essa ln P abordagem nem sempre seja válida e dependerá do valor de σ O Modelo 1 de Schwarz (1997) Schwarz (1997) propõe um modelo de MRM geomérico similar ao de Dixi & Pinkyck, mosrado pela Equação (.6): [ ln ] ds = η α S Sd + σ Sdz (.6) Geralmene é considerado que α = ln ( S ) (DIAS, 008), pois o modelo se orna inuiivo com essa consideração. Embora isso possa parecer evidene, Schwarz (1997) não faz essa premissa e deduz direamene o valor de α a parir de séries de preços fuuros usando a écnica de filro de Kalman. Nese esudo vamos considerar que α = ln ( S ) e, porano, a equação (.6) ficará: ds = η ln S ln S Sd + σ Sdz (.7) A diferença para o modelo de D&P esá na componene de reversão do drif a qual é função de lns e não mais de S (para diferenciar os resulados com o modelo de Schwarz daqueles obidos com o de D&P, denominamos aqui a variável esocásica log-normalmene disribuída de: S, em vez de: P). Da mesma forma que com o modelo de D&P, em-se um processo geomérico, no qual o incremeno de valor da variável (ds) passa a ser proporcional ao nível da variável esocásica (S) Média e Variância Da mesma forma que com o modelo de D&P se assumirmos que pelo lema de Io eremos o processo esocásico de dx: x = ln S,

21 44 x x 1 dx ( ln S ln S) S x = + η + σ S d x σ Sdz + S S S x = 0, x 1 =, S S x 1 =, S S dx = 0 + η ( ln S ln S ) S σ S d + σ Sdz S S S σ dx = η ( ln S ln S ) d + σdz σ dx = η ln S ln S d + σ dz η (.8) Como x = ln S e x = ln S σ, podemos ver que a Equação (.8) é o η mesmo modelo ariméico de faor único da Equação (.4), ou seja o modelo de Ornsein Uhlenbeck. Novamene a vanagem de se uilizar o logarimo naural dos preços x = ln S é porque geralmene é assumido que os preços de commodiies êm disribuição log-normal, o que é conveniene porque se x = ln S, enão S não pode ser negaivo. Nese modelo a vanagem sobre o de D&P é que x não depende do nível de preços S. Subsiuindo em (.5) e (.6) os resulados obidos acima: σ E[ x ] = ln S e ln S 1 e 0 + η ( ) η 0 0 ( ) η( ) ( ) ( ) ( o ) σ var ln ( S ) = var [ x ] = 1 e η η, e: Novamene, pela propriedade de log-normalidade do processo de S podemos escrever: var( x ) = +, porano: ( ) exp E( x ) E S σ E S S e S e 0 η ( ) η ( 0 ) η ( 0 ) [ ] = exp ln ( ) + ln ( ) 1 η ( 0 ) ( 1 e ) (.9) σ + 4η

22 Discreização do Modelo Como emos de (.5) e (.6): η η σ η x = x 1 e + x(1 e ) + ( 1 e ) N ( 0,1), e η [ S ] x( ) = ln ( ) ou Enão: ( ) S( ) = e x, e x = ln S σ η η η σ η 1 e x = ln[ S 1] e + ln ( S ) ( 1 e ) σ N ( 0,1) η +, e: η η σ η S = exp ln [ S 1] e + ln ( S ) ( 1 e ) + η 1 e σ η η N ( 0,1) (.30) A equação de simulação do modelo de Schwarz é dada por (.30) a qual fornece uma discreização exaa, permiindo o uso de valores alos de. Para simular amosras aleaórias de caminhos basa simular valores de N(0,1). Da equação (.9) podemos ver que quando T = 0 σ σ η + 4η [ T ] exp ln ( S ) E S σ σ E[ ST ] exp ln ( S ) S exp 4η = 4η (.31) Porano o valor esperado de S ( ) não converge para S como era de se esperar, mas para S exp σ 4η, o que se consiui numa limiação do modelo de Schwarz.

23 Esimação de Parâmeros variável x: De forma similar ao modelo OU, podemos escrever a equação (8) da x x = x (1 e ) + ( e 1) x η η 1 1 Subsiuindo x = ln S e x = ln S σ η e re-arrumando: η η ( ) = ( )( σ η) + ( ) ln S S 1 e ln S e 1 ln S ( ) 1 1 a b 1 (.3) ln S S = a + ( b 1) ln S (.33) Como com o modelo OU, podemos esimar os parâmeros do processo por uma simples regressão linear sobre as séries de preços S. Dos resulados da regressão, obemos os parâmeros requeridos a parir das equações (.3) e (.33). Da equação (.3) emos b 1 = e η 1 e η = ln( b) / (similar a (.10)) (.34) Como com o modelo OU, o parâmero de volailidade σ pode ser deerminado a parir da variância σε dos erros ε da regressão, a qual é dada pela σ =, derivada da equação (.6), ou reescrevendo esa η expressão ( 1 e η σε ) uilizando a relação b e η = e (.9), obemos: σ = σ ε ln b ( b 1) (similar a (.1)) (.35) Essas expressões de η e σ são similares aquelas do modelo OU, como esperado. A diferença para com aquele modelo esará na media de longo prazo S. Das equações (.3) e (.33), a ln S σ η ( 1 e η = ) já obida 1 b = 1 e η emos: a ( 1 b) = ln S σ η. Com a relação e: S a σ = exp + ( 1 b) η (.36)

24 47 Podemos ver enão que o nível de reversão de longo prazo depende ano da volailidade do processo quano de sua velocidade de reversão. Como queremos deerminar os parâmeros direamene das esimações da regressão, subsiuímos o valor de η de (.34): a σ S = exp + 1 ln e de σ de (.35): ( b) ( b) S a ln = + b exp σ 1 ε ln 1 ( b) ( b)( b ) Finalmene: Ou: a S = exp σ ε ( b) ( b ) σ S exp a ε = + ( 1 b) ( 1 + b) (.37) Simulação Neura ao Risco Como S( ) x( ) = e, de forma a er o ober a equação de simulação neural ao risco para o modelo MRM geomérico de Schwarz precisamos subrair o prêmio de risco normalizado( µ r) η (ver equação (.13)) da média de longo prazo ( ) x = ln S σ η na equação (.30). σ µ r S = exp ln S e + ln S 1 e η η η η [ 1 ] ( ) ( ) η 1 e + σ N ( 0,1) η (.38) Aqui novamene o ermo ( r) µ η é a única diferença comparando-se com a equação de simulação real (.30), ou seja, ajusada ao risco.

25 O Modelo Dias/Marlim (1999) O principal problema do modelo de Schwarz é o fao de que seu valor esperado E P ( ) P exp σ 4η não convergir para P conforme seria de se esperar, mas para, apesar de P ser o resulado obido da regressão linear sobre a série de preços P. Esse resulado conroverso, apesar de correo maemaicamene, pode susciar confusão e levanar dúvidas sobre a robusez do modelo. Além disso, é possível que a média de longo prazo da variável que se deseja modelar seja um dado já deerminado por ouros méodos ou gerências, por exemplo, e o modelo esocásico deva se adequar a essa premissa. Dias (1999, 005) propõe um modelo de reversão à media geomérico com as seguines caracerísicas diferenciadas do modelo de Schwarz descrio do iem anerior. Em primeiro lugar o modelo define a média de equilíbrio de longo prazo do preço de uma commodiy como uma referência de grande imporância e, porano, que ese preço P em uma disribuição log-normal e segue um processo de geomérico de reversão a uma média P cujo valor é definido pela equação: P = exp( x) (.39) Em segundo lugar o modelo assume que os preços em um valor esperado, ou seja uma média por simulação, de E P( ) = exp{ E x( ) }. (.40)

26 Média e Variância Isso implica que a relação enre as variáveis x e P, faz com que se obenha o seguine valor esperado em simulação no insane : { } { 1 η η } η η [ ] exp 1 ( 1 ) E P = x e + x e ou [ ] exp ln ( 1 ) E P = x e + S e (.41) o que é mais simples do que a equação (.9) do modelo de Schwarz. e var [ P( T) ] = E P ( T) E[ P( T) ] Discreização do Modelo Mas a ransformação direa: P ( ) exp x ( ) =, como no modelo de Schwarz, não é mais válida porque o exponencial de uma disribuição normal irá adicionar meade da variância à média. Para se chegar à expressão ( E P ( ) = exp{ E x( ) } ), essa meade da variância é compensada uilizandose a equação (.4): (.6). { } ( ) ( ) ( ) P = exp x var x (.4) onde var x ( ) é uma função deerminísica do empo, dada pela equação σ x P e η 4η Enão = ln( ) + ( 1 ) Apesar de não ermos uma expressão de dp, é fácil simular as amosragens reais de P() pelo modelo geomérico de reversão à média de Dias/Marlim. Basa simular x( ) como na discreização por Schwarz, mas usando x ln ( P ) =, e enão calcular var x ( ) com a equação (.6), e usar a equação (.4) dada acima para calcular os valores simulados de P( ). Cabe noar que o ermo de correção de convexidade calculado a parir de (.6) é uma função

27 50 de, e não de. Porano a simulação pode ser feia em dois empos: primeiro calcular os valores de x( ), depois os de P( ). As equações para isso são: η η η 1 e x = x 1e + ln( P)( 1 e ) + σ N ( 0,1) (.43) η σ P x e η 4η e = exp ( 1 ) Uma oura alernaiva é a forma direa de cálculo: η η { ( 1 ) ( )( ) P = exp ln P e + ln P 1 e η σ 1 e + 4η η η ( 1 e ) σ N ( 0,1) (.44) (.45) mas como esa requer que seja somado e depois subraído o ermo da variância, pode se ornar mais complexo de programar e mais sujeio a erros Esimação de Parâmeros Também aqui podemos escrever a equação (8) da variável x: x x = x (1 e ) + ( e 1) x η η 1 1 Como o que emos são as séries de preços P, e não equação para as séries de preços. Pela definição do modelo, emos equação (.4) x ( P ) ( x ) (.46) ln ( P P ) 1 = ln + var. Enão: var ( x ) var ( x ) 1 + = 1 e ln P + e var 1 ln P 1 + η η ( )( ) ( ) ( x ) var ( x ) ( x ) 1 x, precisamos essa x = ln P e da, ou: var ln ( P P ) = ( 1 e ) ln P + e + ( e 1) ln P η η 1 η 1 1 Uilizando a equação (.6) var( x ) ( 1 e η ) ermo da variância, emos: σ = e chamando de: B(), o η

28 51 ( x ) var ( x ) η var 1 B ( ) = e σ B ( ) = e ( e ) + e 4η η η ( ) η ( 1 1 ) σ B e e e 4η ou: η η + η η ( ) = ( 1+ ) η η η ( 1 1) σ B( ) = e ( e ) + e 4η que não é consane, mas uma função de. Subsiuindo em (.46) η η ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ln P P 1 e ln P B e 1 ln P a b 1 (.47) Como a não é consane, mas uma função de, não podemos rodar direamene a regressão linear para esimar direamene os valores dos parâmeros como feio no modelo de Schwarz. No enano é fácil verificar numericamene que na expressão η η de B(), o ermo e ( 1 e ) vai rapidamene para 0 na medida que cresce. Nesse caso podemos aproximar o valor de B() por ( σ 4 η )( e η 1 ) consane. Subsiuindo na equação (.47) acima: η σ η ln ( P P ) = ( 1 e ) ln P + ( e 1) ln P 4η (.48) resulados: a b 1 Rodando a regressão sobre os valores de ( ), o qual é P obemos os seguines η = log b (similar a (.10) e (.34)) σ = σ ε ln b ( b 1) (similar a (.1) e (.35)), e a σ P = exp + (.49) ( 1 b) 4 η Ese é a mesma expressão que emos para a média de longo prazo para a qual o modelo de Schwarz converge. A equação (.49) ambém pode ser escria da seguine forma:

29 5 exp a σ ln( b) P ε = ( 1 b ) 4ln( b ) ( b 1 ) σ P exp a ε = + ( 1 b) ( b + 1) (.50) Simulação Neura ao Risco Como fizemos no modelo de Schwarz, para ermos a equação de simulação neura ao risco, precisamos subrair o prêmio de risco normalizado( µ r) η (ver equação (.13)) da média de longo prazo a qual é P exp( x ) =. As equações de simulação neura ao risco são: η η µ r η 1 e x% = x% 1e + ln ( P) ( 1 e ) + σ N ( 0,1) η η (.51) σ P = exp x% ( 1 e η ) 4η (.5) Aqui novamene o ermo ( r) µ η é o prêmio de risco normalizado e a única diferença comparando-se com a equação de simulação real Discussão acerca das limiações dos Modelos apresenados de Reversão à Média de Faor Único Como mencionado aneriormene, a principal limiação dos processos ariméicos, enre eles o de reversão à média, esá em que eses podem reornar valores negaivos da variável e, porano, esarem limiados a um número resrio de variáveis. Além desa limiação esa a de que os reornos da variável assim modelada são independenes no nível de valor desa. Mas mesmo variáveis que podem er reornos negaivos, como axas de inflação, de variação de PIB, axa de conveniência de commodiies não financeiras, frequenemene apresenam

30 53 oscilações proporcionais aos seus níveis de valor. Os processos esocásicos geoméricos de reversão à média conornam esas limiações dos processos ariméicos, como o de Ornsein-Uhlenbeck. No enano devido à crescene complexidade na modelagem e paramerização deses surgem novas limiações específicas de cada modelo. Foram analisados rês modelos geoméricos de reversão à média. Deses, o modelo geomérico de D&P parece mais inuiivo, pois lida com valores de P e P em vez de logarimos deses, como no caso dos modelos de Schwarz ou Dias/Marlim. Mas ele possui a limiação de er o valor de seus parâmeros dependenes do nível de P. Como vimos acima, Dias (008) sugere que essa limiação não é críica em ermos práicos, pois eses parâmeros (η e x*) poderiam ser esimados considerando um valor médio para P. No enano, o modelo de D&P ainda apresena oura limiação: caso a unidade de P não seja um valor sem unidade dimensional (como uma axa de reorno ou uma axa de conveniência, as quais são dadas em %), enão dp não fará senido. Por exemplo, se P for um preço $, ou uma medida de ráfego, como veículos/ano, enão dp seria $ ou (veículos/ano), o que não em significado físico ou econômico. Isso é devido à expressão maemáica da pare deerminísica do modelo, e como viso para as variáveis acima mencionadas, o modelo não faz senido. Porano a aplicação do modelo de D&P é limiada a um ipo específico de variáveis. Quando comparamos o modelo de Schwarz ao de Dias/Marlim, o primeiro parece mais robuso, pois é baseado numa equação diferencial a qual permie a dedução de seus parâmeros aplicando o lema de Io à equação, enquano o modelo de Dias/Marlim se baseia direamene na deerminação do modelo (al como x = ln P e E[ P ] = exp[ x ] ). No enano ese modelo ambém aparena ser mais inuiivo por um criério de especificação de parâmeros, viso que converge para uma média de longo prazo especificada, ao conrario do modelo de Schwarz. Ainda quando simulando ese úlimo modelo com o valor de P esimado pela equação (.37), e o de Dias/Marlim usando o valor de equilíbrio de longo prazo P a parir da equação (.50), ambos usando a mesma série de valores hisóricis, obemos os mesmos valores para iragens e para valores esperados. Isso é devido ao fao de que o valor de P quando esimado para o modelo Dias/Marlim pela

31 54 equação (.50) é o mesmo para o qual o valor esperado do modelo de Schwarz converge (equação (.31)). Quano ao modelo de Schwarz, Dias (008) sugere ainda que uma forma de lidar com sua limiação relaiva à média de longo prazo obida da regressão de séries de preços é considerar o valor da verdadeira média para a qual o modelo converge, como a média real S. Porano de (.31): S σ a σ = S exp = exp + 4η 1 b 4η E fazendo os ajuses necessários nas equações de simulação real (.30): η σ η S = exp ln [ S 1] e + ln ( S ) ( 1 e ) + 4η 1 e σ η η N ( 0,1) (.53) e neura a risco (.38): σ µ r S = exp ln S e + ln S 1 e 4η η η η [ 1 ] ( ) ( ) η 1 e + σ N ( 0,1) η (.54) O modelo de Schwarz aplica-se melhor a modelos eóricos especificados a parir de equações diferenciais, enquano o de Dias/Marlim em uma equação de simulação mais adequada a modelos onde o nível de equilíbrio é uma referência imporane e frequenemene especificada de forma exógena. Porano ambos os modelos são basane similares e cada um em suas próprias vanagens..5. Modelos de dois Faores com Reversão à Média No capíulo anerior raamos de modelos de faor único, ou de apenas uma incereza esocásica. Esses modelos podem ser considerados relaivamene simples (DIAS, 008), porano alguns auores sugerem o uso, em avaliação por opções reais assim como em derivaivos, de modelos mais complexos os quais

32 55 consideram mais do que apenas uma incereza esocásica, ou faores. Os principais modelos de processos esocásicos de dois faores (duas fones de incereza esocásicas) com reversão à média são o de Gibson e Schwarz (1990), e modelo de Schwarz (1997) e o de Schwarz e Smih (000). Eses rês modelos podem ser descrios como a evolução do mesmo modelo em que cada versão represena a sofisicação do anerior e ese pode ser modelado na nova versão. Schwarz e Smih (000) inclusive fornecem uma abela com a correspondência enre os parâmeros desse modelo e o modelo de Schwarz (1997) assim como uma seção comparando seus resulados aos de Gibson e Schwarz (1990), para as mesmas séries emporais. Todos os rês modelos exigem a exisência de séries de preços fuuros para sua calibragem, ou esimação de parâmeros, o que nos faz recair no mesmo problema de modelos de um faor, dependenes deses. O modelo de Gibson e Schwarz (1990) consise das seguines equações: ds S µ d σ dz / = + S S ( ) dδ = η α δ d + σ dz δ δ Onde S é o preço spo de uma commodiy e δ sua axa de conveniência insanânea (o fluxo de benefícios líquidos, que são gerados ao deenor físico de uma commodiy). Esses auores enão assumem que S segue um MGB (com drif µ volailidade σ S ) e δ uma reversão à média ariméica (OU, com média α, velocidade de reversão η e volailidade σ δ ). Esa úlima variável pode de fao assumir valores negaivos, porano a escolha desse processo é coerene. Eles enão usam a equação fundamenal que liga os preços fuuros F ao preço spo S: (, τ ) ( r ) F S = Se δ τ (.55) Onde: r axa de juros livre de risco, = (T- ) empo enre a mauridade do conrao fuuro T, e aual. O modelo de Schwarz (1997) que represena uma sofisicação dese acima consise das seguines equações: ( ) ( ) ds S d dz / = µ δ + σ S S dδ = η α δ d + σ dz δ δ

33 56 com: dz dz S δ = ρ d Sδ Onde ρ Sδ é a correlação enre os reornos das variáveis, ou faores, S e δ. Aqui ambém é assumido que S segue um MGB e δ uma reversão à média ariméica (OU). O modelo de Schwarz não faz direamene uso da relação enre preços fuuros e spo porque ele modela direamene o preço spo S com a axa de conveniência denro da equação do preço (uma variável nesed na oura). No enano a própria definição da axa líquida de conveniência supõe a exisência de preços fuuros, e Schwarz uiliza eses para esimar os parâmeros do modelo usando a écnica de filro de Kalman, como no seu modelo 1. Schwarz (1997) ambém propõe um modelo (3) de rês faores, semelhane ao modelo, mas no qual subsiui o drif na equação do preço S, por: r (a axa de juros), e modela ese como uma reversão à média ariméica (OU). Ainda supõe que os rês incremenos de Wiener do modelo são correlacionados dois a dois. Mas nos próprios resulados Schwarz ressala que eses não represenam grande melhoria frene ao modelo, principalmene em face a maior complexidade e maior inensidade compuacional do modelo 3. Por ese moivo não iremos analisar nese capíulo o modelo 3 de Schwarz. O erceiro modelo de dois faores analisado é o de Schwarz e Smih (000), o qual além de ser o mais recene e englobar os ouros dois, ambém em caracerísicas que o ornam mais ineressane para a modelagem e aplicações de opções reais. Enre ouras, ele não faz uso do conceio de axa de conveniência na sua formulação. A axa de conveniência é um conceio amplamene aceio e descrio como: o fluxo de benefícios, líquidos de cuso de esocagem, que são gerados ao deenor físico de uma commodiy, mas não ao deenor de um conrao fuuro ou para enrega fuura (CASASSUS, e al, 005, BRENNAN e SCHWARTZ, 1995, COX, INGERSOLL e ROSS, 1985 a, b ) e são comparáveis a um fluxo de dividendos por uma óica financeira. A evidência empírica da exisência da axa de conveniência vem da equação (.55) que liga os preços fuuros enre si e ao preço spo e que permie enão a esimação desa a parir de séries de preços fuuros. No enano os próprios Schwarz e Smih (000) ressalam que além de não ser observada a axa

34 57 de conveniência é um conceio de enendimeno difícil e que a proposa de um modelo que não seja dependene dela em vanagens: While many find he noion of convenience yield elusive, he idea of sochasically evolving shor-erm deviaions and equilibrium prices seems more naural and inuiive (SCHWARTZ e SMITH, 000, p. 894) O modelo de dois faores de Schwarz e Smih (000) O modelo de Schwarz e Smih (000) considera que o preço spo S possui dois faores disinos: 1) o primeiro é o nível de equilíbrio dese preço o qual assume-se evolui seguindo um MGB com drif refleindo, por exemplo, expecaivas de exausão de reservas, melhorias ecnológicas na exploração de uma commodiy, inflação, evolução do PIB, aé incerezas políicas e regulaórias. ) o segundo são os desvios de curo prazo cuja variação o modelo assume que seguem uma reversão à média ariméica (OU) para um nível zero. Eses desvios, definidos como a diferença enre o preço spo e o nível de equilíbrio, podem refleir, por exemplo, mudanças de curo prazo na ofera devido a variações climáicas, ou inerrupções de suprimeno, ec. Eses ambém são aenuados em geral pela capacidade dos players de ajusar esoques em resposa a mudanças das condições mercadológicas e, porano caracerizando um comporameno de reversão à média. Apesar de não observados esses dois faores reraam a percepção naural de que os preços êm dinâmicas diferenes no curo e no longo prazo, o que orna o modelo úil para a aplicação em opções reais. Os auores usam a écnica de filro de Kalman para deerminar os parâmeros do processo, mas é possível esimar eses, com algumas resrições, a parir de uma série emporal de valores da variável S, conforme será mosrado nesa seção. Esse modelo aplica-se muio bem a diversos casos de opções reais, pois cada diferene opção é mais sensível a um ipo de comporameno esocásico. Por exemplo, opções esraégicas, como de expansão, escalonameno ou posergação de invesimenos ou abandono, são dependenes de paamares de aividade econômica e, porano do comporameno de longo prazo das variáveis inceras das quais dependem. A caracerísica de caminho aleaório desas, quando