5 Solução por Regressão Simbólica 5.1. Introdução

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1 5 Solução por Regressão Simbólica 5.. Inrodução ese capíulo é descrio um esudo de caso uilizando-se o modelo proposo no capíulo 4. reende-se com esse esudo de caso, mosrar a viabilidade do modelo, suas vanagens e limiações. o capíulo 4 é proposa uma meodologia dividida em rês blocos. o esudo de caso proposo, será dealhado como cada bloco é aplicado ao caso esudado. O esudo de caso uiliza o sofware de Análise de alernaivas de desenvolvimeno de um campo sob condições de incereza de mercado [5]. Ese sofware modela o problema de invesimeno em desenvolvimeno de campos de peróleo como um problema de opções reais reornando curvas de exercício óimo e seus valores da opção respecivos. ara o invesimeno no desenvolvimeno de campos de peróleo, há as variáveis uilizadas nos problemas de invesimeno em opções financeiras (volailidade, axa de juros livre de risco, preço de longo prazo, preço inicial, ciclo de vida, ec.) e incerezas relaivas a qualidade e quanidade da reserva de peróleo. O sofware de análise, foi uilizado como Gerador de Amosras para curvas de exercício óimo. Uilizando o conjuno de amosras como parâmero, foi uilizada a biblioeca de G OpenBEAGLE descria por Gagné em [3]. O OpenBEAGLE foi configurado e uilizado para implemenar um sofware que reorna uma função analíica que melhor define ese conjuno de amosras. O sofware implemenado é o bloco de rogramação de Genéica descrio no capíulo 4. Como parâmero para bloco de cálculo do valor da opção por SMC, foi uilizada a função analíica da curva de exercício óimo gerada pelo sofware de G. Esa função foi paramerizada no EXCEL, onde foi desenvolvida um macro

2 59 em Visual Basic que uiliza a função paramerizada para calcular o valor da opção. A seguir, são descrios com mais dealhes os procedimenos do esudo de caso. 5.. Geração de Amosras das Curvas de Exercício Óimo O sofware de Análise de alernaivas de desenvolvimeno de um campo sob condições de incereza de mercado possui as seguines enradas de parâmeros já configurados com os respecivos valores padrão: Tempo de final do érmino da opção (em anos) - T:. reço aual do eróleo (US$/bbl) - :. Taxa de conveniência da commodiy (Convenience Yeld) (em % a.a.) - δ:.8. Taxa de descono exógena ao risco em US$ (em % a.a.) ρ:. reço máximo a ser aingido pelo peróleo (US$/bbl) - max.: 6. Volailidade do preço do peróleo (em % a.a.) σ :.5. Taxa de juros livre de risco em US$ (em % a.a.) r:.8. Quanidade Média de Barris Esimada no Campo (Milhões) - B: 4. Velocidade de Reversão à Média - η :.3466 reço de Longo razo do peróleo (US$/bbl) - :. Além dos parâmeros acima, há o cuso de invesimeno que é análogo ao preço do exercício e a incereza relaiva à qualidade econômica da reserva. ara esas duas variáveis, há rês opções, pois o sofware rabalha na omada de decisão de invesimeno enre rês alernaivas de invesimeno em um campo de peróleo. ara eses parâmeros, foram designados os seguines valores: Cuso de Invesimeno (US$/bbl) D: 6. Cuso de Invesimeno (US$/bbl) D: 65. Cuso de Invesimeno (US$/bbl) D3: 5. Qualidade Econômica da Reserva q:.8.

3 6 Qualidade Econômica da Reserva q:.9. Qualidade Econômica da Reserva 3 q3:.. Aravés deses valores geram-se curvas de exercício óimo para alernaiva 3 (D3 e q3) que é uilizada como amosra. O sofware ainda possui paramerização do processo esocásico uilizado podendo ser MGB ou RM de Bhaacharya, descrio pela equação (5). ara o esudo de caso, foi escolhido o RM de Bhaacharya por ser inrínseco ao ema pesquisado. ara o RM de Bhaacharya foram escolhidos os inervalos discreos para a rajeória do preço do peróleo ajusado para o valor. e para o empo ajusada para o valor -6. ara ese esudo de caso foram geradas 5 curvas de exercício óimo. As curvas de exercício óimo uilizaram odos os valores padrão mencionados acima, exceo nos parâmeros r e σ onde houve variação. ara o parâmero σ, foram selecionados valores aleaórios que variam enre.5 e.5; para o parâmero r, foram selecionados valores aleaórios que variam enre. e Função analíica de uma curva de exercício óimo por G ara o implemenar o sofware de G que evolui funções para reornar a função analíica da curva de exercício óimo, foi uilizada a biblioeca de G OpenBEAGLE. ara evoluir uma função analíica para a curva de exercício óimo, é necessário configurar os parâmeros de conrole da G. Além disso é ineressane adicionar erminais relaivos à função da curva de exercício óimo na inenção de faciliar a busca por uma solução óima. A seguir são descrios os erminais adicionados a evolução G que em relação à função para o cálculo da curva de exercício óimo. Em seguida são descrios os parâmeros de conrole da G Terminais para a Evolução da Função da Curva de Exercício Óimo ara a geração da função analíica da curva de exercício óimo, uilizam-se os parâmeros ciados em 5. com os respecivos valores ciados. Cada parâmero

4 6 desses, passa a ser para a G um candidao a erminal em um indivíduo durane a evolução G. Além dos erminais já ciados, são inseridos fragmenos da fórmula de Black e Scholes como erminais Os fragmenos são: DDOM: σ d : ln T (( qb )/ D) ( r σ / ) T σ T d : d σ T JS: r σ JMS: r σ ( T ) ( T ) Cada fragmeno da fórmula de Black e Scholes foi apelidado para faciliar a codificação da evolução e a procura por uma boa solução denro da plaaforma G Valores para os arâmeros de Conrole da G esa seção, são mosrados os valores para os parâmeros de conrole necessários para a evolução e obenção de resulados expressivos. Alguns parâmeros foram modificados para cada um dos resulados alcançados, porém alguns permaneceram fixos. Os parâmeros que permaneceram fixos são exibidos nesa seção enquano os modificados, são exibidos na seção que mosra os resulados. Os parâmeros que se maniveram fixos são: robabilidade de ocorrência de Muação por encolhimeno:.5. A muação por encolhimeno consise em rocar um ramo por um de seus sub-ramos. robabilidade de ocorrência de Muação:.5. É a muação descria no capíulo 3.

5 6 robabilidade de ocorrência de Muação por Troca de rimiivas:.5. Esa muação consise em rocar funções com o mesmo número de argumenos de dois ramos diferenes. robabilidade de selecionar ponos para Muação por Troca de rimiivas:.5. É a probabilidade de escolher ponos mais exernos (erminais) ou mais inernos (funções). robabilidade de ocorrência de ermuação: ulo. Freqüência de Edição: ulo Freqüência de Encapsulameno: ulo robabilidade para Reprodução:.5. robabilidade de ocorrência de crossover:.9. robabilidade de selecionar ponos para crossover:.9. Tamanho máximo permiido de um indivíduo criado por crossover:. Tamanho máximo de árvore permiido para um indivíduo ao ser criado na população inicial ou geração : 5. Tamanho mínimo de árvore permiido para um indivíduo ao ser criado na população inicial ou geração :. Méodo de geração da população inicial: Ramped Half and Half [3][4][6]. Méodo de geração dos pais para crossover (primeiro e segundo): Rank. Uso de apidão ajusada: sim. A apidão ajusada uilizada é função da apidão padronizada. De acordo com o capíulo 3, a apidão padronizada deve levar o melhor o mais próximo de zero em casos de minimização do erro. ara o caso esudado, foi uilizada a seguine apidão padronizada: r( i, ) s( i, ) = (3) Sendo o número oal de indivíduos e r(i,) a apidão brua do indivíduo i, na geração. ara a avaliação dos indivíduos foi uilizada a apidão normalizada descria na equação (8).

6 63 ara ajusar os parâmeros das probabilidades de ocorrência de muação e crossover foi uilizada a axa adapaiva que aumena a probabilidade de ocorrência de muação e diminui a de crossover ao longo da evolução: axa = I F MAXGE (3) Onde I é a robabilidade Inicial e F a robabilidade Final do operador genéico ambos definidos como parâmeros da evolução. MAXGE é o número máximo de gerações definido como parâmero da evolução. Os valores para os parâmeros variáveis são apresenados na seção a seguir juno aos resulados Resulados da G Foram realizadas diversas evoluções durane a implemenação desa pesquisa, porém, vale desacar apenas rês das evoluções que reornaram resulados significaivos. Desas rês funções analíicas para a curva de exercício óimo, é selecionada a melhor para uilizar-se no próximo iem relacionado ao cálculo do valor da opção por SMC. Os resulados são acompanhados dos valores configurados para a evolução da G. O primeiro resulado apresenado possui os seguines parâmeros além dos já ciados em 5.3.: Máximo de gerações:. Máximo de indivíduos por geração:. Eliismo: 5 indivíduos. Além disso, foi uilizada uma máquina com processador de.4 GHz e 5Mb de memória RAM endo a evolução durado rês dias. A avaliação obida aravés da apidão normalizada (iem 3.4.4) foi.66. A função obida apresena-se a seguir:

7 64 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T d e d d d r T d T d = σ δ η σ σ σ σ,...),, *( Onde ( ) significa a normal cumulaiva do valor enre parêneses. O segundo resulado foi gerado pelos seguines parâmeros uilizados para inicializar a evolução: Máximo de gerações: 5. Máximo de indivíduos por geração: 4. Eliismo: 5 indivíduos. A evolução eve duração de semana em uma máquina com processador de.4 GHz e 5Mb de memória RAM, e obeve-se, uma avaliação de.77 para a seguine equação: ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T D DDOM D JS T e r JS DDOM r d q r DDOM e r T ln ln,...),, *( / / = η σ η σ ρ σ Ese resulado foi uilizado como semene para uma nova evolução, ou seja, esa função é re-inserida em uma nova evolução como vários indivíduos clonados. A nova evolução foi realizada com os seguines parâmeros: Máximo de gerações: 5. Máximo de indivíduos por geração:. Eliismo: 5 indivíduos. úmero de clones da semene: indivíduos.

8 65 A nova evolução eve duração de 4 dias para uma máquina de.8 GHz e 5 Mb de RAM, alcançou a avaliação.79: / r D ( σ / ) d DDOM r ( σ / ) d ( T )/( e { )} T ln ( ) e *( r, σ,,...) = ( JS) D JS σ ( η / DDOM ) JS ( r ) DDOM η σ D ln( T ) Com os resulados aneriores, foram analisados as respecivas conformidades das curvas enconradas com um conjuno de validação. ara análise foram empregadas duas medidas uilizadas em conformidade de séries e comporameno de padrões. As medidas são Raiz Quadrada do Erro Médio, Erro Médio Absoluo ercenual : A Raiz Quadrada do Erro Médio ou Roo Mean Square Error (RMSE), é uma medida de disância volada para o quano pero a previsão ficou do real. A sua avaliação é dada por: RMSE k = = ( r p ) k k (33) Onde r k é o valor real conhecido de uma variável no seu esado k e p k é o valor previso desa variável no esado k e é o número de esados uilizados para a variável. O Erro Médio Absoluo ercenual ou Mean Absolue ercenage Error (MAE), como o próprio nome já diz, é uma medida absolua e não relaiva como é o RMSE. Sua equação é dada por:

9 66 MAE = k = rk p rk k X% (34) Aravés desas medidas foram comparados os resulados obidos com a curva de mesmos parâmeros do conjuno de validação. as abelas abaixo enconram-se os valores escolhidos para validação, para os rês casos: Juros Volailidade RMSE MAE % Tabela 3 - Dados para validação conforme méricas de previsão relaivos ao indivíduo com avaliação normalizada de.66. Juros Volailidade RMSE MAE % Tabela 4 - Dados para validação conforme méricas de previsão relaivos ao indivíduo com avaliação normalizada de.77.

10 67 Juros Volailidade RMSE MAE % Tabela 5 - Dados para validação conforme méricas de previsão relaivos ao indivíduo com avaliação normalizada de.79. Os resulados na Tabela 3, Tabela 4 e Tabela 5, mosram que o MAE se apresenou saisfaório para odos os casos, apresenando em média, erros inferiores a %, enre a curva real e a previsa. Como exemplo da discrepância enre as méricas de RMSE e MAE, podese uilizar o par r=.8 e σ =.5 na Tabela 3 onde o RMSE de.5 parece baixo, porém o MAE, apesar de baixo, apresena uma diferença exagerada dos MAEs enconrados para as demais paramerizações, o que não é refleido de mesmo modo pelo RMSE em relação aos demais RMSEs. Os resulados exibidos na Tabela 3, Tabela 4 e Tabela 5 esão ilusrados a seguir aravés das curvas:

11 Valor Tempo Orig Figura 3 - G X Curva Original, juros com 4% e volailidade de Valor Tempo Orig Figura 4 - G X Curva Original, juros com 6% e volailidade de.5.

12 Valor Tempo Orig Figura 5 - G X Curva Original, juros com 8% e volailidade de Valor Tempo Orig Figura 6 - G X Curva Original, juros com % e volailidade de.5.

13 Valor Tempo Orig Figura 7 - G X Curva Original, juros com 8% e volailidade de Valor Tempo Orig Figura 8 - G X Curva Original, juros com 8% e volailidade de..

14 Valor Tempo Orig Figura 9 - G X Curva Original, juros com 8% e volailidade de Valor Tempo Orig Figura - G X Curva Original, juros com 8% e volailidade de.35.

15 Valor Tempo Orig Figura - G X Curva Original, juros com 8% e volailidade de.4. Tendo em visa os resulados obidos pelas méricas esabelecidas (MAE e RMSE), é considerada apenas a curva com apidão normalizada de.79, por er os MAEs no conjuno de validação mais baixos, como reorno para o bloco de Avaliação da Opção por SMC Cálculo do Valor da Opção por Simulação de Mone Carlo (SMC) ese iem, é dealhado o cálculo do valor da opção por SMC. o iem anerior foi descrio o experimeno que obeve a função analíica da curva de exercício óimo. a SMC, esa função foi paramerizada aravés de duas variáveis: volailidade (σ ) e axa de juros livre de risco (r). A paramerização da função é realizada desa forma de modo a ficar de acordo com a geração das amosras conforme descrio no iem 5.. O caso esudado, por se raar da análise de alernaivas para invesimeno em desenvolvimeno de campo de peróleo, uiliza para o cálculo do valor da opção, caracerísicas inrínsecas à commodiy do peróleo. Uma dessas caracerísicas são as incerezas q (qualidade da reserva) e B (quanidade em milhões de barris da reserva) já mencionadas aneriormene. Esas duas incerezas

16 73 são uilizadas no cálculo do valor da reserva de peróleo de acordo com [5][]. O valor da reserva é análogo ao preço da ação no esudo de opções financeiras e é calculado como: V=qB (35) Onde é o preço de um barril da reserva de peróleo, q é a qualidade da reserva e B, o amanho da reserva. O valor da opção é medido por: VO = V D (36) Onde D é o invesimeno inicial e funciona análogo ao preço do exercício em Opções Financeiras. A variável obedece o RM de Bhaacharya. ara a SMC, uiliza-se ese processo com inervalos discreos desconando-se o prêmio de risco da opção. A simulação considera o valor da opção para siuações em que o invesidor não quer sofrer riscos [7][4]: r ρ = η σε η (37) Onde ε ~(,). A SMC uilizou a equação (37) ieraivamene do seguine modo: ( ( η ρ r) σε ) = η (38) ara simular os caminhos do reço do eróleo ao longo do empo, uilizase a variável ε na equação (38) a cada inervalo de empo. A geração de números aleaórios e é feia de acordo com a equação (3). A cada inervalo discreo, em que o preço do peróleo se desloca, é gerado um novo ε aé o empo de expiração do projeo T ou aé que a rajeória do

17 74 aivo ulrapasse a curva de exercício óimo compondo um ciclo. O inervalo para cada ciclo uilizado é., que equivale a 7.3 dias dado um empo de expiração T de anos. Com. ciclos ou cenários, para cada paramerização, são rodadas séries, iso é SMCs. Após as séries rodadas, é calculada uma média ariméica dos valores da opção reornados para cada série, definindo-se o valor da opção para cada paramerização. Ese resulado é comparado ao valor da opção obido pela mesma paramerização na geração das amosras do conjuno de validação. Uma ilusração dese experimeno é exibida na Tabela 6 para o cálculo do valor da opção com curva de exercício óimo paramerizada por axa de juros livre de risco de.4 e volailidade de.5 e demais parâmeros fixos: Tempo Valor SMC para. cenários ::9 3.3 ::7.99 ::6 3.3 ::8.96 ::9 3.4 ::8 3. ::6 3.7 ::8 3.5 ::8 3.4 ::7.95 Valor Médio das SMCs Variância 3.9. Tabela 6 - Simulação de Mone Carlo para Juros.4 e Volailidade.5. Tempo aproximado de minuos. A Tabela 6 mosra o cálculo do valor da opção para uma paramerização escolhida para validar a função analíica da curva de exercício óimo reornada pelo bloco de G. O empo aproximado para cada SMC foi de minuos. Após realizar ese cálculo para as demais paramerizações escolhidas, produz-se o resulado da Tabela 7:

18 75 Juros Volailidade Valor SMC médio (US$MM) em Valor da amosra (US$MM) Erro Relaivo % rodadas Tabela 7 - Comparação enre o Valor da Opção das amosras e o Valor da Opção calculado para os mesmos parâmeros aravés de Simulação de Mone-Carlo. A Tabela 7 exibe os resulados comparando o cálculo do valor da opção para cada paramerização com o valor da amosra gerada pelo sofware Análise de alernaivas de desenvolvimeno de um campo sob condições de incereza de mercado. a comparação ambém é exibida a variância do experimeno com SMCs para cada parâmerização. Os resulados apresenados são saisfaórios considerando que o inervalo de. uilizado nas SMCs é bem maior do que o inervalo uilizado na geração das amosras ( -6 ). O passo de. foi uilizado para acelerar o empo da simulação que é bem mais lena do que a écnica de obenção das amosras.