Lista de exercícios 3. September 15, 2016

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1 ELE-3 Inrodução a Comunicações Lisa de exercícios 3 Sepember 5, 6. Enconre a ransformada de Hilber x() da onda quadrada abaixo. Esboce o especro de x() j x(). [ ] x() = Π ( n). n=. Um sinal em banda passane é definido como x() = cos(π99 ) + sin(π). a) Enconre o equivalene em banda base considerando que f c =. b) Enconre o equivalene em banda base considerando que f c = Um sinal em banda passane é x bp () em equivalene em banda base x lp (). Mosre que: x lp () = [x bp() cos(πf c ) + x bp () sin(πf c )] + j [ x bp() cos(πf c ) x bp () sin(πf c )] () onde x() é a Transformada de Hilber de x(). Sugesão: não faça isso no domínio do empo. 4. O sinal x() abaixo passa por um sisema cuja resposa em frequência equivalene em banda base é H BB (f) = f. Enconre a saída do sisema em banda base e em banda passane, uilizando f c = Hz. x() = cos(π)cos(π) + cos(π) 5. Há um conjuno de 4 sinais, onde s (), s () e s 3 () esão na figura abaixo. O quaro sinal vale s 4 () =. a) Obenha uma base oronormal para represenar eses sinais. b) Desenhe a conselação de sinais c) Calcule a disância mínima, definida como a menor disância enre dois ponos da conselação. d) Podemos alerar o valor médio de energia por bi E b uilizando um sinal s i (). Calcule a relação enre E b e. Calcule ambém a disância mínima em função de E b e) Obenha valores numéricos para ()a axa de bis e () a poência média de ransmissão, considerando que ransmiimos o sinal s i () e que odos os sinais são equiprováveis. 6. Considere os quaro sinais da figura. O valor de é uma consane. Considere que odos os sinais podem ser ransmiidos com mesma probabilidade. a) Calcule a axa de bis.

2 b) Obenha uma base oronormal que gere os quaro sinais. Sugesão: uilize os sinais na ordem em que eles foram apresenados. c) Obenha os símbolos correspondenes aos quaro sinais. d) Desenhe a conselação. e) Calcule a energia média por símbolo, em função de. f) Calcule a disância mínima em função da energia média por símbolo g) Calcule a poência média h) Deermine a ranslação no espaço de sinais que minimiza a poência média e maném as disâncias Euclidianas enre os símbolos. Calcule o valor da poência média minimizada. 7. Se desejamos ransmiir uma cera quanidade de k bis por símbolo, uma conselação deve er M = k símbolos. Vamos supor que M pode assumir qualquer valor real posiivo. Deermine o valor de M que maximiza a axa de ransmissão de uma modulação FS. Considere que a banda disponível para ese sisema é W. 8. A figura 3 apresena duas conselações para comunicações digiais. Qual você escolheria? Jusifique a sua resposa. 9. Considere as duas conselações da figura 4, que não esão na mesma escala. Em ambos os casos a duração de um símbolo é a mesma. Qual deve ser a poência média por bi para que ambas enham a mesma disância mínima?. Uma variável aleaória X pode assumir valores ineiros de a N. Qual é a expressão da enropia de X quando a sua disribuição é: Uniforme, Binominal com parâmero p, iso é, P (X = k) = ( ) N k p k ( p) N k. Um suro de Dengue ainge São José dos Campos. Um exame de sangue para deecar a presença da doença deeca correamene (resulado posiivo na presença da doença) com 99% de probabilidade, deeca errroneamene (resulado posiivo na ausência da doença-falso posiivo) com % de probabilidade. Sabemos que % da população de São José dos Campos esá com a doença. a) Dado que o resulado do exame é posiivo, qual é a chance do paciene esar doene? b) Dado que o resulado do exame é negaivo, qual é a chance do paciene esar saudável? c) Supondo que a repeição do exame gera um resulado esaisicamene independendene do resulado anerior, qual é a probabilidade de um falso posiivo após a realização de dois exames? (Cabe ao aluno deerminar o que é um resulado posiivo ou negaivo nesa siuação). Mosre que para duas variáveis aleaórias conínuas e esaisicamene independenes W e Z, E{W Z} = E{W } E{Z} a) A função enropia de uma variável aleaória X que pode assumir N valores disinos é definida como N H{X} = P (X = x i )log [P (X = x i )]. () i=. A função enropia conjuna de duas variáveis X e Y, onde Y pode assumir M valores disinos, é definida como sendo: M N H{X, Y } = P (X = x i, Y = y j )log [P (X = x i, Y = y j )]. (3) j= i=

3 i. Mosre que H{X} é sempre maior ou igual a zero. ii. Mosre que, se X e Y são independenes, H{X, Y } = H{X} + H{Y }. 3. Mosre que a enropia de uma variável aleaória discrea é maximizada quando a sua disribuição é uniforme. 4. Uma variável aleaória X pode assumir uniformemene qualquer valor enre e N, inclusive. Uma variável aleaória X só pode assumir valores que sejam menores ou iguais a X. Uma variável aleaória Z é igual a X + X. Obenha as expressões para a enropia de X, a enropia de X e a enropia conjuna de (X, X ), a informação múua enre X e X, odos em função de N. Mosre que a enropia de Z é menor do que a enropia conjuna de (X, X ). 5. Um processo aleaório de poência n() em auocorrelação igual a δ(τ). Ele passa por um filro passa baixas ideal com frequência de core W, gerando o sinal z(). a) Calcule a poência de z() b) Qual deve ser o valor de para que R z (τ = n ) seja igual a zero, para n ineiro, n? 6. Um sinal aleaório Gaussiano n() em média zero e auocorrelação dada por R n (τ) = δ(τ). Ele passa por um sisema com resposa em frequência Λ (f), gerando o sinal z(), onde: Calcule: a) A auocorrelação de z(). b) A densidade especral de poência de z() c) A poência de z() Λ (f) = max[, f ] (4) d) A função densidade de probabilidade de z(), para um valor de qualquer. 3

4 s () s () s 3 () Figure : Sinais da quesão. 4

5 s() s() s3() s4() Figure : Noe que os sinais esão normalizados pelo faor. 5

6 (a) (b) Figure 3: Modulações (a) 6-PS e (b) 6-QAM (a) (b) Figure 4: Figura do erceiro iem. As conselações não esão na mesma escala. 6