Lista de Exercícios de Cálculo 3 Módulo 2 - Quarta Lista - 02/2016

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1 Lisa de Exercícios de Cálculo 3 Módulo 2 - Quara Lisa - 02/2016 Pare A 1. Deermine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respecivas variáveis. (a) f(x, y) = 3x 3 2x 2 y + xy (b) g(x, y) = (xy + y 2 + 1) 3 (c) q(r, s) = cos 2 (3r 2s 2 ) (d) h(u, v) = u + v uv 1 (e) w(x, y) = x2 + y 2 y 2 x 2 + v (f) f(, v) = ln v (g) f(x, y) = (h) g(, v) = y x ln sen d n ( 2 + 2v v 2 ) i i=0 2. Calcule w x e w y uilizando a regra da cadeia, sabendo que w = usenv; u = x2 + y 2 e v = xy. 3. Sabendo que u = e y/x, x = 2r cos e y = 4rsen, calcule u r e u 4. Calcule 2 f x 2, 2 f y 2, Pare B x y e 2 f y x, onde f(x, y) = x2 y y x 2 1. Usando a definição de derivadas parciais, calcule f x (x, y) e f y (x, y) (a) f(x, y) = 2 + x 3y + x 2 y (b) f(x, y) = x 2 y x 3 y 2 (c) f(x, y) = 3x x 2 + 2y 2. Dada f(x, y) = 3 x 3 + y 3, deermine f x (0, 0) usando a definição. 3. Considere a função f(x, y) = { x 3 y xy 3, x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) (a) Deermine f x (x, y) e f y (x, y) quando (x, y) (0, 0); 1

2 (b) Deermine f x (0, 0) e f y (0, 0) pela definição; (c) Mosre que f xy (0, 0) = 1 e f yx (0, 0) = A emperaura em qualquer pono de uma placa plana é T graus e T (x, y) = x2 4y 2. Se a disância for medida em cenímeros, ache a axa de variação da emperaura em relação à disância movida ao longo da placa nas direções dos eixos posiivos x e y, respecivamene, no pono (3, 1). 5. A resisência R ohms de um circuio elérico é dada pela fórmula R = E/I, onde I é a correne em ampères e E a força eleromoriz em vols. Calcule R/ I e R/ E quando I = 15 ampères e E = 110 vols e dê uma inerpreação para essas duas derivadas parciais uilizando o conceio de axa de variação. 6. Suponhamos que o poencial elérico V no pono (x, y, z) seja dado por V (x, y, z) = 100 (x 2 + y 2 + z 2 ), onde V é dado em vols e x, y, z em cenímeros. Ache a axa insanânea de variação de V em relação a disância em (2, 1, 1) na direção dos eixos x, y e z, respecivamene. 7. Calcule w, onde w = ln x3 y 2 ; x = 7; y = sec e z = co. 5z 8. O raio r e a alura h de um cilindro circular reo aumenam à razão de 0,01 cm/min e 0,02 cm/min, respecivamene. (a) Ache a axa de variação do volume quando r = 4cm e h = 7cm. (b) A que axa a área da superfície curva esá variando nese insane? 9. Calcule 2 f x 2, 2 f e prove que 2 y2 f x y y x, onde f(x, y) = 4xsenhy + 3y cosh x. 10. Considere a função u(x, y, z) = e ax+by+cz com a 2 + b 2 + c 2 = 1. Verifique que a função saisfaz a equação 2 u x u y u z 2 = u Pare C 1. Uma função f(x, y) é harmônica se x 2 (x, y) + 2 f (x, y) = 0 y2 em odo domínio de f. Prove que a função f(x, y) = ln x 2 + y 2 é harmônica. 2. Se w = f(x, y), em que x = r cos θ e y = rsenθ, mosre, usando a regra da cadeia, que + x = y + 1 r r 2 θ 2

3 3. A equação de Laplace em R 3 é Mosre que 2 u x u y u z 2 = 0. u(x, y, z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 saisfaz a equação de Laplace para (x, y, z) (0, 0, 0). 3

4 Resumo do Coneúdo Derivada Parcial: dada uma função w = f(x, y, z) suas derivadas parciais fornecem a axa de variação da função f em cada uma das direções canônicas i, j e k. Relação a x: x (x f(x 0 + h, y 0, z 0 ) f(x 0, y 0, z 0 ) 0, y 0, z 0 ) = lim deriva-se com relação a variável x e maném as demais variáveis como consane; h 0 h Relação a y: y (x f(x 0, y 0 + k, z 0 ) f(x 0, y 0, z 0 ) 0, y 0, z 0 ) = lim deriva-se com relação a variável y e maném as demais variáveis como consane; k 0 k Relação a z: z (x f(x 0, y 0, z 0 + s) f(x 0, y 0, z 0 ) 0, y 0, z 0 ) = lim deriva-se com relação a variável s 0 s z e maném as demais variáveis como consane; Noação: x = f x, y = f y e z = f z; Observação: valem as regras da muliplicação por escalar, soma, produo e quociene; dada ( z = ) f(x, y) diferenciável, ( as ) derivadas segun- y y y 2 = f yy, y x y x = f xy e Derivadas Parciais de Segunda Ordem: das são definidas como ( ) x x x 2 = f xx, ) x ( y x y = f yx; Observação: nem sempre f xy = f yx, para que sejam iguais em um pono (x 0, y 0 ) é necessário que f x, f y, f xy e f yx sejam conínuas em (x 0, y 0 ) (Teorema de Clairau); Regra da Cadeia: dada uma função z = f(x, y) diferenciável e uma curva r() = x()i+y()j ambém diferenciável, enão (f r)() ambém é diferenciável e a derivada é dada por ( ) ( ) d dx (f r)() = d x d + dy y d. Caso ridimensional: dada w = f(x, y, z) e r() = x()i + y()j + z()k, enão ( ) ( ) ( ) d dx (f r)() = d x d + dy y d + dz z d ; Para mais casos consule o livro/caderno!!! 4

5 Gabario Pare A 1. Resposas (a) f x = 9x 2 4xy + y; f y = x 2x 2 (b) f x = 3y(xy + y 2 + 1) 2 ; f y = 3(x + 2y)(1 + xy + y 2 ) 2 (c) q r = 3 sin(6r 4s 2 ); q s = 4s sin(6r 4s 2 ) (d) h u = v2 + 1 (uv 1) 2 ; h v = u2 + 1 (uv 1) 2 (e) w x = 4xy 2 (y 2 x 2 ) 2 ; w y = 4x2 y (y 2 x 2 ) 2 (f) v (, v) = 2 v 2 ; v (g) (x, y) = ln sen x; x y n (h) g = i=1 (, v) = 2 v 2 (x, y) = ln sen y 2i( + v)( 2 + 2v v 2 ) i 1 ; g v = n 2i( v)( 2 + 2v v 2 ) i 1 i= w x (x, y) = 2xsen(xy) + y(x2 + y 2 ) cos(xy); w y (x, y) = 2ysen(xy) + x(x2 + y 2 ) cos(xy) u r = 0; u s = 2e2 an sec 2 x 2 (x, y) = 2 y 6y x 4 ; 2 f 2x2 (x, y) = y2 y 3 ; x y (x, y) (x, y) = 2x y x y x 3 Pare B 1. (a)f x = 1+2xy e f y = 3+x 2 ; (b) f x = 2xy 3x 2 y 2 e f y = x 2 2x 3 y; (c) f x = 3(2y x2 ) (x 2 +2y) 2 e f y = 6x (x 2 +2y) 2 2. f x (0, 0) = 1 3. Resposas (a) f x (x, y) = x4 y + 4x 2 y 3 y 5 (x 2 + y 2 ) 2 e f y (x, y) = x5 4x 3 y 2 xy 4 (x 2 + y 2 ) 2 (b) f x (0, 0) = 0 e f y (0, 0) = /cm; 8 /cm. 5. R I = ; R E = ;50 9 ; x + 2 sec an y + csc2 z 8. (a) 0, 88π cm³/min; (b) 0, 3π cm³/min 9. x 2 (x, y) = 3y cosh x; 2 f (x, y) = 4x cosh y y2 5

6 Pare C 1. Compue as derivadas parciais e some os resulados obidos. 2. Calcule w r e w w, eleve ambos ao quadrado, coloque r em evidência em θ θ 3. Compue as derivadas parciais e some os resulados obidos. e some os resulados. 6