Lista de Exercícios de Cálculo 3 Módulo 1 - Terceira Lista - 02/2016

Transcrição

1 Lista de Exercícios de Cálculo 3 Módulo 1 - Terceira Lista - 02/2016 Parte A 1. Identifique e esboce as superfícies quádricas x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 1 x 2 y 2 + z 2 = 1 (c) y = 2x 2 + z 2 (d) x = y 2 z 2 (e) 4x 2 16y 2 + z 2 = 16 (f) x 2 + 4y 2 z 2 = 4 (g) x 2 y 2 + z 2 4x 2y 2z + 4 = 0 (h) 4y 2 + z 2 x 16y 4z + 20 = 0 2. Dada a função f(x, y) = 5x 2 + 7xy, calcule o valor das expressões f(3, 4) f( a, b) 3. Dada a função f(x, y) = ln(x + y 1) Determine f(1, 1) e f(1, e) Esboce o domínio da função f (c) Ache o contra-domínio da função f 4. Dada a função f(x, y, z) = e z x 2 y 2 Determine f(2, 1, 6) Esboce o domínio da função f (c) Ache o contra-domínio da função f 5. Esboce o domínio das funções f(x, y) = ln(9 x 2 9y 2 ) f(x, y) = y x ln(x + y) y x 2 (c) f(x, y) = 1 x 2 (d) g(x, y, z) = 1 x 2 y 2 z 2 (e) g(x, y, z) = arcsin(x 2 y 2 + z 2 2) 6. Descreva as curvas (ou superfícies) de nível das seguintes funções f(x, y) = y sec x 1

2 f(x, y) = y x 2 + y 2 (c) f(x, y) = y 2 x 2 (d) f(x, y) = (2x + y)/(x 2 y 2 ) (e) g(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2 (f) g(x, y, z) = 3 + x y 2 z 2 (g) g(x, y, z) = y 2 + z 2 7. Calcule os ites abaixo (x,y) (π/2,1) y cos x x 4 (y 1) 4 (x,y) (0,1) x 2 + (y 1) 2 8. Determine todos os pontos onde a função f(x, y) = x2 y 1 é descontínua. 9. Dada a função determine f(x, y) = 4x2 y 2 2x y, O domínio de f. O conjunto de pontos do domínio para os quais f é descontínua. Parte B 1. Encontre o domínio da função f(x, y) = x4 y 4 x 2 y 2 2. Calcule os ites dados sec xy + sec yz (x,y,z) (π/3,1,π) y sec z y 2 4y + 3 (x,y,z) (2,3,1) x 2 z(y 3) 3. Dada a função determine f(x, y) = x2 y 3 2x 2 + y 2, O domínio de f O conjunto de pontos do domínio para os quais f é descontínua 4. Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0, 0) f(x, y) = { xy x 2 +xy+y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) 2

3 f(x, y) = { x 2 y 3 2x 2 +y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) 5. Dadas as funções f(x, y) = x 2 y 2 e g(t) = (t 2 4)/t, determine os pontos para os quais a função h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua. 6. Dadas as funções f(x, y) = 1 xy 1+x 2 y 2 e g(t) = t + ln(t), determine os pontos para os quais a função h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua. Parte C 1. Ache a equação da curva de nível de f(x, y) = y arctan x que contém o ponto P (1, 4). 2. Prove os seguintes ites x 3 y 2 x 2 + y 2 0 e y (x 3 + y 3 ) x 2 + y Mostre que os ites não existem (c) (d) (e) 2x 2 y 2 x 2 + 2y 2 y 4 x 4 + 3y 4 xy cos y 3x 2 + y 2 x 2 ye y x 4 + 4y 2 2xy x 2 + 2y 2 4. Mostre, usando a definição de ites (x,y) (2,1) (5x + 3y) = 13 (x,y) (3, 1) (8 x 2 + y 2 ) = 0 3

4 Resumo do Conteúdo Superfícies Quádricas: são superfícies que tem o formato Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + F xz + Gx + Hy + Iz + J = 0, em que A,, J são constantes reais, com pelo menos uma das constantes A, B,, F 0. Esfera: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = ρ 2 com centro em (x 0, y 0, z 0 ) e raio ρ; Elipsóide: (x x 0 ) 2 b 2 + (z z 0) 2 c 2 = 1 com centro em (x 0, y 0, z 0 ); Parabolóide: z z 0 = (x x 0) 2 b 2 ; Parabolóide Hiperbólico: z z 0 = (y y 0) 2 b 2 (x x 0) 2 a 2 ; (z z 0 ) 2 Cone: c 2 = (x x 0) 2 b 2 Hiperbolóide de Uma Folha: (x x 0 ) 2 b 2 (z z 0) 2 c 2 = 1 com centro em (x 0, y 0, z 0 ); Hiperbolóide de Duas Folhas: (x x 0) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 + (z z 0) 2 c 2 = 1 com centro em (x 0, y 0, z 0 ); Domínio: dada uma função de duas variáveis f(x, y) seu domínio corresponde a todos os pontos D R 2 em que a função está bem definida. Equivalentemente, o domínio de uma função g(x, y, z) de três variáveis corresponde ao conjunto S R 3 em que a função g está bem definida. Exemplo: considerando f(x, y) = cos(xy), para que esta função esteja bem definida é fundamental x y que o denominador da fração seja não nulo, isto é, para que ela esteja bem definida é necessário que (x y) 0. Portanto, o domínio da função é o conjunto D = {(x, y) R 2 : x y}. Curvas/Superfícies de Nível: dada uma função de duas variáveis f(x, y), as curvas de nível correspondem aos pontos no plano (x, y) no qual a função é igual uma constante real k, isto é, C k = {(x, y) R 2 : f(x, y) = k com k R}. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis g(x, y, z) corresponde aos pontos (x, y, z) no espaço, no qual a função é igual uma constante real k, isto é, S k = {(x, y, z) R 3 : g(x, y, z) = k com k R}. Observação: numa planta topográfica, as curvas de nível caracterizam-se por linhas imaginárias que unem todos os pontos de mesma altitude daquela região representada; Função Contínua: uma função de duas variáveis f(x, y) é contínua no ponto (x 0, y 0 ) se: (i) f(x 0, y 0 ) existe; (ii) f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Observação: se f(x, y) é contínua em (x 0, y 0 ) e g(w) é contínua em w = f(x 0, y 0 ), então h(x, y) = (g f)(x, y) = g(f(x, y)) também é contínua no ponto (x 0, y 0 ); Por exemplo, tan(x 2 + y 2 ), ecos yx e ln(x 2 + x 2 y 2 ); Observação: para funções de três variáveis a definição é equivalente!!! Regra dos Dois Caminhos: quando o ite de uma função existe ele deve ser único. Desta forma, se por duas direções distintas o ite for diferente podemos concluir que o ite não existe. Exemplo: suponha que se deseja mostrar que o ite f(x, y). Considere dois caminhos distintos r 1 (t) = (x 1 (t), y 1 (t)) e r 2 (t) = (x 2 (t), y 2 (t)) tais que r 1 (t) = r 2 (t) = 0. t 0 t 0 Se f(x, y) = L 1 L 2 então podemos afirmar que o ite t 0 f(x 1(t), y 1 (t)) = L 1 e 4 f(x, y) = f(x, y) não existe; t 0 f(x 2(t), y 2 (t)) = L 2, com

5 Observação: se por dois caminhos distintos o ite for igual isso não é suficiente para garantir que o ite existe!!! 5

6 Gabarito Parte A 1. Elipsóide; Hiperbolóide de uma folha; (c) Parabolóide; (d) Parabolóide hiperbólico; (e) Hiperbolóide de uma folha; (f) Hiperbolóide de duas folhas; (g) Cone; (h) Parabolóide ; 5a + 7 ab 3. 0 e 1; D = {(x, y) R 2 x + y > 1}; (c) CD = R 4. e; D = {(x, y, z) R 3 z x 2 y 2 0}; (c) CD = [1, ) 5. D = {(x, y) R 2 9 > x 2 + 9y 2 }; D = {(x, y) R 2 y x > 0 e x + y > 0}; (c) D = {(x, y) R 2 y x 2 > 0 e 1 x 2 0}; (d) D = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1}; (e) D = {(x, y, z) R 3 1 x 2 y 2 + z 2 3} ) 2 = 1 6. y = k cos x; x 2 + ( y 1 2k (círculo); (c) y 2 x 2 = k 2 (hipérbole); (d) (x+ 1 4k 2 k )2 (y+ 1 2k )2 = (hipérbole); (e) x 2 y 2 + z 2 = k; (f) x = (k 3) + y 2 + z 2 (parabolóide); (g) k = y 2 + z 2 (cilindro) 5 4k ; 0 8. {(x, y) y = 1} 9. {(x, y) y 2x}; A função é contínua em todos os pontos do domínio. Parte B 1. {(x, y) y ±x} 2. 1/2; 1/2 3. D = {(x, y) R 2 x, y 0}; A função é contínua em R 2 4. não; sim 5. {(x, y) y 2 x 2 } 6. {(x, y) xy < 1} Parte C 1. y arctan x = π 2. a 3. Mostre que o ite difere se nos aproximarmos de (0, 0) por diferentes direções. 4. Mostre que, para cada ɛ > 0 dado, existe um δ > 0 tal que satisfaça as condições impostas na definição de ites. 6