Funções de duas (ou mais)

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1 Lista 5 - CDI II Funções de duas (ou mais) variáveis. Seja f(x, y) = x+y x y, calcular: f( 3, 4) f( 2, 3 ) f(x +, y ) f( x, y) f(x, y) 2. Seja g(x, y) = x 2 y, obter: g(3, 5) g( 4, 9) g(x + 2, 4x + 4) g( x, 3 x 2 ) 3. Seja f(x, y, z) = 4 x 2 y 2 z 2, calcular: f(,, ) f(, 2, 3 2 ) f( 2 x, 2 y, 2 z) [f(x, y, z)] 2 [f(x + 2, y + 2, z)] 2 4. Seja g(x, y, z) = 4 x 2 +y 2 +z 2 9, determinar: g(, 2, 3) g(2, 2, 3 2 ) g( 2 x, 2 x, x ) g(x + 2,, x 2) 5. Seja f(x, y, z, t) = x 2 y 3 z + t, determine f( 5, 2, π, 3π). Seja f(x, x 2,..., x n ) = kx k. Determine f(,,..., ). n k= Seja f(u, v, λ, φ) = e u+v cos λtgφ. Determine f( 2, 2, 0, π/4). Seja f(x, x 2,..., x n ) = x 2 +x x 2 n. Determine f(, 2,..., n). 6. Obter o domínio das funções abaixo: f(x, y) = x 2 +y 2 f(x, y) = x 2 y 2 f(x, y) = x 2 + y 2 f(x, y) = x 2 y 2 (e) f(x, y) = x4 y 4 x 2 y 2 (f) f(x, y) = cos (x y) (g) f(x, y) = ln(xy ) (h) f(x, y, z) = ln x + ln y + ln z (i) f(x, y, z) = ln(4 x 2 y 2 ) + z (j) f(x, y, z) = xz cos (y 2 ) 7. Faça um esboço do gráfico das funções: f(x, y) = 6 x 2 y 2 f(x, y) = 6 x 2 y 2 f(x, y) = x 2 y 2 f(x, y) = 4x 2 + 9y 2 8. Faça um esboço dos mapas de contorno das funções: f(x, y) = 6 x 2 y 2 em 0,, 2, 3 e 4; f(x, y) = 6 x 2 y 2 em 0, 6, 2, 0, -2, -6 e -0;

2 f(x, y) = x 2 y 2 em 6, 9, 4, 0, -4, -9 e -6; f(x, y) = 2 (x2 + y 2 ) em 8, 6, 4, 2 e 0; (e) f(x, y) = x 2 + y 2 em k = 2,, 0,, Calcular h(x, y), se h = f g, sendo f(t) = sen t e g(x, y) = x 2 y 2. Obtenha também o domínio de h(x, y). 0. Calcular h(x, y), se h = f g, sendo f(t) = e t e g(x, y) = y ln x. Obtenha também o domínio de h(x, y).. Dada f(x, y) = x y, g(t) = t, h(s) = s 2. Ache: (g f)(5, ) f(h(3), g(9)) f(g(x), h(y)) g((h f)(x, y)). 2. Dada f(x, y) = x y, g(t) = t, h(s) = s 2. Ache: (g f)(5, ) f(h(3), g(9)) f((g(x), h(y)) g((h f)(x, y)). 3. Se T (x, y) for a temperatura em um ponto (x, y) de uma placa delgada de metal no plano xy, então as curvas de nível de T são chamadas curvas isotérmicas. Todos os pontos sobre tal curva tem a mesma temperatura. Suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante T (x, y) = xy. Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais T =, T = 2 e T = 3. Uma formiga, inicialmente em (, 4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória tomada pela formiga e qual é a temperatura ao longo de sua trajetória? 4. Esboce a região onde a função f é contínua. f(x, y) = y ln( + x) f(x, y) = x y f(x, y) = x 2 y 25 x 2 y 2 f(x, y) = ln(2x y + ) 5. Descreva a região na qual a função é contínua. f(x, y, z) = ln(4 x 2 y 2 z 2 ) f(x, y) = y+ x 2 +y 2 6. Calcule os seguintes ites: (e) (f) (x,y) (,3) (4xy2 x) (x,y) (/2,π) (xy2 sen xy) (x,y) (,2) xy 3 x + y (x,y) (, 3) e2x y2 ln( + x2 y 3 ) (x,y) (4, 2) x 3 y 3 + 2x 7. Mostre que o ite não existe considerando (x, y) (0, 0) ao longo dos eixos coordenados. 3 x 2 + 2y 2 2

3 x + y x + y 2 x y x 2 + y 2 cos xy x + y 8. Calcule o ite fazendo z = x 2 + y 2 e observando que z 0 + quando (x, y) (0, 0). sen(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 e /(x2 +y 2 ) cos(x 2 + y 2 ) ) x 2 + y 2 9. Verifique se o ite existe. Se existir, determine seu valor. xy 3x 2 + 2y 2 (x,y,z) (2,,2) xz 2 x2 + y 2 + z 2 ln(2x + y z) (x,y,z) (2,0, )) sen(x 2 + y 2 + z 2 ) (x,y,z) (0,0,0) x2 + y 2 + z Seja f(x, y) = x2 y x 4 + y 2, Mostre que f(x, y) 0 quando (x, y) (0, 0) ao longo de qualquer reta y = mx. Isso implica que f(x, y) 0 quando (x, y) (0, 0)? Explique. Mostre que f(x, y) 2 quando (x, y) (0, 0) ao longo da parábola y = x 2. Baseado nos itens anteriores podemos dizer que f(x, y) tem um ite quando (x, y) (0, 0)? Explique. 2. Mostre que o valor de xyz x 2 + y 4 + z 4 tende a 0 quando (x, y, z) (0, 0, 0) ao longo de qualquer reta x = at, y = bt, z = ct. Mostre que o (x,y,z) (0,0,0) xyz x 2 + y 4 + z 4 não existe tomando (x, y, z) (0, 0, 0), ao longo da curva x = t 2, y = t, z = t. 22. Seja f(x, y) = 3x 3 y 2. Determine: f x (x, y) f y (x, y) f x (, y) f x (x, ) (e) f y (, y) (f) f y (x, ) (g) f x (, 2) (h) f y (, 2) 23. Seja z = e 2x sen y. Determine: (e) z z z z (0,y) z (x,0) (0,y) (f) z (x,0) (g) z (h) z (ln 2,0) (ln 2,0) 24. Seja z = x cos y. Determine: 2 z 2 2 z 2 2 z 2 z 25. Seja f(x, y) = 4x 2 2y + 7x 4 y 5. Calcule: f xx f yy f xy f yx 26. Seja f(x, y) = 3x + 2y. Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção x no ponto (4,2). 3

4 Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção y no ponto (4,2). 27. Seja f(x, y) = xe y + 5y. Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção x no ponto (3,0). Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção y no ponto (3,0). 28. Seja z = sen(y 2 4x). Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (2,) com y fixo. Determine a taxa de variação de z em relação a y no ponto (2,) com x fixo. 29. Seja z = (x + y). Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (-2,4) com y fixo. Determine a taxa de variação de z em relação a y no ponto (-2,4) com x fixo. 30. Nos itens abaixo, determine z e z. z = 4e x2 y 3 ; z = cos(x 5 y 4 ); z = x 3 ln( + xy 3 5 ); z = e xy sen(4y 2 ); (e) z = xy x 2 +y 2 ; (f) z = x2 y 3 x+y. 3. Nos itens abaixo, determine f x (x, y) e f y (x, y). f(x, y) = 3x 5 y 7x 3 y; 32. Nos itens abaixo, calcule as derivadas parciais indicadas. f(x, y) = 9 x 2 7y 3, f x (3, ), f y (3, ); f(x, y) = x 2 ye xy, f f (, ), (, ); z = x 2 + 4y 2, z z (, 2), (, 2); w = x 2 cos(xy), w( w, π), (, π) Nos itens abaixo, confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de f são iguais. f(x, y) = 4x 2 8xy 4 + 7y 5 3; f(x, y) = x 2 + y 2 ; f(x, y) = e x cos y; f(x, y) = e x y2 ; (e) f(x, y) = ln(4x 5y). 34. Dada f(x, y) = x 3 y 5 2x 2 y + x, determine f xxy f yxy f yyy 35. Dada z = (2x y) 5, determine 3 z 3 z 4 z Dada f(x, y) = y 3 e 5x, determine f xyy (0, ) f xxx (0, ) f yyxx (0, ) 37. Dada w = e y cos x, determine 3 w 2 3 w 2 ( π 4,0) ( π 4,0) f(x, y) = x+y x y. 4

5 38. Expresse as seguintes derivadas em notação f xxx f xyy f yyxx f xyyy 39. Seja f(x, y, z) = x 2 y 4 z 3 + xy + z 2 +. Determine f x (x, y, z) f y (x, y, z) f z (x, y, z) f x (, y, z) (e) f y (, 2, z) (f) f z (, 2, 3) 40. Seja w = x 2 y cos z. Determine w (x, y, z) w (x, y, z) w (x, y, z) z w (2, y, z) (e) w (2,, z) (f) w (2,, 0) z 4. Nos itens abaixo determine w w. z w = ye z sen(xz) w = x2 y 2 y 2 +z 2 w = x 2 + y 2 + z 2 w = y 3 e 2x+3z, w 42. Seja f(x, y, z) = y 2 e xz. Determine f (,,) f z (,,) f (,,) 43. Seja w = x 2 + 4y 2 z 2. Determine w (2,, ) w z (2,, ) w (2,, ) 44. Seja f(x, y, z) = x 3 y 5 z 7 + xy 2 + y 3 z. Determine e f xy f yz f xz f zz (e) f zyy (f) f xxy (g) f zyx (h) f xxyz 45. Um ponto move-se ao longo do da intersecção do parabolóide elíptico z = x 2 + 3y 2 e o plano x = 2. A que taxa está z variando em relação a y quando o ponto está em (2,, 7)? 46. Um ponto move-se ao longo da intersecção do plano y = 3 e a superfície z = 29 x 2 y 2. A que taxa está z variando em relação a x quando o ponto está em (4, 3, 2)? 47. Determine a inclinação da reta tangente em (,, 5) para a curva de intersecção da superfície z = x 2 + 4y 2 e o plano x = o plano y = 48. O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr 2 h, onde r é o raio da base e h é a altura. Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r varia e h permanece constante. Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se h varia e r permanece constante. Suponha que h tem um valor constante de 4 pol, mas r varia. Determine a taxa de variação de V em relação a r no ponto onde r = 6 pol. Suponha que r tem um valor constante de 8 pol, mas h varia. Determine a taxa de variação de V em relação a h no ponto onde h = 0 pol. 5