Derivadas Parciais - parte 1. 1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

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1 Terceira Lista de Exercícios Cálculo II - Engenharia de Produção ( extraída do livro C ÁLCULO - vol 2 James Stewart ) Derivadas Parciais - parte 1 1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. a) f(x y) = 3x 2y 4 b) z = xe 3y c) z = (2x + 3y) 10 d) f(x y) = x y x + y e) w = sin α cos β f) f(r s) = r ln(r 2 + s 2 ) g) u = te w/t h) f(x y z) = xz 5x 2 y 3 z 4 i) w = ln(x + 2y + 3z) j) u = xy sin 1 (yz) k) f(x y z t) = xyz 2 tan(yt) l) u = x x x 2 n 2) Determine as derivadas parciais indicadas. a) f(x y) = ln(x + x 2 + y 2 ); f x (3 4) b) f(x y z) = y x + y + z ; f y(2 1 1) 3) Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar f x (x y) e f y (x y). a) f(x y) = x 2 y x 3 y 4) Use a derivação implícita para determinar / x e / y. a) x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz b) x z = arctan(yz) 5) Determine / x e / y. a) z = f(x) + g(y) b) z = f(x + y) 6) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. a) f(x y) = x 3 y 5 + 2x 4 y b) w = u 2 + v 2 c) z = arctan x + y 1 xy 1

2 7) Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida isto é u xy = u yx. a) u = x sin(x + 2y) b) u = ln x 2 + y 2 8) Determine as derivadas parciais indicadas. a) f(x y) = 3xy 4 + x 3 y 2 ; f xxy b) f(x y z) = cos(4x + 3y + 2z); f xyz f yzz c) u = e rθ sin θ; d) w = x y + 2z ; 3 u r 2 θ 3 w y x 3 w x 2 y 9) O elipsoide 4x 2 + 2y 2 + z 2 = 16 intercepta o plano y = 2 em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente à elipse no ponto (1 2 2). 10) Se f(x y) = x(x 2 + y 2 ) 3/2 e sin(x2y) determine f x (1 0). [Sugestão: Em vez de achar f x (x y) primeiro observe que é mais fácil utilizar a equação f x (a b) = g (a) onde g(x) = f(x b).] x 3 y xy 3 se (x y) (0 0) 11) Seja f(x y) = x 2 + y 2 0 se (x y) = (0 0) a) Use um computador para traçar o gráfico de f; b) Determine f x (x y) e f y (x y) quando (x y) (0 0); c) Determine f x (0 0) e f y (0 0); d) Mostre que f xy (0 0) = 1 e f yx (0 0) = 1; e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? 12) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. a) z = 4x 2 y 2 + 2y ( 1 2 4) b) z = xy (1 1 1) c) z = y cos(x y) (2 2 2) 13) Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir encontre a linearização L(x y) da função naquele ponto. 2

3 a) f(x y) = x y (1 4) b) f(x y) = x (2 1) x + y c) f(x y) = e xy cos y (π 0) 14) Determine a aproximação linear da função f(x y) = 20 x 2 7y 2 em (2 1) e use-a para aproximar f( ). 15) Mostre que a função f(x y) = x 2 + y 2 é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à definição. 16) Use a regra da cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt. a) z = x 2 y + xy 2 x = 2 + t 4 y = 1 t 3 b) z = sin x cos y x = πt y = t c) w = xe y/z x = t 2 y = 1 t z = 1 + 2t 17) Utilize a regra da cadeia para determinar / s e / t. a) z = x 2 y 3 x = s cos t y = s sin t b) z = sin θ cos φ θ = st 2 φ = s 2 t c) z = e r cos θ r = st θ = s 2 + t 2 18) Se z = f(x y) onde f é diferenciável e x = g(t) y = h(t) g(3) = 2 h(3) = 7 g (3) = 5 h (3) = 4 f x (2 7) = 6 f y (2 7) = 8 determine dz/dt quando t = 3. 19) Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis. a) u = f(x y) onde x = x(r s t) y = y(r s t) b) w = f(r s t) onde r = r(x y) s = s(x y) t = t(x y) 20) Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. a) z = x 2 + xy 3 x = uv 2 + w 3 y = u + ve w ; quando u = 2 v = 1 w = 0 v w b) R = ln(u 2 + v 2 + w 2 ) u = x + 2y v = 2x y w = 2xy; R x R y quando x = y = 1 c) u = x 2 + yz x = pr cos θ y = pr sin θ z = p + r; θ = 0 p r θ quando p = 2 r = 3 21) Utilize a equação dy dx = F x F y para determinar dy/dx. 3

4 a) xy = 1 + x 2 y b) cos(x y) = xe y 22) Utilize as equações F x = x a) x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz b) x z = arctan(yz) F e F y = y F para determinar / x e / y. RESPOSTAS: 1) a) f x (x y) = 3 f y (x y) = 8y 3 b) / x = e 3y / y = 3xe 3y c) / x = 20(2x + 3y) 9 / y = 30(2x + 3y) 9 d) f x (x y) = 2y/(x + y) 2 f y (x y) = 2x/(x + y) 2 e) w/ α = cos α cos β w/ β = sin α sin β f) f r (r s) = 2r2 r 2 +s 2 + ln(r 2 + s 2 ) f s (r s) = g) / t = e w/t (1 w/t) / w = e w/t 2rs r 2 +s 2 h) f x = z 10xy 3 z 4 f y = 15x 2 y 2 z 4 f z = x 20x 2 y 3 z 3 i) w/ x = 1/(x + 2y + 3z) w/ y = 2/(x + 2y + 3z) w/ = 3/(x + 2y + 3z) j) / x = y sin 1 (yz) / y = x sin 1 (yz) + xyz/ 1 y 2 z 2 / = xy 2 / 1 y 2 z 2 k) f x = yz 2 tan(yt) f y = xyz 2 t sec 2 (yt)+xz 2 tan(yt) f z = 2xyz tan(yt) f t = xy 2 z 2 sec 2 (yt) l) / x i = x i / x x x 2 n 2) a) 1 5 b) 1 4 3) a) f x (x y) = y 2 3x 2 y f y (x y) = 2xy x 3 4) a) = 3yz 2x x b) = 1+y2 z 2 x 1+y+y 2 z 2 2z 3xy = 3xz 2y y 2z 3xy = z y 1+y+y 2 z 2 5) a) f (x) g (y) b) f (x + y) f (x + y) 6) 4

5 a) f xx = 6xy x 2 y f xy = 15x 2 y 4 + 8x 3 = f yx f yy = 20x 3 y 3 b) w uu = v 2 /(u 2 + v 2 ) 3/2 w uv = uv/(u 2 + v 2 ) 3/2 = w vu w vv = u 2 /(u 2 + v 2 ) 3/2 c) z xx = 2x/(1 + x 2 ) 2 z xy = 0 = z yx z yy = 2y/(1 + y 2 ) 2 8) a) 12xy 72xy b) 24 sin(4x + 3y + 2z) 12 sin(4x + 3y + 2z) c) θe rθ (2 sin θ + θ cos θ + rθ sin θ) d) 4/(y + 2z) 3 0 x = 1 + t 9) y = 2 z = 2 2t 10) 2 11) a) b) f x (x y) = x4 y+4x 2 y 3 y 5 f (x 2 +y 2 ) 2 y (x y) = x5 4x 3 y 2 xy 4 (x 2 +y 2 ) 2 c) 0 0 e) Não já que f xy e f yx não são contínuas. 12) a) z = 8x 2y b) x + y 2z = 0 c) z = y 13) a) 2x + 1y 1 b) 1x 2y + 2 c) 1 πy ) 2x 7y + 20 ; ) ε 1 = x ε 2 = y 16) a) 4(2xy + y 2 )t 3 3(x 2 + 2xy)t 2 b) π cos x cos y (sin x sin y)/(2 t) c) e y/z [2t (x/z) (2xy/z 2 )] 17) a) s = 2xy3 cos t + 3x 2 y 2 sin t b) = t 2sxy3 sin t + 3sx 2 y 2 cos t = s t2 cos θ cos φ 2st sin θ sin φ = 2st cos θ cos φ t s2 sin θ sin φ ( ) ( ) c) = s er t cos θ s s sin θ = 2 +t 2 t er s cos θ t s sin θ 2 +t 2 5

6 18) 62 19) a) = x + y r x r y r = x + y s x s y s = x + y t x t y t b) w = w r + w s + w t x r x s x t x w = w r + w s + w t y r y s y t y 20) a) b) c) ) a) 4(xy)3/2 y x 2x 2 xy 22) b) sin(x y)+ey sin(x y) xe y a) 3yz 2x 2z 3xy 3xz 2y 2z 3xy b) 1+y 2 z 2 1+y+y 2 z 2 z 1+y+y 2 z 2 6