Universidade Federal do Paraná
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- Maria Antonieta Mirandela Galindo
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1 Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo 2 da Lista de exercicios de cálculo II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1. Represente graficamente o domínio da função z = f(x,y) dada por: (a) f(x,y) = x y x+y (b) f(x,y) = x+y (c) f(x,y) = x 2y (d) f(x,y) = x y sen x sen y (e) f(x,y) = x 2 y 3 (f) f(x,y) = y x + 1 y (g) f(x,y) = x y (h) f(x,y) = x + y 2 (i) z = x 2 + y 2, z 0 (j) 4x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 2. Esboce o grafico das seguintes funções, desenhando um numero finito de curvas de nível no domínio da função f; (a)f(x,y) = x 2 + y 2 (b) f(x,y) = 4x 2 + 9y 2 ; (c)f(x,y) = 3x 7y (d) f(x,y) = x y (e)f(x,y) = x2 y 2 +1 (f)f(x,y) = (x y) 2 ; (g)f(x,y) = ln(x 2 + y 2 1) (h)f(x,y) = x ; x 2 +y 2 +1 (i)f(x,y) = e (x2 +y 2) ; (j) f(x,y) = x+y x y ; (k)f(x,y) = sen (l) f(x,y) = 1 x 2, x 0, y 0, x + y Descreva as superficies de nível de f: (a)f(x,y,z) = x 2 y 2 z 2, (b) f(x,y,z) = 4x 2 + y 2 + 9z 2 ; (c)f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z, (d)f(x,y,z) = x y 2 + z 2 ; (e)f(x,y,z) = x y, (f) f(x,y,z) = e (x2 +y 2 +z 2) ; LIMITE E CONTINUIDADE 4. Calcule os seguintes ites, caso existam. Se não existirem, justifique: 1
2 (a) (c) (e) (g) (i) x 4, (b) x 4 + x 2 + y x 2 y x 4 + y2, (d) x 2 + y2, (f) x 2 y cos(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2, (h) x 3 + y 3 x 2 + y2, (j) x 3 x 2 + y ; x 3 + y 3 x y ; x 3 y ; x 4 sen (x 2 + y 2 ) ; x 4 + y 2 (x + y) 3 x 2 + y ; 2 5. Discuta a continuidade das seguintes funções: { { se (x,y) (0, 0) (a) f(x,y) = x 2 +y 2 (b) f(x,y) = 0 se (x,y) = (0, 0) (c) f(x,y) = { x 2 y x 4 +y 2 se (x,y) (0, 0) 0 se (x,y) = (0, 0) (d) f(x,y) = DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE { x 3 +y 3 x 2 +y 2 se (x,y) (0, 0) 0 se (x,y) = (0, 0) xz y 2 x 2 +y 2 +z 2 se (x,y,z) (0, 0, 0) 0, se (x,y,z) = (0, 0) 6. O que significa uma função f : U R 2 R ser diferenciável em (x o,y o ) U o? Que relação existe entre a diferenciabilidade, continuidade e as derivadas parciais de f em um ponto? 7. Uma placa de metal aquecida está situada no plano de modo que a temperatura T no ponto (x,y) é dada por T(x,y) = 10(x 2 + y 2 ) 2. Determine a taxa de variação da temperatura T no ponto (1, 2) na direção do eixo Ox e do eixo Oy. 8. Seja V o potencial elétrico no ponto (x,y,z) dado por V (x,y,z) = 100 x 2 +y 2 +z 2. Determine a taxa de variação de V no ponto P(2, 1, 1) na direção dos eixos Ox,Oy e Oz, respectivamente. 9. Considere a seguinte função f : R 2 R definida por: x 2 y 2, (x,y) (0, 0) x 2 +y 2 f(x,y) = k, (x,y) = (0, 0). onde k é uma constante. a) É ou não possível escolher k de tal forma que a função seja continua no ponto (0, 0)? b) Sem fazer calculos comente a seguinte afirmação: Se ambas as derivadas parciais da função f existirem na vizinhança do ponto (0, 0) nenhuma delas pode ser contínua no (0, 0) 2x 2 y Seja f(x,y) = x 4 + y4, se (x,y) (0, 0), prove que: 2
3 (a) f x (0, 0) e f y (0, 0) existem e (b) f(x,y) não é diferenciável em (0, 0). Por que? 11. Mostre que a função 5 f(x,y) = 2x 2 + 3y2, se (x,y) (0, 0), possui derivadas parciais em (0, 0), mais não é diferenciável no ponto (0, 0). x Seja f(x,y) = x 2 + y2, se (x,y) (0, 0), (a) Verifique que f(x,y) é contínua em (0, 0) e que existem as derivadas parciais f x (0, 0) e f y (0, 0). (b) É f(x,y) diferenciável em (0, 0)? Por que? REGRA DA CADEIA E VETOR GRADIENTE 13. Calcule dz, usando a regra da cadeia: dt (a) z = ln(2x 2 + y), x = t, y = t 2/3 (b) z = 1 + x 2 4, x = lnt, y = t (c) z = e 1, x = t 1/3, y = t Calcule w e w u v usando a regra da cadeia (a) w = + yz + xz onde x = u cos v, y = u cos v e z = v. (b) w = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) onde x = ue v sen u, y = ue v sen u e z = ue v. (c) w = cos x sen y onde x = u v, y = u 2 + v Use a regra da cadeia para calcular dw, se w = r 2 r tanθ, r = s, θ = πs s=1/4 16. Use a regra da cadeia para calcular dz e dz ; se r=2, θ=π/6 r=2, θ=π/6 z = e x/y, x = r cos θ, y = rsen θ 17. Verifique: ds dr (a) Mostre que toda reta normal a uma esfera passa pelo seu centro. (b) Mostre que o plano tangente à superfície ax 2 +by 2 +cz 2 = d no ponto (x 0,y 0,z 0 ) tem como equação ax 0 x + by 0 y + cz 0 z = d. (c) Mostre que todos os planos tangentes ao cone z 2 = a 2 x 2 + b 2 y 2 passam pela origem. 3 dθ
4 18. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto P, (a) z = xe x2 y 2, P(2, 2, 2) (b) z = 1, P(1, 1, 1) (c) x 2 + y 2 + z 2 = 25, P( 3, 0, 4) (d) y + x = 2xz, P(4, 4, 1) (e) cos(πx) x 2 y + e xz + yz = 4, P(0, 1, 2) 19. Considere a superfície de equação z = 1. Encontre as equações dos planos tangentes a esta superfície que são paralelos ao plano x + y + z = Encontre o ponto na superfície 3x 2 + 2y 2 3x + 4y z = 5 onde o plano tangente é horizontal. 21. Ache a reta tangente à interseção das superfícies no ponto P o ( 1, 1, 2). S 1 : z = x 2 + y 2, e S 2 : 4x 2 + y 2 + z 2 = De um funil cônico escoa água à razão de 18πcm 3 /seg. Sea geratriz faz com o eixo do cone um ângulo α = π/3, determine a velocidade com que baixa o nível de água no funil, no momento em que o raio da base do volume líquido é igual a 6cm 23. Um lado de um retângulo mede x = 20mts e aumenta a uma velocidade de 5mts/seg, o outro lado mede y = 30mts e diminui a uma velocidade de 4mts/seg. Com que velocidade varia o perímetro e a área desse retângulo? 24. a altura de um cone circular reto é 15cm e esta aumentando a 1cm/seg. O raio da base é 10cm e esta diminuindo a 0.5cm/seg. Qual a taxa de variação do volume em relação ao tempo neste instante. 25. Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triângulo retângulo é de 10cme cresce à razão de 1cm/seg; O comprimento do outro lado é de 12cm e decresce à razão de 2cm/seg. Calcule a razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao lado de 12cm, medido em radianos, no instante dado. DERIVADA DIRECIONAL 26. O que é o vetor gradiente de uma função f(x,y)? Como ele está relacionado às derivadas direcionais de uma função? 27. Determine as direcões em que f cresce e decresce mais rapidamente no ponto P, bem como as correspondentes derivadas direcionais máxima e mínima respectivamente (a)f(x,y) = x 3 y 2, P(1, 1) (b)f(x,y) = x 2 + 2y 2, P(1, 1) (c)f(x,y,z) = x 2 + 3y 2 + 4z 2, P(1, 1, 1) 28. A temperatura no ponto (x,y) de uma placa metálica é dada por: T(x,y) = x x 2 +y 2. Encontre a direção de crescimento máximo da temperatura no ponto (3, 4). 4
5 29. A temperatura numa chapa é dada por T(x,y) = 40 2x 2 3y 2, medida em graus celsius e a distância sendo medida em metros. Se uma formiga se encontra no ponto (2, 3), pergunta-se: (a) Em que direção deve seguir a formiga para se aquecer mais rapidamente? Qual a taxa de variação da temperatura, neste caso? (b) Em que direção deve seguir a formiga para permanecer à mesma temperatura? qual a taxa? (c) E para esfriar mais rapidamente? qual a taxa? Se fosse você, em que direção seguiria? e se fosse um pinguim? 30. Suponha que você estaja sentado no ponto p( 3, 3, 3 ) de uma superficie que tem por equação z = x 2y. Qual é a direção em que vôce deve começar a escorregar para atingir o plano o mais depressa possível? x 2 y 31. Seja f(x,y) = x 4 + y2, se (x,y) (0, 0), (a) f(x,y) é contínua em (0, 0).? Por que? (b) f(x,y) é diferenciável em (0, 0.)? Por que? (c) Determine as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0). x y (d) f(x,y) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto (0, 0).? x 2 y 32. Seja f(x,y) = x 2 + y2, se (x,y) (0, 0), (a) Verifique que f(x,y) é contínua em (0, 0) (b) Verifique que em (0, 0) a função f possui todas as derivadas direcionais. (c) É f(x,y) diferenciável em (0, 0)? Por que? DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 33. Nos itens abaixo calcule as derivadas parciais indicadas; (a)f(x,y) = x+2y x 2 y, f x,f y,f xx (b)f(x,y) = ln(x 2 y 2 ), h 12,h 21,h 212 (c)f(x,y) = y 3 e 5x, f y (0, 1),f xxx (0, 1),f yyxx (0, 1) 34. Verifique que as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace: z xx + z yy = 0 (a) z = e x sen y, (b) z = arctan( y x ) 35. Dado w = x 3 y x 2 y 3, verifique que w satisfaz a equação diferencial parcial: x w x + y w y = 5w 5
6 36. Use diferenciação implicita para determinar: z x e z y (a) + yz = xz (b) x 2 + y 2 z 2 = 2x(y + z) (c) 2 z 3 + x 3 y 2 z = x + y + z (d) z = cos(x + y + z) LINEARIZAÇÃO E DIFERENCIAIS 37. Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados: (a) f(x,y) = sen (), P(0, 1) (b) f(x,y) = z, P(1, 1, 1) (c) f(x,y,z) = 3 + cos(πz), P(1, 3, 1) (d) f(x,y,z) = () z, P(12, 10, 1) 38. Calcule, aproximadamente: (a) M = (b) N = ( ) 1.08 (c) P = (2.0023) 3 + cos((1.002)π) 39. Se f(x,y) = 2x y 2, determine os valores de f e df, quando (x,y) varia de (2, 1) a (1.99, 0.98) 40. Nos itens abaixo, encontre a linearização L da função f em P 0. Então encontre um itante superior para a magnitude E do erro na aproximação f L na região R (a) f(x,y) = x , emp 0 (1, 2), R : x 2 0.1, y (b) f(x,y) = 1 + y + x cos y, emp 0 (0, 0), R : x 0.2, y 0.2 (c) f(x,y,z) = x yz + z2 4, emp 0(1, 1, 2), R : x , y , z Você planeja calcular a área de um retângulo comprido e fino a partir de medidas de seu comprimento e largura. Qual dimensão você deve medir com mais cuidado? Justifique sua resposta. 42. Ao redor do ponto P 0 (1, 0), a função f(x,y) = x 2 (y + 1) é mais sensível a variações em x ou em y?. Qual razão entre dx e dy fará df igual a zero no ponto P 0 (1, 0)? 43. Sua empresa produz latas de refrigerantes padrão que tem 20cm de altura com raio de 3cm. Qual é a sensibilidade do volume da lata em relação a pequenas variações do raio e da altura? 6
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