Funções de várias variáveis

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1 GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA CÁLCULO II Funções de várias variáveis 1. Ilustração A área de um retângulo depende de duas quantidades - comprimento e largura. Se um objeto está localizado no espaço, a temperatura em um ponto P do objeto depende de três coordenadas retangulares de P. Se a temperatura de um objeto no espaço varia com o tempo, então depende de quatro variáveis e. O número de indivíduos de uma certa colônia de fungos depende essencialmente da quantidade de nutrientes ( ), da quantidade de água ( ), da temperatura ( ) e da presença de uma certa proteína ( ). Experimentalmente foi obtida a seguinte tabela: possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função bem definida por Definições Suponha que seja um conjunto de -uplas de números reais. Uma função a valores reais em é uma regra que associa um único número real a cada elemento em. O conjunto é o domínio da função. O conjunto de valores de assumidos por é a imagem da função. O símbolo é a variável dependente de, e dizemos que é uma função de variáveis independentes a. Também chamamos os de variáveis de entrada da função, e denominamos a variável de saída da função. Se é uma função de duas variáveis independentes, normalmente denominamos essas variáveis independentes por e, e a variável dependente, e representamos o domínio de como a região no plano (Figura 1). Se é uma função de três variáveis independentes, denominamos as variáveis independentes e, e a variável dependente w, e representamos o domínio como uma região no espaço (figura 2).

2 2. Curvas de Nível Gráficos gerados por computador e curvas de nível de funções de duas variáveis típicas. Exemplo 1 Seja a) Esboce o domínio de. b) Represente os números, e em um eixo. Exemplo 2 Seja uma função com domínio dado por e Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos e. Exemplo 3 Esboce algumas curvas de nível da função do Exemplo 2. Exemplo 4 Se, esboce algumas curvas de nível de. Exemplo 5 Determine o domínio D e a imagem e a imagem w para cada função dada abaixo. a) ; b) c) ; d) e) ; f)

3 3. Limites e continuidade Se os valores de estão arbitrariamente próximo de um número real fixado para todos os pontos suficientemente próximo de um ponto. Para se estimar o limite de uma função de duas variáveis no ponto é necessário calcular esse valor por todas as trajetórias que passem por. Se em todos os casos o resultado for sempre o mesmo, ou seja,, diz-se que o limite existe e seu valor é. Caso o limite não exista em alguma trajetória ou dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite não existe. Definição Dizemos que uma função se aproxima do limite á medida que se aproxima de e escrevemos Se, para todo número existe um número correspondente tal que, para todo no domínio de (Figura 3) sempre que Propriedades dos Limites

4 Exemplo 1 Calcule os limites: a) ; b) ; c) d) ; e) ; f) Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite Se uma função tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes no domínio de quando se aproxima de, então não existe. 4. Continuidade Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Definição Uma função é contínua no ponto se: 1. F for definida em 2. existe; 3. Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio. Exemplo 01 Mostre que é contínua em todo ponto, exceto na origem. 5. Derivadas parciais Se for um ponto do domínio de uma função, o plano vertical cortará a superfície na curva (Figura 4). Essa curva é o gráfico da função no plano. A coordenada horizontal nesse plano é ; a coordenada vertical é. O valor de se mantém constante em, portanto não é uma variável. Definimos a derivada parcial de em relação à no ponto como a derivada ordinária de em relação à no ponto. Para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo no lugar da letra empregada anteriormente. Na definição, representa um número real, positivo ou negativo. Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é Dede que o limite exista. O coeficiente angular da curva no ponto no plano é o valor da derivada parcial de em relação a em. Na (Figura 4) temos o coeficiente angular negativo.

5 Definição A derivada parcial de em relação a no ponto é Dede que o limite exista. O coeficiente angular da curva no ponto no plano é o valor da derivada parcial de em relação a em. Na (Figura 5) temos o coeficiente angular negativo. Notações para derivadas parciais,,,,,,, Figura 4 Interseção do plano y = y 0 com a superfície z = ƒ(x, y) vista de um ponto acima do primeiro quadrante do plano xy. Figura 5 Interseção do plano x = x 0 com a superfície z = ƒ(x, y), vista de cima do primeiro quadrante no plano xy. As figuras 4 e 5 combinadas. As retas tangentes no ponto (x 0, y 0, ƒ(x 0, y 0 )) determinam um plano que, nesta figura, pelo menos, parece ser tangente à superfície.

6 Teorema Sejam o gráfico de e um ponto de onde e existem. Sejam e os traços de nos planos e, respectivamente, e sejam e as tangentes a e e (Ver Figura 6). (i) O coeficiente angular de no plano é (ii) O coeficiente angular de no plano é. Teorema Seja uma função de duas variáveis e. Se e são contínuas em uma região aberta, então em. Exemplo ache as derivadas parciais de se Incrementos e diferenciais Se é uma função de duas variáveis e, então os símbolos e denotam incremento de e. Em termos desta notação, podemos escrever Define-se como segue o incremento a variável dependente

7 Definição Seja, e sejam e incrementos de e, respectivamente. O incremento de é Vide Figura 7 Funções Exercícios Problema 01 De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue ( ) a uma distância (em cm) do eixo de um vaso sanguíneo de raio (em cm) e comprimento ( ) é dado por. Onde ( ) é a pressão no interior do vaso. Suponha que um certo vaso tem de raio e de comprimento. a) Com que velocidade o sangue está circulando a uma distância de do vaso se a pressão no vaso é? b) Com que velocidade o sangue está circulando no eixo do vaso sanguíneo se a pressão no vaso é? Problema 02 Dada a função e, ache a função e seu domínio. Problema 03 Descreva o domínio da função num gráfico a região espacial que contém todos os pontos do domínio de valores de indicados abaixo, se possível. a) b) c). Represente. Calcule os

8 Problema 04 Em cada parte descreva o gráfico da função num sistema de coordenadas. a) b) c) Problema 05 Encontre o domínio e a imagem da função. Limite Nos Problemas Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor. Coordenadas Esféricas e Nos Problemas Determine as derivadas parciais das funções a seguir Problema 28 Mostre que satisfaz a Equação do Calor Uma função dada por é dita harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace. Para duas dimensões é. Para três dimensões é dada por

9 Nos Problemas Verifique que as funções dadas são harmônicas

10 Se ficarmos em uma praia e tiramos uma fotografia das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instantes. Veremos o movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimentos periódicos no tempo. Na física, essa bela simetria é expressa pela Equação de Onda Unidimensional. Nos Problemas verifique que as funções são solução da equação da onda Regra da Cadeia de Duas Variáveis Teorema se e forem diferenciáveis em e se for diferençável no ponto, então é diferencial em e Onde as derivadas comuns são calculadas em. e as derivadas parciais são calculadas em Problema 41 Sendo, encontre. Problema 42 Sendo quando. Problema 43 Encontre para, use a regra da cadeia para encontrar Regra da Cadeia de Três Variáveis Teorema se e forem diferenciáveis em e se for diferençável no ponto, então é diferencial em e Onde as derivadas comuns são calculadas em. e as derivadas parciais são calculadas em Página 10

11 [Digite o título do documento] Prof. Pedro Macário de Moura Problema 44 Sendo. Encontre. Regra da Cadeia de Duas Variáveis Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira ordem no ponto e se for diferençável no ponto, então tem derivadas parciais de primeira ordem no ponto dadas por Problema 44 Encontre e se Regra da Cadeia de Duas Variáveis Teorema se e tiverem derivadas parciais de primeira ordem no ponto e se for diferençável no ponto, então tem derivadas parciais de primeira ordem em dadas por Nos Problemas encontre e e. Problema 47 Encontre e para Uma função é denominada homogênea de grau se para todo. Nos Problemas mostre que a função é homogênea e determine seu grau Página 11