Continuidade e Limite

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1 Continuidade e Limite Antônio Calixto de Souza Filho Escola de Artes, Ciências e Humanidades Universidade de São Paulo 20 de maio de 2013

2 1 Remoção da indeterminação Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas

3 subject Remoção da indeterminação Remoção da indeterminação Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas

4 Remoção da indeterminação 0 0 Para o que segue, é importante compreender que lim x x0 f (x), quando existe, é um número real que satisfaz a propriedade de representar a imagem de f para valores próximos de x 0, ou seja, é um conceito local. Se a função f é contínua, então este limite é f (x 0 ). Muitos cálculos de limites, portanto, podem ser obtidos a partir deste resultado. Este é o caso quando ocorre uma indeterminação do tipo 0 0 e os fatores envolvidos são polinômios.

5 Remoção da indeterminação 0 0 Na aula anterior, vimos, quando x 0 Dom f o limite f (x) f (x lim 0 ) x x0 x x 0 é a derivada da função f em x 0, que denotamos por f (x 0 ). Como consequência da definição, este limite apresenta uma indeterminação 0 0. Quando f é uma função polinomial, sempre é possível remover esta indeterminação. Uma técnica de remoção é a divisão de polinômios, outra é conhecida por Algorítimo de Briot-Ruffini, que apresentamos a seguir

6 Remoção da indeterminação 0 0 Seja p(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 uma função polinomial. Podemos calcular a imagem de p(x 0 ) do seguinte modo: construímos uma tabela com duas linhas e n + 2 colunas. Para a primeira linha, na primeira coluna está x 0 nas demais estão os coeficientes de p do maior grau para o menor grau. Para a segunda linha, repetimos na segunda coluna o coeficiente a n, as demais colunas são o produto de x 0 com a coluna anterior adicionado ao valor da mesma coluna da linha anterior. Observe que a última coluna da segunda linha resulta em p(x 0 ), como abaixo. x 0 a n a n 1 a 1 a 0 a n a n x 0 + a n 1 a n x n 1 0 n + + a 1 a n x n x 0a 1 + a 0

7 Remoção da indeterminação 0 0 Exemplo Se p(x) = 5x x 2 4x + 18 e x 0 = 3, teremos: ( 5) ( 25) Exemplo Se p(x) = 3x 5 5x 4 + 4x 2 32 e x 0 = 2, teremos:

8 Remoção da indeterminação 0 0 O algorítimo de Briot-Ruffini é a construção da tabela acima com as seguintes propriedades: 1 A última coluna da linha abaixo da linha de x 0 é a imagem do polinômio em x 0. 2 Se x 0 é uma raiz de p, p(x 0 ) = 0, cujo grau é n, então o polinômio q obtido com os coeficientes da linha abaixo da linha de x 0, em que na primeira coluna está o coeficiente do termo de grau n 1, é o quociente da divisão de p por x x 0, ou seja p(x) = (x x 0 ) q(x). Exemplo No exemplo anterior, p(x) = 3x 5 5x 4 + 4x 2 32 tem x 0 = 2 como raiz. O polinômio q(x) = 3x 4 + x 3 + 2x 2 + 8x + 16 e p(x) = (x 2)(3x 4 + x 3 + x 2 + 8x + 16).

9 Remoção da indeterminação 0 0 Podemos aplicar o algorítimo para calcular a derivada de polinômios. Por exemplo de f (x) = 3x 3 + 2x 2 + 7, f f (x) f (4) ( 4) = lim x 4 x 4. Calculamos f ( 4) = 3( 4) 3 + 2( 4) = 153 de modo que f 3x ( 4) = lim 3 +2x x 4 x 4. Como vimos o limite resulta na indeterminação 0 0 e aplicamos o algorítimo para remoção Assim 3x 3 + 2x = (3x 2 10x + 40)(x 4), podemos cancelar (x 4), então f ( 4) = lim x 4 3x 2 10x + 40 = q( 4) pois q é uma função contínua. A última linha fornece portanto q( 4) = 128 que é o valor de f ( 4).

13 subject 1 Remoção da indeterminação Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas

14 Seja f uma função real. Vimos que o número f (x 1) f (x 2 ) x 1 x 2, a taxa média de variação, representa o coeficiente angular da reta definida pelos pontos (x 1, f (x 1 )) e (x 2, f (x 2 )). Por exemplo se f (x) = x 2, os pontos do gráfico de f : ( 1, 1) e (5, 25), determinam uma reta r(x) = ax + b, em que a = ( 1) = 4. Logo r(x) = 4x + b, como os dois pontos são de r, podemos determinar b, por exemplo, r(5) = b = 25 e b = 5. Assim r(x) = 4x + 5 é a equação da reta definida pelos pontos ( 1, 1) e (5, 25) do gráfico de f. Tal reta é denominada reta secante.

15 Além disso, este conceito está relacionado a uma média. Por exemplo, se f (t) é a posição de uma partícula no instante t, a taxa média representa a velocidade média da particula entre os instantes t 1 e t 2. Quando f é uma função contínua, veremos mais à frente que no intervalo entre t 1 e t 2, existe um instante t o qual a velocidade da partícula é precisamente a velocidade média.

16 Geometricamente, dados os pontos (x 1, f (x 1 )) e (x 2, f (x 2 )), podemos calcular a equação da reta definida por estes dois pontos. Estamos interessados em calcular qual seria a equação da reta tangente ao gráfico de f, isto é, que LOCALMENTE, tem um único ponto em comum com este gráfico. Isso deverá ocorrer quando x 1 x 2 ; como vimos, x 1 x 2, assim se supormos x 1 < x 2, existem x, x 0 [x 1, x 2 ] e x 1 x 2 equivale a x x 0. Nessas condições o número f (x 1) f (x 2 ) x 1 x 2 é a taxa instantânea de variação e f (x) f (x pode ser calculado por lim 0 ) x x0 x x 0 = f (x 0 ), ou seja, a derivada f (x 0 ) é a taxa instantânea de variação que também representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em x 0.

17 Exemplo A equação da reta tangente à curva f (x) = x 2 em x 0 = 3 e r(x) = ax + b, sendo a = f (3). O cálculo de f f (x) f (3) x (3) = lim x 3 x 3 = lim x 3 x 3 = lim x 3 x + 3 = 6. Assim r(x) = 6x + b. Sendo r a reta tangente ao gráfico de f em 3, a reta passa no ponto (3, f (3)), logo r(3) = b = 9 e b = 9. Assim r(x) = 6x 9 é a equação da reta tangente.

18 Vamos calcular a taxa instantânea para f (x) = x 2 3x + 1 em x 0 = 2. Calculamos f (x 0 ) = 1 Precisamos calcular o limite lim x 2 f (x) f (x 0 ) x x 0 indeterminação tipo 0 0 anterior. x = lim 2 3x+2 x 2 x 2, como há uma, estamos nas condições do caso Assim, fatoramos (por algum dos métodos vistos) x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) e retomamos o cálculo: (x 1)(x 2) lim x 2 x 2. Uma vez que x 2 e 2 não está no domínio da função (x 1)(x 2) x 2 x lim 2 3x+2 x 2, então podemos simplificar o fator x 2 0, daí x 2 = lim x 2 (x 1). Como a função q(x) = x 1 é contínua, o limite L = q(2) = 1

22 Ainda no exemplo anterior, vimos que a taxa instantânea de f (x) = x 2 3x + 1 em x = 2 é 1. Isso significa que a reta tangente tem inclinação de 45 0 em relação a horizontal. Podemos determinar a equação da reta tangente, pois conhecemos o coeficiente angular, que é a taxa instantânea, ou seja 1. Assim r(x) = 1 x + b, e r(2) = 2 + b = 1 e b = 3. Logo r(x) = x 3 é a equação da reta tangente à f no ponto x 0 = 2.

26 Exemplo Vamos calcular a taxa instantânea da função f (x) = 3x 3 4x 2 + 5, no ponto x 0 = 1.

27 Devemos calcular o limite:lim x 1 f (x) f (1) x 1. Assim calculamos f (1) = 4 e portanto f (x) f (1) = 3x 3 4x e sabemos que o limite resulta em uma indeterminação Assim, devemos fatorar 3x 3 4x = (x 1)(3x 2 x 1) f (x) f (1) O limite lim x 1 x 1 = lim x 1 (3x 2 x 1). Sendo q(x) = 3x 2 x 1 contínua, o limite L = q(1) = 1.

31 subject Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas 1 Remoção da indeterminação Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas

32 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Definição Seja f uma função real que a todo x 0 Dom f existe f (x 0 ). A função que a todo x 0 dom f associa a f (x 0 ) é denominada função derivada de f e denotado por f, também chamada de derivada de f. Exemplo Se f (x) = x, a função derivada de f é a função constante 1, pois f é uma reta e sendo f (x 0 ) o coeficiente angular da reta tangente, f (x 0 ) = 1 para todo x R, logo f é a função constante 1, ou f (x) = 1. Exemplo Se f (x) = x 2, f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = lim x x0 x 2 x 2 0 x x 0 = lim x x0 x + x 0 = 2x 0. Assim f (x) = 2x é a função derivada de x 2, ou a derivada de x 2.

33 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Vamos determinar a função derivada de f (x) = x 3 ; f f (x) f (x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 x = lim 3 x0 3 x x0 x x 0. Pelo algorítimo: x x0 3 1 x 0 x0 2 0 Então f (x 0 ) = lim x x0 x 2 + x 0 x + x0 2 = 3x 0 2. Assim a derivada de x 3 é 3x 2, que podemos escrever na forma (x 3 ) = 3x 2.

34 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas De modo análogo, podemos aplicar o algorítimo para (x n ), ou seja f (x 0 ) = lim x x0 x n x n 0 x x 0. x x n 0 1 x 0 x n Assim f (x 0 ) = lim x x0 x n 1 + x 0 x n x0 kx n k x n 1 0 = nx n 1 0 e portanto (x n ) = nx n 1.

35 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Sejam f e g funções cujas funções derivadas são, respectivamente, f e g e k R um número real. Sendo a derivada uma caso particular de limites, valem as propriedades: (kf ) = kf (f + g) = f + g

36 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Sejam f e g funções cujas funções derivadas são, respectivamente, f e g e k R um número real. Sendo a derivada uma caso particular de limites, valem as propriedades: (kf ) = kf (f + g) = f + g

37 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Pelas propriedades anteriores, se f é um polinômio de grau grau n, seja f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, então f (x) = na n x n 1 + (n 1)a n 1 x n a 2 x + a 1, pois a derivada de cada somando de f, (a k x k ) = a k (x k ) = ka k x k 1 e basta aplicar a proprieadade 2 acima de modo conveniente. Exemplo (3x 6 2x x 3 3x + 2) = 18x 5 10x x 2 3

38 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas A derivada de x n é nx n 1, para n Z. Ora quando n 0, então n é um número natural. Quando n < 0, podemos ver isso do seguinte modo: se n < 0, então n = m > 0. Se f (x) = x n = x m = 1 f (x 0 ) = lim x x0 f (x 0 ) = lim x x0 que x m x m 0 x x 0 1 x m 1 x 0 m x x 0 reduzimos ao mesmo denominador e x0 m x m x m x0 m(x x 0) = 1 x0 m = x m 1 + x 0 x m x0 kx m k x m 1 f (x 0 ) = 1 x0 m que é uma função contínua, daí x m, x lim m x0 m x x0 x m (x x 0 ), mas vimos 0, portanto lim x x0 (x m 1 +x 0 x m 2 + +x0 kx m k 1 + +x m 1 0 ) 1 x m f (x 0 ) = x m 0 m x m 1 0 x m 0 = mx m 1 0 = nx n 1 0. Exemplo (x 3 ) = 3x 4, ou escrito de outro modo ( 1 x 3 ) = 3 x 4.

39 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Exemplo Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 2 x no ponto de coordenadas (x, f (x)), para x = 1 3. Solução: f (x) = 2 e f ( 1 x 2 3 ) = 2 o coeficiente angular a da reta ( 1 )2 3 tangente, logo a = 18. Sendo r(x) = ax + b e r( 1 3 ) = f ( 1 3 ) = 6, pois o ponto é comum à reta e à função, temos 6 = b e b = 12. Assim r(x) = 18x + 12 é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1 3, 6).

40 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Seja a função f (x) = 12x 5 25x x 5. Explique se próximo ao ponto 1 a função f é crescente ou decrescente. solução: A derivada f ( 1) é o coeficiente angular da reta tangente no ponto ( 1, f ( 1)); f (x) = 60x 4 25x , logo f ( 1) = = 70 > 0. Então a reta tangente r(x) = 70x + b é crescente, portanto, próximo a x = 1 a função f é crescente. Por exemplo, se f representa a posição de uma partícula em função do tempo, no instante t = 1 a velocidade da partícula esta aumentando.

41 Propriedades da derivada Derivada de x n, quando n é um número inteiro negativo Aplicação de derivadas Na próxima aula, veremos que (x p q ) = p q x p q 1 com p, q Z, ou seja (x α ) = αx α 1 se α Q