Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral

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1 Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo LCE0130 Cálculo Diferencial e Integral Profa. Dra. Andreia Adami deiaadami@terra.com.br

2 Continuidade de uma função Intuitivamente a ideia de continuidade de uma função decorre da análise de seu gráfico. Quando o gráfico de uma função não apresenta interrupções, dizemos que ela é contínua. Se houver algum ponto onde ocorre a interrupção, dizemos que é um ponto de descontinuidade.

3 Continuidade de uma função Definição: Uma função é contínua em um ponto b, se: lim x b+ f x = lim x b f x =f(b)

4 A reta tangente: Vamos supor que P(x 1,f(x 1 )) seja o ponto do gráfico de uma função f(x) e que queremos obter a reta tangente ao gráfico em P. Fazer o gráfico

5 A reta tangente: Para obter a equação da reta tangente, precisamos obter o coeficiente angular da reta m: Reta tangente: y=mx+b, onde m é o coeficiente angular da reta

6 A reta tangente: Para isso, vamos considerar um outro ponto Q, também pertencente ao gráfico f(x), e que seja próximo ao ponto P. A reta que passa pelos dois pontos (P e Q), é denominada reta secante. Fazer o gráfico

7 A reta tangente: Logo, o coeficiente angular da reta secante, ms, que passa pelos pontos (P e Q), é dado por: ms = y x = f x 1 + x f(x 1 ) x

8 A reta tangente: Se fizermos o ponto Q mover-se ao longo da curva f(x) em direção ao ponto P, isso significa que x está ficando cada vez menor x 0.

9 A reta tangente: Com isso, a reta secante tenderá a reta tangente no ponto P e o coeficiente angular (ms) tende para o coeficiente angular da reta tangente m, ou seja: m = lim x 0 ms = lim x 0 = f x 1 + x f(x 1 ) x

10 Exemplo: Considere a seguinte função: f x = x 2 4x ) Faça um esboço do gráfico da função; 2) Marque o ponto P com coordenadas (0,3); 3) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) ao ponto P indicado

11 Exemplo - resolução: f x = x 2 4x + 3. = ( 4) = 4 x = 4±2 2 = x1=3 e x2 = 1

12 Exemplo - resolução : Coeficiente angular da reta tangente m: m = lim x 0 = f x 1 + x f(x 1 ) x

13 Exemplo - resolução : Se o ponto P tem coordenadas P(0,3), isso implica que: x 1 =0 e f(x 1 )=3 x 1 + x f x 1 + x = f x = ( x) 2 4 x + 3

14 Exemplo - resolução : Se o ponto P tem coordenadas P(0,3), isso implica que: x 1 =0 e f(x 1 )=3 m = lim = ( x)2 4 x +3 3 x 0 x = x ( x 4) lim = x 0 x = 0 4 = 4

15 Exemplo - resolução : Logo, a equação da reta tangente ao gráfico da f(x) no ponto P é dada por: y y 1 = m(x x 1 ) y 3 = 4(x 0) y = 4x + 3

16 Taxa de variação: média e instantânea Todos os dias pensamos na variação de grandezas como, por exemplo, o tempo gasto para chegar a Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.

17 Taxa de variação: média e instantânea Em geral, quando uma grandeza (variável) y está expressa em termos de outra (variável x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre uma correspondente variação em y. Desta forma, a taxa de variação média pode ser dada por: TVM = y = f x 1+ x f(x 1 ) x x

18 Taxa de variação: média e instantânea O conhecimento da TVM não nos fornece uma quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente y se comporta em relação a variável independente x em um ponto específico. Para tanto, o conhecimento da taxa de variação em cada ponto do domínio da função será mais eficaz, e a essa taxa damos o nome de taxa de variação instantânea.

19 Taxa de variação instantânea: Exemplo Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água neste reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por: V = t 2

20 Taxa de variação instantânea: Exemplo a) Qual a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as dez primeiras horas do escoamento? TVM = V t =

21 Taxa de variação instantânea: Exemplo a) Qual a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as dez primeiras horas do escoamento? TVM = V = t 10 = Esse resultado indica que o volume de água está diminuindo a uma taxa média de litros por hora, durante as 10 primeiras horas do escoamento.

22 Exercício: Derivada b)qual é a taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento? c) b)qual é a taxa de variação do volume de água no reservatório após 2 horas de escoamento?

23 Exercício : Considere a função y = 2x x 2 1) Faça um esboço do gráfico da função; 2) Marque o ponto P com coordenadas (1,1); 3) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) ao ponto P indicado

24 Exercício : Para a função f(x) =x 2, ponto inicial da abcissa x 1 = 1 e variação x = 2, calcule a taxa média de variação para f(x) e os valores dados.

25 Exercício : Para a mesma função f(x) =x 2, calcular a taxa média de variação a partir de um ponto genérico, x 1 =x e uma acréscimo genérico x = x.

26 Exercício : Para a mesma função f(x) =x 2, calcular a taxa média de variação a partir de um ponto genérico, x 1 =x e uma acréscimo genérico x = x.

27 Exercício : Para a mesma função f(x) =x 2, calcular a taxa de variação instantânea no ponto a partir de um ponto genérico, x 1 =3. Obs. Interpretar o resultado