Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais 1.Taxa média de variação 2.Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea 3.Taxas de variação na Economia: funções marginais

3 1. Taxa média de variação Em aulas anteriores estudamos duas aplicações fundamentais das derivadas. 1.Inclinação. A derivada de f é uma função que dá a inclinação do gráfico de f em um ponto (x, f(x)). 2.Taxa de Variação. A derivada de f é uma função que dá a taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto (x, f(x)). 3

4 1. Taxa média de variação Existem várias aplicações na vida real relativas às taxas de variação. Eis algumas: velocidade, aceleração, taxas de crescimento populacional, taxas de desemprego, taxas de produção, taxas de fluxo de água, etc Embora as taxas de variação se refiram frequentemente ao tempo, podemos estudar a taxa de variação de uma variável em relação a qualquer outra variável. 4

5 1. Taxa média de variação Ao determinarmos a taxa de variação de uma variável em relação a outra, devemos ter cuidado em distinguir entre taxa de variação média e taxa de variação instantânea. A distinção entre essas duas taxas de variação é análoga à distinção entre o coeficiente angular da secante por dois pontos de um gráfico e o coeficiente angular da tangente em um ponto. 5

6 1. Taxa média de variação Definição de Taxa Média de Variação Se y = f(x), então a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a, b] é Taxa média de variação f ( b) f ( a) y = = b a x Note que f(a) é o valor da função no ponto extremo esquerdo do intervalo, f(b) é o valor da função no ponto extremo direito do intervalo, e b a é a amplitude do intervalo. 6

7 1. Taxa média de variação 7

8 1. Taxa média de variação Nos problemas aplicados, é importante relacionar as unidades de medida para uma taxa de variação. As unidades de y/ x são y unidades por x unidades. Por exemplo, se y é dado em milhas e x em horas, então y/ x é dada em milhas por hora. 8

9 1. Taxa média de variação Exemplo 1: A concentração C (em miligramas por mililitro) de um remédio na corrente sanguínea de um paciente é monitorada a intervalos de 10 minutos durante 2 horas, com t dado em minutos, conforme a tabela abaixo. Ache as taxas médias de variação nos seguintes intervalos: a) [0, 10], b) [0, 20] e c) [100, 110] t C

10 1. Taxa média de variação a) No intervalo [0, 10], a taxa média de variação é: Valor de C no Extremo Direito Valor de C no Extremo Esquerdo C t = = = ,2 mg por ml/min Amplitude do Intervalo b) No intervalo [0, 20], a taxa média de variação é: C t = = = ,85 mg por ml/min 10

11 1. Taxa média de variação c)no intervalo [100, 110], a taxa média de variação é: C = = = 1 mg por ml/min t As taxas de variação do Exemplo 1 são em miligramas por mililitro por minuto porque a concentração é medida em miligramas por mililitro e o tempo é dado em minutos. Concentração em miligramas por mililitro C t = = = Tempo em minutos 0,2 mg por ml/min Taxa de variação em miligramas por mililitro por minuto 11

12 1. Taxa média de variação No Exemplo 1, a taxa média de variação é positiva quando a concentração aumenta, e negativa quando a concentração diminui. 12

13 1. Taxa média de variação Uma aplicação usual da taxa média de variação, consiste em achar a velocidade média de um objeto em movimento retilíneo. Velocidade média = variação na distância variação no tempo 13

14 1. Taxa média de variação Exemplo 2: Se um objeto é solto em queda livre de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (em segundos) é dada por h = t 100, conforme indicado na figura seguinte. Ache a velocidade média do objeto nos intervalos: a) [1; 2], b) [1; 1,5] e c) [1; 1,1]. 14

15 1. Taxa média de variação 15

16 1. Taxa média de variação Podemos utilizar a equação de posição para determinar as alturas em t = 1, t = 1,1, t = 1,5 e t = 2, conforme a tabela abaixo. h = t 100 t (em segundos) 0 1 1,1 1,5 2 h (em pés) ,

17 1. Taxa média de variação a) Para o intervalo [1; 2], o objeto cai de uma altura de 84 pés para uma altura de 36 pés. Assim, a velocidade média é h = = = 48 pés/s t b) Para o intervalo [1; 1,5], a velocidade média é h = = = 40 pés/s t 1,5 1 0,5 17

18 1. Taxa média de variação c) Para o intervalo [1; 1,1], a velocidade média é h 80, ,36 = = = 33,6 pés/s t 1,1 1 0,1 No Exemplo 2, as velocidades são negativas porque o objeto está se deslocando para baixo. 18

19 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea Suponha, no Exemplo 2, que queiramos achar a taxa de variação de h no instante t = 1 s, Essa taxa é chamada taxa de variação instantânea. Podemos aproximá-la em t = 1 calculando a taxa média de variação em intervalos cada vez menores da forma [1, 1 + t ], conforme a tabela seguinte. Pela tabela, parece razoável concluirmos que a taxa instantânea de variação da altura, quando t = 1, é de -32 pés por segundo. 19

20 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea t 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0, h/ t ,6-32,16-32,016-32, O limite nesta definição é o mesmo que o limite na definição da derivada de f em x. Esta é a segunda interpretação da derivada como taxa de variação instantânea de uma variável em relação a outra. Recorde que a primeira interpretação da derivada é como inclinação do gráfico de f em x. 20

21 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea Definição de Taxa Instantânea de Variação A taxa instantânea de variação (ou simplesmente taxa de variação) de y = f(x) em x é o limite da taxa média de variação no intervalo [x, x + x], quando x tende para zero. lim y f ( x + x) f ( x) = lim x x x 0 x 0 Se y é uma distância e x é o tempo, então a taxa de variação é uma velocidade. 21

22 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea Exemplo 3: Ache a velocidade do objeto do Exemplo 2 quando t = 1. Pelo Exemplo 2, sabemos que a altura de um objeto em queda livre é dada por h t 2 ( ) = 16t Tomando a derivada desta função posição, obtemos a função velocidade h ' ( t) = 32t 22

23 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea A função velocidade dá a velocidade em um instante arbitrário. Assim, quando t = 1, a velocidade é h (1) = -32(1) = -32 pés/s. 23

24 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea Exemplo 4: No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura, conforme a figura seguinte. Como a velocidade inicial do mergulhador é de 16 pés por segundo, sua função posição é h = t + t a) Em que instante o mergulhador atinge a água? b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 24

25 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea 25

26 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea a) Para achar o instante em que o mergulhador atinge a água, façamos h = 0 e resolvamos em relação a t. + + = 2 16t 16t 32 0 Fazendo h =0 = 2 16( t t 2) 0 Colocando -16 em evidência 16( t + 1)( t 2) = 0 Fatorando t = 1 ou t = 2 Resolvendo em relação a t A solução t = -1 não tem sentido no problema; concluímos, pois, que o mergulhador atinge a água quando t = 2 segundos. 26

27 2. Taxa instantânea de variação e velocidade instantânea b) A velocidade no instante t é dada pela derivada h ' = 32t + 16 Função velocidade No instante t = 2, a velocidade é ' h = + = 32(2) ft/s. 27

28 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Outra aplicação importante das taxas de variação ocorre no campo da Economia. Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como as taxas de variação do lucro, da receita e do custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas. A equação que relaciona essas três grandezas é P = R C onde P, R e C representam: P = lucro total, R = receita total C = custo total. 28

29 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais As derivadas dessas grandezas chamam-se lucro marginal, receita marginal e custo marginal, respectivamente. dp = lucro marginal dr = receita marginal dc = custo marginal dx dx dx 29

30 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Em muitos problemas de administração e economia, o número de unidades produzidas ou vendidas está restrito a valores inteiros positivos, conforme indicado na figura seguinte. Naturalmente, uma venda pode envolver metade ou outra fração de unidades, mas é difícil conceber uma venda que envolva 1,41 unidades. A variável que denota tais unidades é chamada variável discreta. 30

31 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Para analisar uma função de uma variável discreta x, podemos admitir provisoriamente que x seja uma variável contínua, capaz de tomar qualquer valor real em um dado intervalo. Utilizamos então os métodos do cálculo para achar o valor de x que corresponde à receita marginal, ao lucro máximo, ao custo mínimo ou o que quer que seja. Finalmente, devemos arredondar a solução para o valor mais próximo cabível de x centavos, dólares, unidades, ou dias, dependendo do contexto do problema. 31

32 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais 32

33 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Exemplo 5: O lucro resultante da venda de x unidades de um artigo é dado por P = 0,0002x x. a) Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades. b) Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades. 33

34 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais a) Como o lucro é P = 0,0002x x, o lucro marginal é dado pela derivada dp dx = + 2 0,0006x 10. Quando x = 50, o lucro marginal é dp dx = + = + = 2 0,0006 (50) 10 1,5 10 $11,50 por unidade 34

35 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais b) Para x = 50, o lucro efetivo é 2 P = 0,0002 (50) + 10 (50) = = $525,00 e para x = 51, o lucro efetivo é 2 P = 0,0002 (51) + 10 (51) = 26, = $536,53 35

36 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Assim, o lucro adicional obtido pelo aumento do nível de produção de 50 para 51 unidades é $536,53 $525,00 = $11,53 Lucro extra para uma unidade Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando x aumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50), conforme a figura a seguir. 36

37 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais A razão por que o lucro marginal dá uma boa aproximação da variação efetiva do lucro é que o gráfico de P é quase uma linha reta no intervalo 50 x

38 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais A função lucro do Exemplo 5 não é comum pelo fato de o lucro continuar a crescer na medida em que aumenta o número de unidades vendidas. Na prática, são mais comuns situações em que só se consegue aumentar a venda reduzindo-se o preço unitário. Tais reduções acabam por causar uma queda no lucro. 38

39 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais O número de unidades x que os consumidores se interessam em comprar a um certo preço unitário p é dado pela função demanda p = f(x) Função demanda A receita total R está então relacionada com o preço unitário e a quantidade procurada (ou vendida) pela equação R = xp Função receita 39

40 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Exemplo 6: Um estabelecimento comercial vende itens por mês ao preço de $10 cada. Estimase que as vendas mensais aumentem de 250 unidades para cada $0,25 de redução no preço. Com esta informação, determine a função demanda e a função receita total. 40

41 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Pela estimativa, x aumenta de 250 unidades cada vez que p sofre uma redução de $0,25 a partir do custo original de $10. Temos, assim, a equação x 10 p = ,25 = p = p Resolvendo em relação a p em termos de x, obtemos 41

42 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais x = p 1.000p = x x p = Isto, por seu turno, implica que a função receita é 2 x x R = xp = x 12 = 12x

43 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais A Figura acima exibe o gráfico da função demanda. Note que o preço diminui na medida em que aumenta a demanda. 43

44 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Exemplo 7: Um restaurante de refeições ligeiras constatou que a demanda mensal por seus hambúrgueres é dada por p = x A figura seguinte mostra que, na medida em que o preço cai, a quantidade vendida aumenta. A tabela abaixo mostra a procura por hambúrgueres a diversos preços. x p $0,00 $0,50 $1,00 $1,50 $2,00 $2,50 $3,00 44

45 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Ache o aumento na receita por hambúrguer para uma venda mensal de unidades. Em outras palavras, ache a receita marginal quando x =

46 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Como a demanda é dada por p = x, a receita é dada por R = xp, e temos x 1 R = xp = x = x x ( ). Diferenciando, obtemos a receita marginal: dr dx = 1 ( x)

47 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Assim, quando x = , a receita marginal é dr [ (20.000) ] $1 por unidade. dx = = = 47

48 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais É convenção na Economia escrever uma função demanda na forma p = f(x). Do ponto de vista do consumidor, poderia parecer mais razoável supor a quantidade procurada como função do preço. Matematicamente, entretanto, os dois pontos de vista se equivalem, porque uma função demanda típica é um a um e, assim, possui uma inversa. Por exemplo, no Exemplo 7 poderíamos escrever a função demanda como x = p 48

49 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Exemplo 8: Suponhamos que, no Exemplo 7, o custo da produção de x hambúrgueres seja C = ,56 x, 0 x Determine o lucro e o lucro marginal para os seguintes níveis de produção: a) x = , b) x = e c) x =

50 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Pelo Exemplo 7, sabemos que a receita total da venda de x unidades é 1 ( 2 R = x x ) Como o lucro total é dado por P = R C, temos: 1 ( 2 P = x x ) ( ,56 x) x = 3x ,56x x = 2,44x

51 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Assim, o lucro marginal é dp dx = 2,44 x Com o auxílio destas fórmulas, podemos calcular o lucro e o lucro marginal. 51

52 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais Produção Lucro Lucro Marginal dp a. x = P = $23.800,00 = $0,44 por unidade dx dp b. x = P = $24.768,00 = $0,00 por unidade dx c. x = P = $23.200,00 dp = $0,56 por unidade dx 52

53 3. Taxas de variação em Economia: funções marginais 53