Funções Hiperbólicas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Hiperbólicas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Funções hiperbólicas 1.Introdução.Função seno hiperbólico 3.Função cosseno hiperbólico 4.Função tangente hiperbólica 5.Função cotangente hiperbólica 6.Função secante hiperbólica 7.Função cossecante hiperbólica 8.Outras funções hiperbólicas 9.Identidades

3 1. Introdução Certas combinações das funções eponenciais e e e - surgem frequentemente em matemática e suas aplicações e, por isso, merecem nomes especiais. Elas são análogas de muitas formas às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as funções trigonométricas têm com o círculo. Por essa razão são chamadas funções hiperbólicas, particularmente seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e assim por diante. 3

4 . Função seno hiperbólico A função seno hiperbólico é definida por senh = e e O domínio e a imagem são o conjunto de todos os números reais, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 4

5 . Função seno hiperbólico senh

6 3. Função cosseno hiperbólico A função cosseno hiperbólico é definida por cosh = e + e O domínio é o conjunto de todos os números reais e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo [1, + ), cujo gráfico apresenta-se a seguir. 6

7 3. Função cosseno hiperbólico cosh

8 4. Função tangente hiperbólica A função tangente hiperbólica é definida por tgh senh e e = = cosh e + e O domínio é o conjunto de todos os números reais e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo ]-1, 1[, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 8

9 4. Função tangente hiperbólica tgh

10 5. Função cotangente hiperbólica por A função cotangente hiperbólica é definida cotgh cosh e + e = == senh e e O domínio é o conjunto R - {0} e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo ]-, -1[ U ]1, [, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 10

11 5. Função cotangente hiperbólica cotgh

12 6. Função secante hiperbólica A função secante hiperbólica é definida por sech 1 = = cosh e + e O domínio é o conjunto dos números reais e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo ]0, 1], cujo gráfico apresenta-se a seguir. 1

13 6. Função secante hiperbólica sech,0 1,5 1,0 0,5 0, ,5-1,0-1,5 -,0 13

14 7. Função cossecante hiperbólica por A função cossecante hiperbólica é definida cossech 1 = = senh e e O domínio é o conjunto R - {0} e a imagem é o conjunto R - {0}, cujo gráfico apresenta-se a seguir. 14

15 7. Função cossecante hiperbólica cossech

16 8. Outras funções hiperbólicas As funções hiperbólicas também podem ser reescritas em função de e e e -, como segue: e e e + e tgh = cotgh = e + e e e sech = cossech = e + e e e 16

17 9. Identidades Eistem identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas que são similares àquelas satisfeitas pelas funções trigonométricas, cujas demonstrações encontram-se a seguir. 1 tgh = cosh senh = 1 cotgh 1 tgh = sech 1 cotgh = cossech 17

18 9. Identidades Como senh tgh = e cotgh = cosh cosh senh decorre que tgh = 1 cotg 18

19 9. Identidades Em cosh senh = 1 provamos a identidade substituindo pelas definições de cosh e senh. e + e e e e + e e + e e e e + e = = 4 4 e e e e + + e + e e e e e + e e + = = =

20 9. Identidades Em 1 tgh = sech provamos a identidade substituindo tgh pela sua definição em função de cosh e senh. senh cosh senh 1 1 = = = sech cosh cosh cosh 0

21 9. Identidades Em 1 cotgh = cossech provamos a identidade substituindo cotgh pela sua definição em função de cosh e senh. 1 cosh senh cosh cosh senh = = = senh senh senh 1 = = cossech senh 1

22 9. Identidades Empregando as seguintes relações, obtidas das definições de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico cosh + senh = e cosh senh = e pode-se provar as seguintes identidades: senh( + y ) = senh cosh y + cosh senh y cosh( + y ) = cosh cosh y + senh senh y

23 9. Identidades Partindo da definição da função seno hiperbólico obtemos senh e senh = e + y ( + y ) e e 1 ( ) ( y y + y = = e e e e ) 3

24 9. Identidades senh ( y ) + = Entretanto Assim sendo: senh ( y ) ( cosh senh ) ( cosh y senh y ) ( ) ( y y ) = cosh senh cosh senh 1 cosh cosh y + cosh senh y + senh cosh y + senh senh y cosh cosh y + cosh senh y + senh cosh y senh senh y 1 senh( + y ) = [ cosh senh y + senh cosh y ] senh + y = senh cosh y + cosh senh y 4 ( ) cosh + senh = e cosh senh = e

25 9. Identidades Partindo da definição da função cosseno hiperbólico obtemos cosh e cosh = e + y ( + y ) + e + e 1 ( ) ( y y + y = = e e + e e ) 5

26 9. Identidades Entretanto cosh + senh = e cosh senh = e cosh ( y ) + = Assim sendo: cosh ( y ) ( cosh senh ) ( cosh y senh y ) ( ) ( y y ) = cosh senh cosh senh 1 cosh cosh y + cosh senh y + senh cosh y + senh senh y + cosh cosh y cosh senh y senh cosh y + senh senh y 1 cosh( + y ) = [ cosh cosh y + senh senh y ] cosh + y = cosh cosh y + senh senh y 6 ( )