Integração por Substituição

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Substituição Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Integração por Substituição.Revisão das fórmulas básicas de integração.integração por substituição 3.Substituição e integrais definidas 4.Aplicações

3 . Revisão das fórmulas básicas de integração Cada uma das regras de integração estudadas nas aulas anteriores foi deduzida de uma regra de diferenciação correspondente. Contudo, embora disponhamos de todos os instrumentos necessários para diferenciar funções algébricas, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, nosso conjunto de recursos para integrar essas funções está longe de ser completo. O objetivo principal das próximas aulas é desenvolver várias técnicas que ampliam grandemente o conjunto de integrais às quais podmos aplicar as fórmulas básicas de integração.

4 . Revisão das fórmulas básicas de integração Fórmulas Básicas de Integração. Regra da Constante: k dx = kx + C. Regra Simples da Potência (n -): n x dx n+ x = + C n +

5 . Revisão das fórmulas básicas de integração Fórmulas Básicas de Integração 3. Regra Geral da Potência (n -): n+ n n u u u dx = u du = + C n + 4. Regra da Exponencial Simples: x x e dx = e + C

6 . Revisão das fórmulas básicas de integração Fórmulas Básicas de Integração 5. Regra da Exponencial Geral: u u u e u dx = e du = e + C 6. Regra Log Simples: x dx = ln x + C

7 . Revisão das fórmulas básicas de integração Fórmulas Básicas de Integração 7. Regra Log Geral: u dx = du = ln u + C u u

8 . Revisão das fórmulas básicas de integração Não é preciso resolver muitos problemas de integração para que o aluno verifique que a integração não é tão direta quanto a diferenciação. Parte importante da resolução de qualquer problema de integração é determinar que fórmula(s) básica(s) devemos aplicar. Isto exige a memorização das fórmulas básicas, familiaridade com os diversos processos para escrever o integrando sob novas formas e uma grande prática.

9 . Integração por substituição Há várias técnicas para escrever uma integral de modo que ela se ajuste a uma ou mais fórmulas básicas. Uma das técnicas mais poderosas é a integração por substituição. Com esta técnica, escolhemos parte do integrando como u e escrevemos todo o integrando em termos de u.

10 . Integração por substituição Exemplo : Com a substituição u = x +, calcule a integral indefinida x ( x + ) dx

11 . Integração por substituição Com a substituição u = x +, x = u u = dx = du

12 . Integração por substituição Substituindo em todas as instâncias x e dx pelas formas adequadas na variável u, obtemos x u dx = ( x + ) u du Substituindo x e dx u = u u u u du = du Escrevendo como frações separadas Simplificando

13 . Integração por substituição ln u + + C Determinando a antiderivada u ln x C x + Substituindo u

14 . Integração por substituição As diretrizes a seguir indicam as etapas básicas da integração por substituição.

15 . Integração por substituição Diretrizes para a Integração por Substituição. Fazer u em função de x (em geral parte do integrando).. Resolver em relação a x e dx em termos de u e du. 3. Escrever todo o integrando em função da variável u e procurar adaptá-la a uma ou mais fórmulas básicas de integração. Se nenhuma se ajustar, tentar outra substituição. 4. Após efetuar a integração, escrever a antiderivada como função de x.

16 . Integração por substituição Exemplo : Calcule a integral indefinida x x dx

17 . Integração por substituição Com a substituição u = x +, du = x dx Para fazer xdx parte da integral, multipliquemos e dividamos por.

18 . Integração por substituição u du ( ) x x dx = x x dx = u du 3 Multiplicando e dividindo por Substituindo x e dx u = + C Aplicando a Regra da Potência 3

19 . Integração por substituição = 3 3 u + C = + ( ) 3 3 x C Simplificando Substituindo u

20 . Integração por substituição Exemplo 3: Calcule a integral indefinida e + e 3x 3x dx

21 . Integração por substituição Com a substituição u = + e 3x, 3 du = 3e x dx Para fazer 3e 3x dx parte da integral, multipliquemos e dividamos por 3.

22 . Integração por substituição u du 3x 3x dx = 3e dx 3x 3x e + e 3 + e = du 3 u Multiplicando e dividindo por 3 Substituindo x e dx = ln u + 3 C Regra do Log ln ( 3x = + e ) + 3 C Substituindo u

23 . Integração por substituição OBS: Note que o sinal de valor absoluto é desnecessário na resposta final, porque ( + e 3x ) é positiva para todo x.

24 . Integração por substituição Exemplo 4: Calcule a integral indefinida x x dx

25 . Integração por substituição Com a substituição u = x -, du = dx e x = u +

26 . Integração por substituição )( ( ) x x dx = u + u du ( 3 ) = + u u du 5 3 u u = + + C ( ) ( ) = x + x + C 5 3 Substituindo x e dx Regra da Potência Substituindo u

27 . Integração por substituição Esta forma da antiderivada pode ser ainda mais simplificada. 5 3 ( ) ( ) = x + x + C ( ) ( ) = x + x + C 5 5 = 3 ( ) 3( ) 5 5 x x + + C = 3 ( ) [ 3 ] 5 x x + + C

28 . Integração por substituição O Exemplo 4 mostra uma das características da integração por substituição: a forma da antiderivada, tal como aparece imediatamente após a volta à variável x, em geral pode ser simplificada. Assim, ao resolver exercícios, não devemos considerar incorreta a nossa solução apenas porque não se apresenta com a mesma forma da resposta encontrada nos livros. Uma simplificação algébrica pode permitir conciliar as duas formas da resposta.

29 3. Substituição e integrais definidas A quarta etapa das diretrizes para integração por substituição sugere a volta à variável original x. Para calcular integrais definidas, entretanto, em geral é mais conveniente determinar os limites de integração para a variável u, em vez de voltar à variável x e calcular a antiderivada nos limites originais.

30 3. Substituição e integrais definidas Exemplo 5: Calcule a integral definida 5 x x dx

31 4. Aplicações Aplique a substituição u = x o que implica x u = x = + ( u ) dx = u du

32 4. Aplicações Antes de substituir, determine os novos limites superior e inferior de integração. Limite inferior: Quando x =, u = ( ) = Limite superior: Quando x = 5, u = ( 5) = 3

33 4. Aplicações Limites de integração de x Em seguida, substitua e integre como segue: x u + dx = u du x u = + ( u ) 3 u = + u 3 3 du Limites de integração de u Substituindo x, dx e limites de integração Simplificando Determinando a antiderivada

34 4. Aplicações = ( 9 3) Aplicando o Teorema Fundamental = 6 3 Simplificando

35 3. Substituição e integrais definidas 5 x dx x 3 u u + u du Região antes da substituição Região após a substituição OBS: As duas regiões diferentes exibidas têm a mesma área.

36 4. Aplicações Pode-se utilizar a integração para determinar a probabilidade de ocorrência de um evento. Em uma tal aplicação, a situação da vida real tem como modelo uma função f de densidade de probabilidade, e a probabilidade de x estar entre a e b é representada por b ( ) ( ) P a x b = f x dx A probabilidade P (a x b) deve ser um número entre 0 e. a

37 4. Aplicações Exemplo 6: Um psicólogo* estima que a probabilidade de um participante em um experimento de memória recordar entre a e b por cento (em forma decimal) da matéria é b 8 ( ) 3 P a x b = x x dx, 0 a b a 9 Determine a probabilidade de que um participante escolhido aleatoriamente recorde entre 0% e 87,5% da matéria. * Os psicólogos costumam utilizar integrais definidas para representar a probabilidade de ocorrência de um evento. Por exemplo, a probabilidade 0,5 significa que o evento ocorrerá em 50% das vezes.

38 4. Aplicações Seja u = 3 x Então u 3 = x x = u 3 dx = 3 u du

39 4. Aplicações Antes de substituir, determine os novos limites superior e inferior de integração. Limite inferior: Quando x = 0, u = 3 0 = Limite superior: Quando x = 0,875, u = 3 0,875 = 0,5

40 4. Aplicações Para determinar a probabilidade, substituamos e integremos como segue: ,875 3 ( 3 )( )( x x dx = u u 3u ) du 0 8 ( 3 )( 3 = 3 u u ) du 9 8 ( 6 3 ) = 3 u u du

41 4. Aplicações u u = ,865 Assim, a probabilidade é cerca de 86,5%, conforme indicado na figura a seguir.

42 4. Aplicações