Dividir para conquistar. Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL

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1 Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: Professor: Eduardo Nobre Lages Integrais Maceió/AL

2 Objetivo Dividir para conquistar.

3 Primitivas Definição: Uma função F é uma primitiva (ou antiderivada) de f(x) no intervalo I se F (x) f(x) para todo x em I. Exemplo: Quem é uma primitiva da função f(x) x 2? Conhecendo-se a regra básica de derivação da potência, tem-se que F(x) x Além de F 1 (x) x, note que F 2 (x) x + 5 também é uma primitiva de f, assim como F (x) x 21. A família de todas as primitivas de f(x) x 2 é representada por G(x) x + C, onde C representa genericamente uma constante.

4 Notação A operação de encontrar a família de todas as primitivas de uma função é chamada de integral indefinida (ou primitivação) e é representada na forma f ( x) dx F( x) + C Sinal de integração Integrando Variável de integração Constante de integração A diferenciação e a integração são operações inversas, no mesmo sentido de que a divisão e a multiplicação são operações inversas.

5 Condições Iniciais e Soluções Particulares A integral indefinida tem infinitas soluções (cada uma diferindo das outras por uma constante), a exemplo de 2 ) 1 dx x x + C Se se conhecer um ponto pertencente a uma curva de interesse (condição condição inicial) inicial é possível determinar a chamada solução particular, particular calculando-se o valor adequado de C. (x

6 Condições Iniciais e Soluções Particulares Exemplo (movimento vertical): Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial de 4 m/s de uma altura inicial de 1 m. v(0) 4 m/s s(0) 1 m a) Encontre a função posição dando a altura s como função do tempo t. b) Quando a bola atinge o chão?

7 Condições Iniciais e Soluções Particulares Exemplo (continuação): v(t)? v(0) 4 m/s s(t)? a(t) 9,8 m/s2 d [v(t )] dt Como v(0) 4 m/s v(t ) 9,8t + C1 v(0) 4 9,8(0) + C1 C1 4 Histórico da velocidade: v (t ) 9,8t + 4 s(0) 1 m

8 Condições Iniciais e Soluções Particulares v(t)? Exemplo (continuação): v(0) 4 m/s s(t)? v (t ) 9,8t + 4 Como s(0) 1 m d [s(t )] dt s(t ) 4,9t 2 + 4t + C2 s(0) 1 4,9(0) 2 + 4(0) + C2 C2 1 Histórico da posição: s(t ) 4,9t 2 + 4t + 1 s(0) 1 m

9 Condições Iniciais e Soluções Particulares Exemplo (continuação): Bola atingir o chão: s(t ) 4,9t 2 + 4t Fora do domínio físico 0,20 s t 1,02 s

10 Propriedades cf ( x) dx c f ( x) dx [ ( x) g( x) ] dx f ( x) dx f + + g( x) dx [ ( x) g( x) ] dx f ( x) dx f g( x) dx d dx [ ] f ( x) dx f ( x)

11 Fórmulas de Integração 0 dx C kdx kx + C n+ 1 x n x dx n C cos xdx sin x + C sin xdx cos x + e x dx e x + C C

12 De Volta ao Problema da Área Considere a região delimitada pelo gráfico da função f(x), o eixo x, e as retas verticais x a e x b. y yf(x) a b Área? x

13 De Volta ao Problema da Área Definição: Uma partição P de um intervalo I[a, b] é uma coleção finita de subintervalos de I que não se sobrepõem e cuja união é o próprio I. Uma partição geralmente é descrita especificando-se um conjunto finito de números: Subintervalos: onde Raio da partição:

14 De Volta ao Problema da Área Definição: A soma de Riemann de f correspondente à partição P(x 0 ; x 1 ;... ; x n ) e a escolha dos pontos intermediários c k é dada por R( P, f ) n k 1 f ( c k y ) ( x x ) k k 1 yf(x) a f(c k ) x k-1 c k x k b x

15 De Volta ao Problema da Área y yf(x) Área? Área a lim ρ ( P) 0 n k 1 f ( c k b )( x k x x k 1 ) b a f ( x) dx Integral definida

16 Teorema Fundamental do Cálculo Se a função f for contínua no intervalo [a, b] e se F for uma primitiva de f no intervalo [a, b], então b a f ( x) dx F( b) F( a) Quando aplicar este teorema, a seguinte notação é conveniente: b a f [ ] b F( x) F( b) F( ) ( x) dx a a

17 Teorema Fundamental do Cálculo Exemplos: 1) 2) 1 4 x x dx 4 2 ( 2 ) dx x x x Note que na integral definida não é necessário incluir a constante de integração C na primitiva (ela seria cancelada na diferença dos dois termos).

18 Integral Definida e a Área Exemplo: x x dx ( 1) 4 4 0? f(x).dx < 0 f(x) dx Na região onde o integrando é negativo a contribuição do retângulo infinitesimal da soma de Riemann é negativa.

19 Integral Definida e a Área Se desejamos utilizar a integral definida para gerar a área de uma região delimitada por curvas, temos que ajustar os retângulos infinitesimais da soma de Riemann para contribuir sempre positivo. y(x)x Exemplo: A 0 ( ) x dx + x dx 1 Inf. y(x)x Sup. y(x)0 1 0 Inf. y(x)0 Sup. y(x)x L 1 2 Área?

20 Área da Região entre Duas Curvas y da[f(x) g(x)]dx (x, f(x)) f f(x) g(x) a (x, g(x)) dx Se f e g são funções contínuas em [a, b] e g(x) f(x) para todo x em [a, b], então a área da região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas verticais x a e x b é b b [ f ( x) g( x ] A ) a dx g x

21 Aplicação de Integrações Exemplo: Tanto para o cálculo da carga térmica solar quanto para o estudo da iluminação natural do Museu Oscar Niemeyer (Curitiba/PR), precisa-se conhecer a área da superfície envidraçada da fachada lateral. Tem-se conhecimento das dimensões principais da fachada e de que as curvas limitantes são parábolas do 2º grau. parábolas 1 m 4 m 70 m

22 Aplicação de Integrações Exemplo (continuação): y yf(x)a 0 +a 1 x+a 2 x 2 parábolas 70 m 1 m 4 m yg(x)b 0 +b 1 x+b 2 x 2 x Restrições f( 5) 0, f(0) 1 e f(5) 0 a 1, a1 0 e a g( 5) 0, g(0) 4 e g(5) 0 4 b0 4, b1 0 e b2 1225

23 Aplicação de Integrações Exemplo (continuação): 1 y y f 1 ( x) 1 x da [ f ( x) g( x) ]dx A 5-4 [ f x) g( x) ] 5 ( dx 17 17x x y g( x) 4 + x L x dx x 2 79, m 2

24 Teorema do Valor Médio para Integrais Se f é uma função integrável no intervalo fechado [a, b], então existe um número c no intervalo fechado [a, b] tal que b a f ( x) dx f ( c)( b a) f(c) Por conseqüência, o valor médio da função no intervalo fechado [a, b] é y 1 b a a b a f c ( x) dx b f x

25 Aplicação de Integrações Exemplo: A lei representativa da temperatura (em graus Celsius) em uma casa, que servirá de galeria, durante um dia é dada por T π ( t 8) sin 10 onde t é o tempo em horas, com t0 representando meia-noite. T ( o C) Para a elaboração do projeto de climatização da galeria, pede-se determinar a temperatura média diária.

26 Aplicação de Integrações Exemplo (continuação): T T ( t) dt 1 24 π ( t 8) sin dt L 26, o C T ( o C) 26, o C