Instituto Universitário de Lisboa

Transcrição

1 Instituto Universitário de Lisboa Departamento de Matemática Eercícios de primitivas, integrais e áreas

2 Primitivação. Eercícios de primitivas imediatas e quase-imediatas. Calcule uma família de primitivas de cada uma das seguintes funções, usando as fórmulas indicadas: a f = +, P k = k, P u n u = un+ n + b f =, P u n u = un+, n R \ { } n + c f =, P u = ln u u d f = e +, P e u u = e u e f =, P a u u = au ln a f f = sin, P u sin u = cos u g f = cos5, P u cos u = sin u h f = sec, i f = j f = k f = sin, 4, P 9 + 4, P u sec u = tan u, sec u = cos u P u csc u = cot u, csc u = sin u u a u = arcsin u a u P a + u = a arctan u a. Calcule uma família de primitivas de cada uma das seguintes funções:, n R \ { }

3 a f = 5 ln b f = c f = + 8 d f = e f = e f f = e sin e g f = 7e h f = e i f = j f = k f = l f = e + e m f = + n f = + 9 o f = cos p f = cot q f = sin cos 4 r f = os os s f = ln t f = tan arctan u f = + v f = tan sec w f = cot sin sin f = + sin y f = sin cos 4. Eercícios de primitivação de funções racionais. Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções racionais, sujeita à condição inicial indicada: a f =, P f = ln8 b f = 4, P f = 9 c f = + 5 +, P f = ln d f = 5 + 9, P f = e f = +, P f = f f = +, P f =

4 . Eercícios de primitivação por partes. Usando a fórmula: P u v = uv P v u calcule uma família de primitivas de cada uma das seguintes funções: a f = ln, considere u = e v = ln. b f = + sin, considere u = sin e v = +. c f = e, considere u = e e v =. d f = ln, considere u = e v = ln. e f = sinln, considere u = e sinln.. Calcule uma família de primitivas de cada uma das seguintes funções: a f = sin f f = ln + b f = e c f = n ln d f = arctan e f = ln g f = ln h f = e sin i f = cos sin j f = cos.4 Eercícios de primitivação por substituição. Calcule uma família de primitivas de cada uma das seguintes funções, usando a substituição indicada: a y = e, substituição: = t b y = c y = d y = e y = f y = e e, substituição: = ln t + ln + ln, substituição: = et, substituição: = sint +, substituição: = tant 4, substituição: = sect 4

5 . Calcule uma família de primitivas de cada uma das seguintes funções: a y = 4 f y = + + b y = + + c y = + e d y = sin e y = e g y = + 4 h y = 9 6 i y = j y = + Integração. Eercícios sobre integral de Riemman. Considere a função f = e o intervalo [, ]. Para uma partição desse intervalo em 4 subintervalos, desenhe as somas de Riemann inferiores, superiores, à esquerda e à direita.. O objectivo deste eercício é o de vericar, usando somas de Riemann, que, para b >, b Para tal siga os seguintes passos: Divida [, b] em n subintervalos = b. = b n < b n < b n n b < < < n b = b. n n Considere somas à direita c i = i+ e verique que, para essa escolha, Deduza a Gauss' baby formula S n = b b n = n n n k. k= n k = n = k= nn +, 5

6 e conclua.. Considere a função f =, o intervalo [, ] e a partição desse intervalo em n subintervalos regulares: < n < n < < n n <. a Verique que as correspondentes somas inferiores e superiores satisfazem: S n = n n e b Mostre que S n = n n + n. lims n S n =. O que nos diz o limite anteior relativamente à integrabilidade de f? c Usando as fórmulas anteriores e uma máquina de calcular, determine valores aproimados por defeito e por ecesso do para n =, 4 e 6., 4. Seja f : [, ] R denida por se <, f = se <, + se. Usando a interpretação geométrica do integral, calcule. Eercícios sobre integral denido f.. Calcule os seguintes integrais usando a regra de Barrow e, em cada caso, determine o valor médio da função integranda no intervalo de integração: 6

7 a + + b e c d e e 4 + sin ln + f π cos g π e sin h 4 + i 9 4 j Usando a monotonia do integral, verique as seguintes estimativas: a 5 e < 5. b e 6 < 4 e < e 4. c e sin <.. a Mostre que se f = g e f g, >, então f g, >. b Interprete o resultado anterior em termos de posições e velocidades. 4. Uma função diz-se par sse f = f,. Mostre que se f é par e integrável, em [ a, a], então a a f = a Interprete o resultado anterior geometricamente. f. 5. Uma função diz-se impar sse f = f,. Mostre que se f é impar e integrável, em [ a, a] então a a f =. Interprete o resultado anterior geometricamente. 6. Usando somas de Riemann conclua que o comprimento duma curva y = f, [a, b], com f diferenciável, é dado por b a + f. Usando a fórmula anterior determine o comprimento das seguintes curvas: a y = +, < <. 7

8 b y = /, < <. c y =, < < /. 7. Suponha que, ao longo dum ano, desejamos fazer empréstimos diários a uma taa instântanea velocidade de f = ft euros/ano, t ], ]. Temos portanto que a quantidade emprestada no dia i fi/65 t = fi/ a Mostre que o valor total do empréstimo pode ser aproimado por ftdt. b Sendo r a taa de juro anual, de capitalização contínua, imposta pelo banco e assumindo que o plano de empréstimos vence no nal do ano, mostre que o valor em dívida, no nal do ano, é aproimado por fte r t dt. 8. Seja p = pt euros/ano, t ], T ] anos, a taa de pagamentos a efectuar durante o período em causa. Mostre que o valor do depósito a efectuar, numa conta de capitalização contínua a uma taa de juro anual r, para cobrir todos os pagamentos, é dado por T pte rt dt.. Eercícios sobre integral indenido. Calcule as derivadas dos seguintes integrais indenidos, usando a fórmula: d v u ftdt = fv.v fu.u. a b c d 5 cos tdt d d 4 t dt 5 e t dt 8

9 . Calcule as derivadas dos seguintes integrais indenidos a d 5 t + 5t + 7 d dt d b d t + d dt e t c d 4 t + t 7 dt d f. Determine e classique os pontos críticos da função: 4. Considere a função: f, y = f, y = 6t t dt + a Calcule os pontos críticos de f. b Classique os pontos críticos de f. y 5 tdt 4 sin t dt t dt t t dt. y sin tdt + t dt..4 Eercícios de áreas. Calcule as áreas denidas por: a y, 4 b y, 5 c y, 4 d y e y ln, e f y e, g y, y, 4 h y =, y = 8, = i y = 4, y = 4 j y = 4, k y,, y 9

10 Soluções dos Eercícios Propostos. Primitivas imediatas e quase-imediatas. a + b c ln d e+ e ln cos f g sin5 5 h tan i cot j arcsin k 6 arctan. a 5 / b ln c ln + 8 d ln e e ln + f cose g 4e h e +4+ i ln + e

11 j arctan k arcsin l arcsin m arcsin n ln + 9 arctan o + sin 4 p ln sin q 5 cos5 r tan + s arcsin ln t tan u arctan v tan w cot + sin y cos7 7 cos5 5. Primitivação de funções racionais. a ln b ln + c ln ln + ln d + ln ln

12 e ln ln f. Primitivação por partes. a ln b + cos + sin c e 4 d ln sinln cosln e. a 4 sin cos b e + c n+ n + ln n + d arctan + arctan e ln e f ln + + arctan g ln ln + h e sin cos i + ln csc cot sin j sin + cos sin.4 Primitivação por substituição. a e b lne + c 4 + ln + ln d arcsin

13 e + + ln f. a ln + b + ln + + e c ln + e d cos + 6 sin + 6 cos e e arctan e f + g h arcsin i arctan j arctan 4 Integração 4. Eercícios sobre integral de Riemman... 4.

14 4. Integral denido. a 9 b c + ln d cos e ln4/ f π g eπ + h + ln 4 9 i / j ln/ Integral indenido. a cos b c 5e 5. a b

15 c d e sin 4 4 sin 6 f 7 6., é um ponto de máimo local de f e, é um ponto de sela. 4. a Os pontos críticos de f são kπ,, π + kπ,, k N. b kπ, são pontos de mínimo, π + kπ, são pontos de sela de f. 4.4 Áreas. a A = 6 b A = 6 c A = 56 d A = 9 e A = f A = e g A = + ln 4 h A = i A = 64 j A = 6 / k A = / ln / 5