Lista 6 Funções de Uma Variável

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1 Lista 6 Funções de Ua Variável Integral II Use o Teorea Fundaental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções: a) + tdt f) g) h) ln(t)dt cos(t )dt cos() e (t + cos(t)dt (t + cos(t))dt e cos (t)dt e e cos (t)dt 3 t cos(t)dt f) g) h) i) j) k) l) ) n) o) π/ π π 3 d 6/7 d 3 d ( + 5 ) d d sec () d csc (θ)dθ e v+ dv 5 t dt t + dt Use o Teorea Fundaental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou eplique porque elas não eiste: a) d 6 d π d + 3 d 3/ d 3 Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições: a) cos(3)d u = 3 ( + ) d u = d u = 3 + sen( ) d u = e sen θ cos(θ)dθ u = sen(θ)

2 Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) ( + 3) d (3 ) d ( ) d ( + ) d 5 3 d f) dt (3t + ). g) y 3 y dy h) d i) sen(πt)dt j) sec () tg() d (ln()) k) d arctg() l) + d z 3 ) d + z n) e + e d o) sec 3 () tg() d p) a ( b + c a+ )d c, a q) + d r) e d s) + 6 d 5 Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de u e dv: a) ln() d, u = ln(), dv = d θ sec (θ)dθ, u = θ, dv = sec (θ)dθ 6 Calcule as seguintes integrais: a) cos(5) d re r/3 dr cos() d ln( + ) d t 3 e t dt f) (ln()) d g) z senh(z)dz h) i) j) k) l) ( + )e d t ln(t)dt ln() d d cos(ln()) d 7 Prieiro faça ua substituição e depois use integração por partes para calcular as integrais: a) sen( ) d e d 5 e d 8 Calcule π/ e tg a) cos d π/ ln d cos θ sen θdθ cosh d sen ( + cos ) 3 d

3 9 Calcule li h h +h 5 + t dt Considere o sistea ostrado na figura acia. O peso é colocado e oviento de u ponto pés abaio da posição de equilíbrio, de odo que a sua velocidade e qualquer instante t é Ache o valor édio da função no intervalo: a) 3 [, ] + [, ] [, 3] + Moviento Harônico Aortecido. Considere o sistea ostrado na figura abaio. Nesse sistea o peso está ligado a ua ola e u dispositivo de aorteciento. Suponha-se que no instante t =, o peso é colocado e oviento a partir de sua posição de equilíbrio de odo que a sua velocidade e qualquer instante t é v(t) = 3e t ( t) Encontre a função posição (t) do corpo. v(t) = e t (cos t 3 sen t) Encontre a função posição do corpo 3 Calcule o centro de gravidade da região R liitada pelo gráfico y = sen e y = π e [, π ]. O centro de gravidade (, y) de ua região liitada pelas funções contínuas f e g co f() g() no intervalo [a, b], é dado por y = A = A b a b a [ f() + g() sendo A a área da região: A = [f() g()] d ] [f() g()] d, b a [f() g()] d 3

4 Respostas dos Eercícios a.) + b.) ln() c.) cos(t )dt = d.) Defina F() = cos(t d )dt. Assi, d (t + cos(t))dt. Assi, cos() F (cos()). cos () = (cos() + cos(cos())) sen() e.) (e + cos(e ))e f.).e cos(e ) e g.) cos (t)dt = e e cos (e ). h.) 3 3 cos( 3 ) b.) c.) 7π f.) j.) 8 e cos(t )dt = cos( ) (t + cos(t))dt = F(cos()). Portanto, d d cos() (t + cos(t))dt = d d F(cos()) = e e cos (t)dt + cos (t)dt = cos (t)dt cos (t)dt Assi, a resposta é: e cos (e ) e cos( ) 8 d = 3 d = 3 3 d = [ ] =.. = π π l.) csc (θ)dθ = sen θ dθ dividindo e cia e ebaio por cos (θ), 8 = = 5 π π csc (θ)dθ = sec (θ tg θ dθ Faça a substituição u = tg(θ) e conclua..) Faça a substituição u = v +. n.) Faça a substituição u = 5 t. a.) Substituição u = + 3. Então du = d. Assi ( ) d = u du. d.) Substituição u = +, então du = d. du ( + ) d = u + c f.) Substituição u = 3t +, então dt = 3 du. dt = (3t + ). 3u, du = u, 3(, ) + c =, (3t + ), + c g.) Substituição u =. j.) Substituição u = cos(), então du = sen(). Assi displaystyle sec () tg()d = sin() cos 3 () d = du u 3 = u = cos () + c = sec () + c k.) Substituição u = ln(). l.) Substituição u = arctg(), então du =.) Substituição u = + z. n.) Substituição + e. o.) Substituição u = cos(). d arctg(). Então + + d = udu = u + c = arctg () + c.

5 p.) Substituição u = b + c ( a + ), então a d = (b + c a+ ) c(a + ) + c. q.) Substituição u =, então du = d. Assi, r.) Substituição u =. s.) Substituição u = 3. 6 a.) Substituição y = 5, d = dy 5. Então du = dy e v = sen(y). Assi du c(a + ). Assi, a b + c a+ u d = c(a + ) du = u c(a + ) + c = + d = + u du = arctg(u) + c = arctg( ) + c. cos(5)d = y cos(y)dy. Integração por partes co u = y e dv = cos(y)dy. 5 y cos(y)dy = (y sen(y) sen(y)dy) = 5 5 (y sen(y) + cos(y)) + c = 5 (5 sen(5) + cos(5)) + c. 5 r b.) Partes u = r, dv = e3 dr. c.) cos() = sen() sen()d = sen() ( cos() + ) cos()d = sen() ( cos() + ) sen() + c = ( ) sen() + cos() + c 3 d.) Substituição u = +. e.) Aplique integração por partes alguas vezes até suir co o tero t 3. Inicialente, u = t 3 e dv = e t dt. f.) Substituição = e y. (ln()) d = y e y dy = y e y ye y dy = h.) Partes co u = + e dv = e. i.) Partes u = ln(t) e dt = tdt. j.) Partes u = ln() e dv = d. t ln(t)dt = 3 3 ln(t).t 6 3 ln() 3 t 9 k.) Partes u = e dv = d. Então du = d e v = l.) Substituição = e u. ln(). = 6 3 cos(ln())d = 3 ln() 8 9 tdt = cos(u)e u du = cos(u)e u + sen(u)e u du = cos(u)e u + sen(u)e u cos(u)e u du Então cos(u)e u du = e u (cos(u) + sen(u)) cos(u)e u du 5

6 . Soando cos(u)e u du a abos os lados teos: cos(u)e u du = e u (cos(u) + sen(u)) Assi, Voltando à variável inicial,, teos cos(u)e u du = eu (cos(u) + sen(u)) cos(ln())d = (cos(ln()) + sen(ln()) 9 Defina Note que li h h +h Pelo teorea fundaental do cálculo, a.) f ed = 3d = ( ) F() = 5 + t dt. 5 + t F( + h) F(h) dt = li = F () h h F () = ( ) = = 3. 6