Substituição Trigonométrica

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Substituição Trigonométrica Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Substituição Trigonométrica 1.Introdução.Resolução de Eemplos

3 1. Introdução Para determinar a área de um círculo ou uma elipse, uma integral da forma a d aparece, onde a > 0.

4 1. Introdução Se a integral fosse a d a substituição u = a poderia ser eficaz, mas, como está, a d é mais difícil.

5 1. Introdução Se mudarmos a variável de para θ pela substituição = a senθ, então a identidade 1 sen θ = cos θ permitiráquenoslivremosdaraiz,porque a = a a sen = a (1 sen θ ) θ = a cos = θ a cosθ

6 1. Introdução Note a diferença entre a substituição u = a (na qual uma nova variável é uma função da velha) e a substituição = a senθ (a variável velha é uma função da nova).

7 1. Introdução Em geral podemos fazer uma substituição da forma = g (t) usando a Regra da Substituição ao contrário. Para simplificar nossos cálculos, presumimos que g tem uma função inversa, isto é, g é um a um. Nesse caso, se trocarmos u por e por t na Regra da Substituição, obteremos f ( ) d = f g( t) g ( t) dt ( ) Esse tipo de substituição é chamado de substituição inversa.

8 1. Introdução Podemos fazer a substituição inversa = a sen θ desde que esta defina uma função um a um. Isso pode ser conseguido pela restrição de θ no intervalo [-π/, π/]. Na tabela a seguir listamos as substituições trigonométricas que são eficazes para as epressões radicais dadas em razão de certas identidades trigonométricas. Em cada caso, a restrição de θ é imposta para assegurar que a função que define a substituição seja um a um.

9 1. Introdução TABELA DE SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Epressão Substituição Identidade a a + a = asenθ θ [ π, π ] = atgθ θ ( π, π ) = asecθ θ [0, π ) ou [ π,3π ) 1 sen θ = cos θ 1+ tg θ = sec θ sec θ = 1 tg θ OBS: Estes são os mesmos intervalos usados na definição de funções inversas.

10 . Resolução de eemplos Eemplo 1: Calcule a integral 9 d

11 . Resolução de eemplos Solução: Seja = 3 sen θ, onde -π/ θ π/. Então d = 3 cos θ d θ e 9 = 9 9sen θ = 9cos θ = 3 cosθ = 3cosθ

12 . Resolução de eemplos Note que cos θ 0 porque -π/ θ π/. Então a Regra da Substituição Inversa fornece 9 3cos d = θ 3cosθ d θ 9sen θ = cos θ θ = θ θ = θ θ ( cotg cossec 1) sen d d d θ = cossec θ θ θ = cotgθ θ + d d C

13 . Resolução de eemplos Como esta é uma integral indefinida, devemos retornar à variável original. Isso pode ser feito usando-se as identidades trigonométricas para epressar cotg θ em termos de sen θ = /3 ou pelo desenho de um diagrama, como na figura abaio, onde θ é interpretado como um ângulo de um triângulo retângulo. senθ = 3

14 . Resolução de eemplos Pelo Teorema de Pitágoras o comprimento do lado adjacente é 9 Assim podemos ler o valor de cotg θ diretamente da figura. cotgθ = 9

15 . Resolução de eemplos Como 1 senθ = θ = sen Então C 9 cotg d θ θ = d sen = + 3 C C

16 . Resolução de eemplos Eemplo : Determine a área limitada pela elipse a y b + = 1

17 . Resolução de eemplos Solução: Resolvendo a equação da elipse para y, temos: y y a = 1 = b a b a b b y a y a a a ( ) = = ±

18 . Resolução de eemplos Porque a elipse é simétrica em relação a ambos os eios, a área total A é quatro vezes a área do primeiro quadrante, conforme a figura abaio a y b + = 1

19 . Resolução de eemplos A parte da elipse no primeiro quadrante é dada pela função b a y = a 0 a e, dessa forma 1 4 a b A a d = a 0

20 . Resolução de eemplos Para avaliar essa integral substituímos = a sen θ. Então d = a cos θ dθ. Para mudar os limites de integração notamos que quando = 0, sen θ = 0, logo θ = 0; quando = a, sen θ = 1, assim θ = π/. Também a = a a sen θ = a cos θ = a cosθ = acosθ já que 0 θ π/.

21 . Resolução de eemplos Portanto a π / b b 4 4 cos cos A = a d = a θ a θ dθ a a 0 0 π / π / a b 1 4 cos θ dθ 4ab ( 1 cos θ ) dθ a = = π / 1 π = ab θ + senθ = ab = ab π 0

22 . Resolução de eemplos Mostramos que a área de uma elipse com semi-eios a e b é πab. Em particular, tomando a = b = r, provamos a famosa fórmula que diz que a área de um círculo de raio r é πr. OBS: Como a integral no Eemplo era a definida, mudamos os etremos de integração e não tivemos de convertê-los de volta à variável original.

23 . Resolução de eemplos Eemplo 3: Calcule a integral d

24 . Resolução de eemplos Solução: Seja = tg θ, -π/ < θ < π/. Então d = sec θ dθ e ( ) + = θ + = θ + 4 4tg 4 4 tg 1 = 4sec θ = secθ = secθ

25 . Resolução de eemplos Assim, temos d = secθ = d θ 4 tg θ sec θ dθ 4tg θ secθ

26 . Resolução de eemplos Para avaliar essa integral trigonométrica colocamos tudo em termos de sen θ e cos θ. sec 1 cos cos θ θ θ = = tg θ cosθ sen θ sen θ

27 . Resolução de eemplos temos Portanto, fazendo a substituição u = sen θ, d 1 cos 1 du 4 sen 4 u θ = d θ = θ cossecθ = C C C 4 + = + = + u 4senθ 4

28 . Resolução de eemplos Usamos a figura abaio para determinar cossec θ. tgθ = cossecθ = + 4 Assim d = + 4 C

29 . Resolução de eemplos Eemplo 4: Calcule a integral + 4 d

30 . Resolução de eemplos Solução: Seria possível usar a substituição trigonométrica = tg θ aqui (como no Eemplo 3). Mas a substituição direta u = + 4 é mais simples, porque du = d e du d = = u + C = C u

31 . Resolução de eemplos OBS: O Eemplo 4 ilustra o fato de que mesmo quando as substituições trigonométricas são possíveis, elas nem sempre dão a solução mais fácil. Deve-se primeiro visualizar um método mais fácil.

32 . Resolução de eemplos Eemplo 5: Calcule a integral abaio, onde a > 0. d a

33 . Resolução de eemplos Solução: Seja = a secθ, onde 0 < θ < π/ ou π < θ < 3π/. Então d = a secθ tgθ dθ e ( ) a = a sec θ a = a sec θ 1 = a tg θ = a tgθ = a tgθ

34 . Resolução de eemplos temos Portanto, fazendo a substituição u = sen θ, d a = a secθ tgθ d θ a tgθ = secθ dθ = ln secθ + tgθ + C

35 . Resolução de eemplos O triângulo da figura abaio mostra a tgθ. Assim temos secθ = a tgθ = a a

36 . Resolução de eemplos d θ tgθ ln sec a = + d a = ln + + C a a a d + a = ln + C a a d ln a lna C a = + +

37 . Resolução de eemplos Escrevendo C 1 = C ln a, temos d ln a C 1 a = + +

38 . Resolução de eemplos OBS: As substituições hiperbólicas podem ser utilizadas no lugar de substituições trigonométricas e elas, às vezes, nos levam a respostas mais simples. Mas geralmente usamos substituições trigonométricas, porque as identidades trigonométricas são mais familiares que as identidades hiperbólicas.

39 . Resolução de eemplos Eemplo 6: Calcule a integral definida 3 3 / 3 ( + ) / d

40 . Resolução de eemplos Solução: Primeiro notamos que ( ) 3/ + = ( + ) Logo, a substituição trigonométrica é apropriada. Embora (4 + 9) 1/ não seja eatamente uma epressão da tabela de substituições trigonométricas, ela se torna parte delas quando fazemos a substituição preliminar u =.

41 . Resolução de eemplos Quando combinamos esta com a substituição da tangente, temos 3 3 tgθ sec θ θ = d = d ( ) = 9tg θ + 9 = 9 tg θ + 1 = 9sec θ = 3 secθ = 3secθ

42 . Resolução de eemplos Quando = 0 tgθ = 0 θ = = tgθ = 3 θ = π 3

43 . Resolução de eemplos 3 3 / 3 π /3 ( 4 + 9) d 7 tg 3 θ 3 8 sec 7 sec θ 3/ = θ dθ π /3 3 π /3 3 3 tg θ 3 sen θ = dθ = 3 cos θ dθ 16 secθ 16 cos θ 0 0 ( 1 cos ) π /3 π /3 θ 3 sen θ senθ 3 = d θ = sen θ d θ 16 cos θ 16 cos θ 0 0

44 . Resolução de eemplos Agora substituímos u = cos θ de modo que du = - sen θ dθ. Quando θ = 0, u = 1; quando θ = π/3, u = 1/. 3 3 / 3 π /3 ( 4 + 9) d ( 1 cos θ ) 3/ 0 0 = 3 16 cos θ 1/ 1/ 1/ / senθ dθ 3 1 u 3 u 1 3 ( 1 ) 16 du u 16 u du 16 u = = = du = u ( 1 1) 16 + u = + + =

45 . Resolução de eemplos Eemplo 7: Calcule a integral 3 d

46 . Resolução de eemplos Solução: Podemos transformar o integrando em uma função para a qual a substituição trigonométrica é apropriada completando o quadrado. ( ) 3 = 3 + ( ) ( ) = = 4 + 1

47 . Resolução de eemplos Isso sugere a substituição u = + 1. Então du = d e = u 1, assim u 4 1 u du

48 . Resolução de eemplos Agora substituímos u = senθ du = cosθ dθ ( θ ) 4 u = 4 4sen θ = 4 1 sen = 4cos θ = cosθ = cosθ

49 . Resolução de eemplos Obtendo u 1 d = 3 4 u ( ) du = senθ 1 dθ = cosθ θ + C u 1 = 4 u sen + C = 3 sen + C