Trigonometria III. Funções Secante e Cossecante. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

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1 Trigonometria III Funções Secante e Cossecante ano EM Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

2 Trigonometria III Funções Secante e Cossecante Exercícios Introdutórios Exercício a o quadrante b o quadrante c o quadrante d o quadrante Se sen x < 0 e sec x > 0, então x é um arco do: Exercício Seja x um arco do o quadrante e cos x, então cossec x é igual a: a b c d 6 e Exercício Se π x π, o maior valor possível da cossec x é: a b c d e Exercício Seja a função f x + sec x π, definida em [0, π] A O conjunto A é composto por quantos elementos? b c d e Exercício 6 Determine o subconjunto mais amplo dos Reais que pode ser domínio da função f x sec x + π Exercício 7 Seja sen x a, então cossec x é: a a b a c a d a Exercícios de Fixação Exercício 8 Mostre que cotg x + cossec x Exercício 9 Qual das expressões a seguir é idêntica a sen x tg x cossec x? a sen x b cos x c tg x d cossec x e cotg x Exercício 0 Seja a função f x cossec x π representada no gráfico Se a imagem de f é R A, o conjunto A pode ser representado por: a b c d e Exercício sen x é: a Se sec x, sendo 0 < x < π, o valor de matematica@obmeporgbr

3 a 0, b, c d e,,, Exercício Sabendo que cos x quadrante, o valor de cotg x é: e que x está no o a b c d e Exercício O dobro do inverso da cossecante de um ângulo x, 0 < x < π, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente Determine cos x π Exercício Sendo f x cossec x + cos x, o valor de f π é: a b c d e Exercício Observe a figura cuja circunferência é o círculo trigonométrico O segmento que representa sec α é: a AB b AC c AD d AE e AF Exercício O valor de sec π 6 cossec 7π + cotg π é a + b c + d + Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 6 Se sen α cos α > 0, tg α sec α < 0 e 0 < α < π, então: a 0 < α < π b π < α < π c π < α < π d π < α < π e não há α que satisfaz às condições propostas matematica@obmeporgbr

4 Exercício 7 Se sen x + cossec x t, então sen x + cossec x é: a igual a t b igual a t + c igual a t d igual a e impossível calcular Exercício 8 Seja ABC um triângulo qualquer Por B e C, pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, traçam-se duas retas que se cortam em um ponto M, situado sobre o lado BC, e que fazem com esse lado ângulos iguais θ, conforme a figura Demonstre que cotg θ cotg B + cotg C ] Exercício 9 Determine todos os valores de α π, π [, tais que a equação em x x x + tg α 0 admita apenas raízes reais simples Exercício 0 Sejam a e b constantes reais positivas Considere x a tg t + e y b sec t b, em que 0 t < π Então uma relação entre x e y é dada por: a y b a x, x a b y b a x, x c y b x, para todo x R a d y b x, x a e y b x, x a Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedescom matematica@obmeporgbr

5 D Respostas e Soluções sen x + cos x sen x + sen x + 9 sen x 8 9 sen x ± 6 Como sec x + π cos x + π, então x + π π + kπ, segue que x kπ, onde k Z Portanto, o subconjunto de R mais amplo que pode ser domínio de f é R {kπ}, com k Z 7 C 8 Pela relação fundamental da trigonometria, temos: sen x + cos x sen x cos x + sen x sen x sen x + cotg x cossec x Como x é um arco do o quadrante, então sen x, segue que cossec x sen x Resposta C Temos: π x sen x sen x π cossec x Portanto, o maior valor da cossec x é Resposta B Seja k Z, temos: x π kπ x π + kπ x π 6 + kπ Sendo assim, k {0,,, }, ou seja, o conjunto A possui elementos Resposta D Como sec x, então Temos, então: cos x, segue que cos x sen x + cos x sen x + 9 sen x Resposta B sen x tg x cossec x sen x sen x cos x sen x cos x cos x cos x 0 O conjunto A pode ser representado por: Resposta B Como cos x < cossec x π < cossec x π < cossec x π < cossec x π < < < < e x o quadrante, temos: sen x + cos x sen x + 9 sen x 9 sen x Resposta D sen x Portanto, cotg x cos x sen x Resposta E matematica@obmeporgbr

6 Extraído da FUVEST - SP - Adaptado Construindo a equação, obtemos: cossec x sen x sen x sen xcos x 0 sen x sen x cos x 0 tg x sen x cos x Como chegamos a um produto de dois termos igual a zero, temos que sen x 0, que não convém pois 0 < x < π, ou sen x cos x 0, donde: sen x cos x 0 sen x sen x 0 sen x + sen x 0 sen x ± Como a única solução que nos convém é sen x e x o quadrante, x 0 o e, consequentemente, cos x Temos que: f π Resposta C B π cossec + π π + cos + cos π cossec π cos π sen π sen π 6 Extraído da Fatec - SP Como tg α sec α sen α cos α cos α sen α cos α < 0, então sen α < 0, pois cos α > 0 Consequentemente, cos α < 0, já que sen α cos α > 0 Portanto, π < α < π Resposta C 7 Extraído da UFSCar - SP Temos: sen x + cossec x t sen x cossec x t sen x cossec x t sen x sen x cossec x + cossec x t sen x sen x sen x + cossec x t sen x + cossec x t Resposta B sen x + cossec x t + 8 Extraído do IME Vamos traçar as alturas MP, C D e B E nos triângulos MB C, MCC e MBB respectivamente Se B e C são pontos médios dos lados AB e AC do triângulo ABC, então B C é base média deste triângulo e mede a metade de BC além ser um segmento paralelo a este Pelo triângulo DCC, temos que cotg C CD ; pelo triângulo EBB, cotg B BE ; pelos triângulos EMB e DMC, cotg θ ME MD, segue que: cotg θ ME + MD C B CD + BE CD + BE cotg C + cotg B Por fim, cotg θ cotg B + cotg C sec π 6 cossec 7π + cotg π cos π 6 sen 7π Resposta A matematica@obmeporgbr

7 9 Extraído do ITA Fazendo x y, temos y y + tg α 0 e, consequentemente, as raízes desta equação devem ser reais distintas, ou seja, tg α > 0, segue que tg α < Além disso, as raízes da equação em y devem ser positivas, sendo que sua soma é > 0, então seu produto, que é tg α, deve ser positivo, ou seja, tg α > 0 Sendo assim, 0 < tg α <, donde, pelo intervalo proposto no problema, temos 0 < α < π 0 Extraído do ITA Se x a x tg t +, então a tg t e, se y b sec t b, então y b sec t Sabemos que tg x + sec y x x, ou seja, b a, que, para bx x, chegamos a y a Resposta D Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedescom 6 matematica@obmeporgbr