Cálculo I - Lista 7: Integrais II

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1 Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Universidade de São Paulo - Prof. Responsável: Andrés Vercik. Use o teorema fundamental do calculo para achar a derivada da função. g( ) = + tdt g ( ) = tdt ln = y g( y) t sentdt = u g( u) d + e) = g ( ) cos( t ) dt f) g( ) = tgθ dθ g) g( ) = arctgtdt h) g( ) = + r dr i) cost y = dt t j) cos y = ( t + sent) dt k) = u y du + u l) = y sen tdt e. Use teorema fundamental do calculo para calcular a integral, ou eplique o porquê não eiste. 5 d 8 ( + ) d d d e) ( + y y ) dy f) d 7 g) dt t h) dt t i) 5 + d j) cos θ d θ k) d 6 l) d m) sentdt n) ( + ) d o) sec θd θ p) 9 d ln 6 q) e d ln 8 r) t 9 dt 8 s) e d e 6 t) d + u), 5 d

2 . Calcule as seguintes integrais: se f ( ) d, onde f ( ) = 5 se se f ( ) d, onde f ( ) = sen se. Ache a derivada da função: u g = ( ) du u + g ( ) = dt tg + t 5 cos y = t sen tdt y = cos( u ) du 5. Encontre a área das seguintes regiões. y = +, y = 9, =, = y = sen, y = e, =, = y =, y = y =, y = e) y =, y = =, ( + ) f) y = +, y = g) y = y = h) y =, y = i) y =, y = + j) y =, y = k) y = +, y = ( + ), =, = l) y = + y =, =, = m) y =, y = n) y =, =, y =, y = o) = y, = y p) y = cos, y = sec, =, = q) y = cos, y = sen, =, = r) y = sen, y = sen, =, = s) y = cos, y = t) y =, y = u) y =, y = ( + ) v) y = sen, y =, =

3 6. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eios especificados. Esboce a região, o sólido e um disco típico ou arruela. y =, =, y = ; ao redor do eio. y = e, y =, =, = ; ao redor do eio. y =, =, =, y = ; ao redor do eio. y =, =, = 5, y = ; ao redor do eio. e) y =,, y =, = ; ao redor do eio y f) = y y, = ; ao redor do eio y g) y =, y = ; ao redor do eio. h) y = sec, y =, =, = ; ao redor do eio. i) y =, =, y = ; ao redor do eio y. j) y =, y = ; ao redor do eio y. k) y =, y = ; ao redor de y=. l) y =, y = ; ao redor de y=. m) y =, y =, =, = ; ao redor de y=. n) = y, = ; ao redor de y=-. o) y =, = ; ao redor de =. p) y =, y = ; ao redor de =. q) y =, = y ; ao redor de =-. r) y =, y =, =, = ; ao redor de =. 7. Escreva, mas não calcule, uma integral para os valores dos sólidos obtidos pela rotação da região limitada pelas curvas dadas e ao redor das retas especificadas. y = ln, y =, = ; ao redor do eio. y =, y =, = 5; ao redor do eio y. y =, y = sen, ; ao redor de y=.

4 y =, y = sen, ; ao redor de y=-. e) y =, = ; ao redor de =-. f) + y = 6, ( y ) = ao redor de = Encontre o volume do sólido descrito. Um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r. r R h Uma calota de uma esfera de raio r e altura h. h r Um tronco de pirâmide com base quadrada de lado b, topo quadrado de lado a e altura h. a h b

5 5 9. Seja S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura ao redor do eio y. Eplique por que é inconveniente fatiar para obter o volume V de S. Esboce uma casca cilíndrica típica de aproimação. Qual é a circunferência e a altura? Use cascas para encontrar o volume V. y y = ( ). Seja S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura ao redor do eio y. Esboce uma casca cilíndrica típica, e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume de S. Você acha que esse método é preferível ao fatiamento? y y = sen ( )

6 6. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eio y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica. y =, y =, =, = y =, y =, = = y e, y =, =, = y = 6 +, y = e) y =, = y. Seja V o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eio y da região limitada por y = e y =. Encontre V pelos métodos de fatiamento e cascas cilíndricas. Em ambos os casos, desenhe um diagrama para eplicar o seu método.. Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor do eio. Esboce a região e a casca típica. = + y, =, y =, y = = y, =, y = y =, y = 9 y 6y + =, = e) y =, y =, + y = + y =, = y f) ( ). Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação de região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eios especificados. Esboce a região e uma casca típica. y =, y =, =, = ; ao redor de = y =, y =, =, = ; ao redor do eio y y =, y =, =, = ; ao redor de = y =, y = 8 ; ao redor de = e) y =, y =, = 5; ao redor de y = f) y =, = y ; ao redor de y =

7 7 5. Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eios especificados. y = ln, y =, = ; ao redor do eio y y =, y = ; ao redor de = 7 y =, y = sen( ); ao redor de = y ao redor de = = ( + ), y =, =, = ; e) = sen y, y, = ; ao redor de y = f) y = 7, = ; ao redor de y = 5 6. A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eios especificados. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. y = +, y = ; ao redor do eio y = +, y = ; ao redor do eio y = 5, y = + ( ); ao redor de = = y, = ; ao redor de = e) + ( y ) = ; ao redor do eio y f) + ( y ) = ; ao redor do eio 7. Encontre o valor médio da função no intervalo dado. f ( ) =, [, ] f ( ) =, [, ] g ( ) = cos, [, ] g ( ) =, [, ] e) f ( t) = te t, [, 5] f) f ( θ) = secθtgθ, [, ] g) h ( ) = cos sen, [, ] h) h ( r) = ( + r), [, 6] 8. i) Encontre o valor médio de f no intervalo dado. ii) Encontre c tal que f méd = f ( gráfico de f e um retângulo cuja área é a mesma que a área sob o gráfico de f. f ( ) =, [ ] f ( ) = e, [, ]. iii) Esboce o

8 8 9. Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva y =,. Verifique sua resposta notando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento pela fórmula da distância.. Use a fórmula do comprimento de arco para achar o comprimento da curva y =,. Verifique sua resposta notando que a curva é um quarto de círculo.. Ache o comprimento de arco da curva dada do ponto A ao ponto B. y = ( ) ; A(, ), B (, ) y = y + ; A( 7, ), B( 67, ). Calcule o comprimento da curva y = ( + ), ln y =, y = +, 8 = y( y ), y 9 e) y = ln( sec ), f) y = ln( sen ), 6 g) ( ) y = ln, h) y = ln, i) y = cosh, j) y =, y k) y = e, l) e y ln + =, e a b, a >. Monte, mas não avalie, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva ao redor do eio dado. y = ln, ; eio y = sen, ; eio y = sec, ; eio y y = e, y ; eio y

9 9. Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva ao redor de eio. y =, y = +, 8 y =, 9 ln y =, e) y = sen, f) y = cos, 6 g) y = cosh, h) y =, 8 = y +, y j) = + y, y i) ( ) 5. A curva dada é girada ao redor do eio y. Calcule a área da superfície resultante. y =, y y =, y = e, y = y y, y e) = ( y ln y), y = acosh y a, a y f) ( ) a