OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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1 8 OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Gil da Costa Marques 8. Integração por partes 8. Integrais de funções trigonométricas 8.3 Uso de funções trigonométricas 8.4 Integração de Quociente de Polinômios 8.5 Alguns eemplos resolvidos 8.5. Primitivação por partes 8.5. Primitivação de frações racionais transformando-as em frações parciais Primitivação com substituições trigonométricas Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Integração por partes Sejam u e v duas funções da variável. Levando-se em conta a propriedade relativa à derivada do produto de funções: d d u v du dv ( ) v ( )+ u ( ) d d 8. na notação de integrais indefinidas, temos: + u v u v d v u d 8. donde inferimos que: v u d u v u v d Eemplos Eemplo : Calculemos I cos d 8.3 Introduzindo as variáveis u e v, de acordo com as epressões u e v cos 8.4 temos: u e v sen 8.5 Assim, utilizando a epressão 8., obtemos para a integral acima a seguinte epressão: cosd sen sen d 8.6

3 394 ou seja, Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Agora, no caso de uma integral definida, temos: π cosd sen + cos + C cosd sen + cos π π [ ] π π π π πsenπ+ cos π sen + cos π Eemplo : Consideremos a integral da função y() cos( + ) no intervalo de valores da variável independente [0,]. Isto é, determinemos a integral definida: 0 I cos + d 8.9 Primeiramente introduzimos uma mudança de variáveis da forma u + o que nos leva à seguinte epressão para a diferencial de u: du d du d Além disso, se u +, temos: Portanto: 0 u u 5 ( + ) I cos + d cos [ d ] 0 5 [ cos u] du cosudu 5 senu sen 5 sen Outras Técnicas de Integração

4 Levando em conta que obtemos, finalmente: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo sen 5 0, sen 0, 8447 I ( 0, , 8447) 0, Integrais de funções trigonométricas Muitas vezes estamos diante de integrais de funções trigonométricas cuja resolução envolve o uso de suas propriedades. A seguir, daremos alguns eemplos. Eemplo 3: Efetue a seguinte integral b I tg d a 8.6 A integral acima pode ser reescrita b I sen cos d a 8.7 Lembrando que dcos sen d 8.8 a integral acima pode ser escrita como: I b a d( cos ) b b b a ln cos a lnsec a ln sec ln cos cos seca cosb 8.9

5 396 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Eemplo 4: Determine a integral indefinida Lembrando que concluímos que y cos d cos cos sen cos cos cos cos Substituindo-se essa epressão em 8.0, obtemos: + y cos d cos d 8.3 Esta última epressão pode ser facilmente integrada. Obtemos: y sen + + C Uso de funções trigonométricas Muitas integrais podem ser efetuadas por meio de substituições que envolvem funções trigonométricas. A seguir, ilustraremos tal fato com dois eemplos. Eemplo 5: Determine a integral indefinida I, definida a seguir, no intervalo [0,]. I 0 4 d Outras Técnicas de Integração

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 397 Resolução Efetuando a substituição, envolvendo a função seno: senθ d cosθdθ π π onde < θ <, a fim de que a função sen θ seja inversível e eista a função integrando. A integral indefinida associada à integral definida proposta é escrita, em termos da função da variável θ, como: cosθ d d sen θ θ cosθ dθ dθ cosθ 8.7 θ + C arcsen C + Observamos que π π sen θ cos θ cosθ cosθ pois < θ < 8.8 A integral definida proposta é, portanto, dada por: I 0 4 d π arcsen arcsen arcsen0 6 π Eemplo 6: Encontre o valor da integral definida: I 3 d ( 9 + ) 8.30 Resolução Determinemos a integral indefinida associada à integral acima mediante a substituição: π π onde < θ < d d d 3tg θ 3sec θ θ 3 θ cosθ a fim de que a função 3 tgθ seja inversível. 8.3

7 398 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Obtemos então: d ( 9 + ) 3 d sen θ sen θ cos θ θ cos θ cos θ 9 dθ sen θ sen θ + cos θ 9 dθ sen θ cos θ cos θ 9 d sen θ θ Observamos que cos π π θ cosθ cosθ, pois < θ <. Lembrando que: 9 cosθ sen θ dθ du 9 C u 9 u onde fizemos a substituição Logo, u senθ du cosθdθ cosθ 9 d sen θ θ + C 9 sen θ secθ + C 9 tg θ (Verifique!) Assim, finalmente, podemos escrever: cosθ 9 sen θ dθ C C Outras Técnicas de Integração

8 E, portanto, a integral definida solicitada é dada por: I 3 d ( 9 + ) Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Integração de Quociente de Polinômios Integrais de funções dadas por um quociente de polinômios (as funções racionais) podem ser efetuadas mediante o uso de epressões que envolvem somas de funções (ou epressões) mais simples, ou seja, transformamos a função racional dada numa soma de frações parciais. Eemplo 7: Determine a integral indefinida da função y Resolução A integral indefinida se escreve: d Observamos que o denominador é um polinômio de segundo grau que tem raízes: Assim, podemos escrever o polinômio de segundo grau sob a forma: e, portanto, ( + ) A B ( + )

9 400 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Resta-nos agora encontrar A e B. De 8.4 podemos escrever A( + )+ B + Essa igualdade entre polinômios é verdadeira para qualquer valor de. Assim, fazendo : A 0+ B B : A ( )+ B 0 A temos A integral indefinida que se quer determinar pode ser escrita como a integral da soma de duas frações parciais: d + 3+ d + + d + + C C + ln ln 8.45 Donde concluímos que: + d ln + C, onde C C + C Alguns eemplos resolvidos 8.5. Primitivação por partes Lembremos novamente que d d f g f g f g desde que f e g sejam funções deriváveis. 8 Outras Técnicas de Integração

10 E, portanto: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 40 + f g f g f g d f g d + f g d 8.48 ou seja, f g d f g f g d 8.49 Fazendo u f() e v g(), temos du fʹ()d e dv gʹ()d e daí podemos escrever: udv uv v du 8.50 Eemplo 8: Determine a integral indefinida: ln d. A fim de calcular esta integral, é preciso fazer uma escolha para u e dv. Vejamos: colocando u e dv ln d, encontramos du d, mas não conseguimos facilmente determinar v ln d. Isso nos leva a tentar a outra escolha: u ln e dv d 8.5 du d v e 8.5 Logo, d d ln ln ln d ln + C Eemplo 9: Determine a integral indefinida: ln d. Neste eemplo há apenas uma possibilidade de escolha: u ln e dv d 8.54

11 40 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Logo, du d e v ln d ln d ln + C Eemplo 0: Determine a integral indefinida: e d. Neste eemplo fazemos: u e dv ed 8.57 Logo du d e v e e d e e d e e + C Sugestão! Faça a outra possível escolha e convença-se de que ela não é adequada. Eemplo : Calcule a integral indefinida arctg d. Neste eemplo fazemos: u arctg e dv d 8.60 du + d e v 8.6 Logo, arctgd arctg arctg ln d ( + + )+ C Outras Técnicas de Integração

12 Eemplo : Calcule a integral indefinida: sen d. Neste eemplo fazemos: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 403 u e dv sen d 8.63 du d e v cos 8.64 Logo, Eemplo 3: Calcule a integral indefinida: e sen d. Neste eemplo fazemos: send cos + cosd cos + sen + C 8.65 u e e dv sen d 8.66 Logo, du ed e v cos 8.67 e send e cos + e cos d Chegamos a uma integral com o mesmo grau de dificuldade e para a qual aplicamos a mesma técnica, fazendo: 8.68 u e e dv cos d 8.69 Logo, du ed e v sen e send e cos + e cosd e cos + e sen e sen d e send e cos + e sen + K

13 404 ou seja, Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo e e send ( sen cos )+ C onde C K 8.73 Sugestão! Determine novamente a integral fazendo a outra escolha possível. Eemplo 4: Determine a integral indefinida: e d. Fazemos Logo, u e dv e d e du d e v e e e d d d e + + e A nova integral é mais fácil do que a inicial. Aplicando novamente a técnica de integração por partes, temos: u dv e e d e du d e v Logo e e e e e e d + d + e d 4 + C Outras Técnicas de Integração

14 Assim, a solução da integral inicial é: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 405 e e e e e d + C + + C Primitivação de frações racionais transformando-as em frações parciais Vejamos alguns eemplos que envolvem a integração de funções racionais, isto é, funções que são quociente de funções polinomiais. Eemplo 5: Determine a integral indefinida: 6 + d. Observamos que, neste eemplo, a fração dada não pode ser transformada na soma de duas frações mais simples, uma vez que o denominador não é fatorável. Entretanto, é um eemplo muito importante e, por esse motivo, o apresentamos em primeiro lugar, ao pensar na integração de funções racionais. 6 + d d 6 d Fazendo: 8.8 e então 6 + d 6 d u du d u 4du arctgu+ C arctg C O raciocínio utilizado pode ser, evidentemente, generalizado para qualquer integral indefinida do tipo a + d, onde a é um número real não nulo.

15 406 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Eemplo 6: Calcule a integral: 4 d. A fração racional, que constitui o integrando, pode ser decomposta na soma de duas frações mais simples: A B A fim de encontrar os coeficientes A e B, temos, a partir da igualdade acima: A( + )+ B onde temos dois polinômios idênticos, ou seja, a igualdade entre eles vale para qualquer valor real da variável. Em particular, quando 4B B 4 4A A Daí, podemos escrever: E, portanto, d 4 d 4 + d ou seja, d 4 4 C ln ln ln 4 Eemplo 7: Calcule a integral indefinida: 5 d. Vamos decompor a fração racional em frações mais simples: A partir da igualdade acima, podemos escrever: A B D C A ( 5 )+ B ( 5 )+ D Outras Técnicas de Integração

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo onde temos dois polinômios idênticos, ou seja, a igualdade entre eles vale para qualquer valor real da variável. Em particular, quando 0 5B B 5 5 5D D 5 4A+ 4B+ D 4A+ A Daí, podemos escrever: 5 d 5 d 5 d 5 5 d ln ln 5 + C 5 ln C Eemplo 8: Obtenha a integral indefinida dada a seguir: d. + + Observamos, em primeiro lugar, que o polinômio que está no denominador do integrando é irredutível; logo, não pode ser fatorado, pois seu discriminante é negativo, isto é Δ < 0. Completando os quadrados, podemos escrever: e, portanto, podemos escrever: d d Agora, na nova integral, notamos que, ao fazer a substituição, d u + du d obtemos no integrando a derivada da função arctg. De fato, 4 4 d d arctg C 7 du u C u + 4 arctg

17 408 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Observação: A técnica de decomposição em frações parciais baseia-se em alguns teoremas, que passamos a enunciar. Um maior aprofundamento sobre essa técnica pode ser encontrado em Teorema Sejam a, b, α e β números reais, com α β. Então, eistem números reais A e B, tais que: a + b A B ( α) ( β) α + β 8.98 Teorema Sejam α e β números reais, com α β e P um polinômio cujo grau é estritamente menor que 3. Então, eistem números reais A, B e D, tais que: P A B D + + ( α) ( β) α β β 8.99 Teorema 3 Sejam b, c, α números reais e P, um polinômio cujo grau é estritamente menor que 3. Suponhamos ainda que + b + c não admita raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, eistem números reais A, B e D, tais que: P A B D ( ) ( + b + c) + + α α + b+ c 8.00 Teorema 4 Sejam b, c e α números reais e P, um polinômio cujo grau é estritamente menor que 5. Suponhamos ainda que + b + c não admita raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, eistem números reais A, B, D, E e F, tais que: P ( α) + b + c A B + D E F + + b+ c + + α + b+ c Outras Técnicas de Integração

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 409 Precisamos observar que o polinômio do denominador sempre pode ser decomposto num produto de fatores do primeiro ou do segundo grau. Os fatores de primeiro grau aparecem quando eistem raízes reais; as raízes compleas são responsáveis pelos fatores de segundo grau. Evidentemente, todos esses teoremas poderiam ser enunciados numa forma mais geral. O que precisa estar claro é o fato de que o grau do polinômio do numerador deve ser estritamente menor do que o grau do polinômio do denominador para podermos efetuar a decomposição em frações parciais. Se não for esse o caso, primeiro fazemos a divisão de polinômios, a fim de tornar o problema mais simples e poder decompor a fração Primitivação com substituições trigonométricas Eistem situações em que substituições que envolvem funções trigonométricas são muito úteis. Eemplo 9: Calcule a integral indefinida: d. Neste caso, fazendo + tg θ d sec θ dθ 8.0 temos: π π Note que < θ <, a fim de que a função tg θ seja inversível e, portanto, sec θ secθ secθ, π π uma vez que, para < θ <, sec θ > 0. Agora, secθdθ sec θ d dθ secθdθ + tg θ + sec θ. secθ+ tg θ sec θ+ sec θ.tgθ dθ ( secθ+ tg θ) dθ ln secθ+ tg θ + C ( secθ + tg θ) (observe o artifício de multiplicar e dividir por sec θ + tg θ, a fim de obter, no numerador, a derivada do denominador)

19 40 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Retornando à variável, obtemos: d ln C (Verifique!) Eemplo 0: Calcule a integral indefinida: + d. Começamos utilizando a integração por partes, fazendo: Então, u + e dv d du + d e v d + d + + d Ainda podemos escrever + + d + d + d + + e, a partir daí, + + d + d d + + d Para a última integral, utilizamos o eemplo anterior e obtemos então: + d ln C + 8. Eemplo : Determine a integral indefinida: d. 8 Outras Técnicas de Integração

20 Neste caso, fazendo Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 4 senθ d cosθdθ 8. π π e observando que < θ <, a fim de que a função sen θ seja inversível, temos: d sen θ cosθdθ cos θdθ 8.3 π π onde observamos que sen θ cos θ cos θ cosθ, uma vez que, para < θ <, cosθ > 0. Assim, + cos θ θ sen θ d cos θdθ d θ + + C 4 (lembre-se de que cos θ cos θ sen θ, isto é, cos θ cos θ, ou seja, cos θ + cos θ ). Retornando à variável, temos: 8.4 arcsen sen(arcsen )cos(arcsen ) arcsen d + + C C 8.5 (Verifique!)