INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS

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2 Cálculo Volume Dois - 40 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Quando uma função racional da forma N()/D() for tal que o grau do polinômio do numerador for maior do que o do denominador, podemos obter sua integral através da divisão dos polinômios. Acompanhe o próimo eemplo: Eemplo 9I A integral 3 1 não pode ser obtida através de uma substituição. No entanto, podemos dividir o numerador pelo denominador usando o algoritmo de Briot-Ruffini: raiz do divisor resto Assim, usando o algoritmo da divisão, podemos escrever: Veja que a epressão do º membro poderá ser muito mais facilmente integrada utilizando-se os procedimentos já estudados até então. Para obtermos a integral de /(-1), usamos mentalmente uma substituição simples, que o leitor poderá sentir necessidade de fazê-la neste momento ( 4) = 4 6ln( 1) c O resultado obtido poderá ser facilmente derivado, fazendo-se assim a prova real de integração, o que deiamos para o leitor. Vejamos agora mais uma regra de integração que em muito ajudará nos demais casos em que a função racional N()/D() apresentar D() com grau maior que N(): 1 (I17) ln(m n) c m n m Vejamos alguns eemplos: 1 ln( 7) ln( 7) c ln(3 7) c ln( 7) c 7 A justificativa desta regra é bastante simples, pois utiliza em sua argumentação o método de Integração por Substituição: Realmente, se chamarmos o denominador de g, derivamos e epressamos como função de g. dg g m n dg m m n m dg / m 1 dg 1 1 lng ln(m n) c m n g m g m m

3 Cálculo Volume Dois - 41 Há casos em que a função racional N()/D() apresenta D() com um maior grau. Nestes casos, podemos tentar usar a técnica denominada Integração por Frações Parciais, que consiste em fatorar o denominador em fatores mais simples e obter uma epressão equivalente para N()/D() que possa ser mais facilmente integrada. De fato, se chamarmos g = 1, o numerador não será uma epressão de g e de dg apenas. Usamos aqui a diferença entre dois quadrados, o que foi apresentado no nosso Volume Zero. Os numeradores deverão ser números, pois seus graus necessariamente deverão ser menores do que os denominadores. Eemplo 9J Obtenha a integral. 1 Veja que nenhum dos métodos conhecidos se aplicam aqui antes de continuar. Como se trata de uma função racional N()/D() com o grau de D() maior do que o de N(), vamos tentar fatorar o denominador: 1 ( 1) ( 1) Em seguida, podemos supor que a função racional seja o resultado de uma soma algébrica de duas funções com os denominadores eatamente iguais aos fatores encontrados, isto é: A B Veja como o lado direito está bem mais fácil de ser integrado. Nosso problema agora consistirá em obter os números A e B que satisfaçam a esta igualdade. Para tanto, multiplicamos cada fração parcial pelo número 1 escrito com o denominador da outra a fim de obtermos frações com mesmos denominadores: Agindo assim, obtivemos duas frações com denominadores iguais ao da função racional e, portanto, numeradores que também deverão se corresponder. Como a fração inicial não tem termos em, segue que A+B deverá ser nulo. Por outro lado, B-A deverá ser eatamente igual a. A B A 1 B A A B B 1 ( 1) ( 1) (A B) B A 1 1 A partir desta última igualdade, podemos obter o seguinte sistema de equações envolvendo os números A e B: Podemos fazer facilmente a prova real desta igualdade usando a mesma estratégia de multiplicar cada fração do º membro pelos números 1 escritos de modo conveniente. (A B) B A 1 1 A B 0 A B B B 1 A B 0 A 1 0 A 1 Assim, chegamos à seguinte epressão equivalente para o integrando:

4 Cálculo Volume Dois - 4 Integrar o lado esquerdo, portanto, equivalerá a integrar o lado direito da epressão: ln( 1) ln( 1) c O resultado obtido poderá também ser facilmente derivado com o intuito de obtermos o integrando inicial como prova real, o que também deiaremos para o leitor. Eemplo 9K 5 7 Obtenha a integral. ( 3) Inicialmente, tentamos desenvolver o denominador na epectativa de obtermos uma substituição simples: Se u = , teremos du = (+6) = (+3) e o numerador não apresenta esta forma para tal substituição ( 3) 6 9 Assim, precisamos considerar que a fração do integrando tenha sido obtida a partir da soma das seguintes frações parciais: Se conseguirmos epressar o integrando desta forma, ficará fácil integrar o lado direito e, consequentemente, o lado esquerdo. Resolvendo-se o lado direito, teremos: 5 7 A B 3 ( 3) ( 3) 5 7 A ( 3) B A (3A B) ( 3) ( 3) ( 3) Com isso, concluímos claramente que: Como no eemplo anterior, fomos conduzidos a um sistema linear. A 5 3A B B 7 B 8 Logo: A segunda integral é resolvida por uma simples substituição como se vê ( 3) ( 3) 1 u 3 du 8 8 u 8 8 du 8 u du 8 ( 3) u 1 u ln( 3) c ( 3) 3

5 Cálculo Volume Dois - 43 Realmente, + 1 não pode ser fatorado em produto de epressões do 1º grau. A segunda fração, por ter denominador do º grau, poderá ter numerador do 1º, o que fazemos igual a B + C. Caso tivéssemos recaído numa integral 1 do tipo 1, usaríamos o resultado arco tangente de (I19), a ser apresentado na próima seção. Eemplo 9L 3 Obtenha a integral. 1 Como o fator + 1 é irredutível, vamos epressar o integrando como a soma de duas frações: 3 A B C ( 1) 1 A B 0 A A B C (A B) C A C 0 ( 1) ( 1) A 3 B ( 1) ( 1) 1 u 1 du du / du / ( 1) u 3 3ln ln( 1) c Muitas vezes, o fator em ao quadrado do denominador é irredutível e completo, isto é, apresenta coeficientes não-nulos em, em 1 e em 0. Nestes casos, iremos usar a técnica do completar o quadrado, conforme podemos ver no próimo eemplo. Novamente, aqui não pode ser fatorado num produto de epressões do 1º grau (veja, por Bhaskara, que = Eemplo 9M 1 Obtenha a integral Como o denominador é irredutível, vamos usar a técnica de completar o quadrado para ele: ( 1) 6 (1) Desta forma: Inicialmente, fazemos u = + 1 e substituímos na integral. Como o numerador é uma soma, poderá ser dividido em integrais. A 1ª delas pode ser resolvida por uma outra substituição, v = u + 6, enquanto que a segunda pode ser resolvida com o auílio da Breve Tabela de Integrais (19), pois relaciona-se ao arco tangente. Após a integração, retrocedendo todas as substituições, obtemos a epressão final em. Veja que utilizamos o resultado do arco tangente que será detalhado na próima seção ( 1) 6 u 1 du u 1 du u 1 u du du 1 u 1 du u 6 u 6 u 6 1 u 1 1 = du du 4 4 u 6 u 6 dv v u 6 dv udu udu dv du v 4 u u = ln(u 6) atan c = ln[(4 4 7] atan c

6 Cálculo Volume Dois - 44 EXERCÍCIO IMEDIATO Dica 14: itens (, (b), (c) e (d): inicie dividindo o numerador pelo denominador. Itens (e), (f), (g), (h), (i): inicie separando a fração em duas frações parciais cujos denominadores são os fatores da fração original. Itens (j), (k), (l): inicie escrevendo a fração inicial como soma das frações de numeradores números e denominadores potências 1 e do denominador da fração inicial. Itens (m) e (n): como em (j). Item (o): complete o quadrado do denominador irredutível. 14) Obtenha as integrais das seguintes funções racionais: d) g) j) b) c) 1 e) 1 ( 1) ( ) h) ( 1).( 1) ( 5) ( 4) 1 k) l) ( 6) ( ) 4 m) n) o) 9 16 EXERCÍCIO INTERMEDIÁRIO f) i) ( 3) ( 4) 1 ( 6) ( 5) ( 5) 6 13 Dica 15: itens (, (b): desenvolva antes os numeradores. Itens (c), (d): fatore os denominadores. Itens (e), (f): divida o numerador pelo denominador. Item (g), (h): fatore os denominadores. Item (j): divida o numerador pelo denominador. Itens (k), (l): fatore os denominadores antes de dividir. Itens (m), (n), (o): fatore os denominadores. Item (p): inicie dividindo. Itens (q), (r): fatore o denominador. 15) Obtenha as integrais das seguintes funções racionais: ( 1) ( 5) ( 3) ( 4) b) c) 1 d) e) f) g) i) 1 j) k) 3 5 l) m) 3 n) o) p) q) 5 3 r) i) 8 7 ( ) ( 1) EXERCÍCIOS AVANÇADOS Dica 16: Itens (, (b), (c): decomponha a fração inicial na soma de três frações parciais. Item (d): inicie fatorando o denominador. Item (e): decomponha na soma de duas frações parciais. Item (f): decomponha na soma de quatro frações parciais. Dica 17: Item (: Divida, depois fatore, depois decomponha em frações parciais. Item (b): fatore, decomponha e complete quadrados. 16) Obtenha as integrais das seguintes funções racionais: b) c) ( 1) ( ) ( 3) ( 1) ( 3) ( ) 3 d) 3 17) Obtenha as integrais: 4. b) e) f) ( 1) ( 4) 3 ( 5)

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