Os números reais. Capítulo O conjunto I
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- Lorena Henriques Amaro
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1 Capítulo 4 Os números reais De todos os conjuntos numéricos que estudamos agora, a transição de um para outro sempre era construída de forma elementar A passagem do conjunto dos números racionais aos reais não é tão simples e, por isso, faremos uma etapa intermediária sobre o conjunto dos números irracionais 4 O conjunto I A definição mais simples para os números irracionais é a que os considera como as expansões decimais que não são finitas nem periódicas Um dos principais problemas enfrentados ao demonstrar que um número é de fato irracional é que não há um único método Em alguns casos nenhuma ferramenta simples resolve isto Por exemplo, para números irracionais que não advém de polinômios, como é o caso das raízes (quadradas, cúbicas,) Mostrar que os números π e e (número de Euler) são irracionais necessita o uso do Cálculo Um fato curioso que os livros do Ensino Básico costumam exibir é o diagrama abaixo e à esquerda, mostrando o comportamento dos conjuntos numéricos clássicos dentro dos números reais Este diagrama dá uma boa ideia dessa organização, embora não seja realista Na prática, o conjunto dos números reais é basicamente composto de irracionais, enquanto os naturais, inteiros e racionais são uma pequeniníssima fração destes Em breve, ao lidarmos com o tema de enumerabilidade, poderemos demonstrar este fato O nosso foco para as etapas a seguir é nos números irracionais chamados algébricos, os construídos através de polinômios 9
2 Um irracional bastante conhecido (e simples) é o número 2, a medida do comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado mede Exemplo 2 não é um número racional Prova: Primeiramente, verificamos que o número admite expansão decimal Como tem-se < 2 < 4, e a função "raiz quadrada" é crescente, então < 2 < 2 Com isso, usamos que, 4 2 =, 96 e, 5 2 = 2, 25 para escrever, 4 < 2 <, 5 Podemos continuar com este procedimento e mostrar que uma expansão decimal pode ser encontrada para este número Mas como faremos para mostrar que, de fato, tal expansão não pode ser nem finita nem enumerável? A princípio, seria necessário conhecer todas as casas da expansão e verificar se ela acaba ou se começa a se repetir a partir de algum momento Isto é impossível de ser feito! Suponha, por contradição, que 2 é um número racional, ou seja, que pode ser escrito como a/b, sendo a e b coprimos para que a fração seja irredutível 2 = a b = 2 = a2 b 2 = a 2 = 2b 2 Assim, obtemos que a 2 é par Então temos que a é par Logo, podemos escrever a = 2a e substituir na linha acima (2a ) 2 = 2b 2 = 4a 2 = 2b 2 = b 2 = 2a 2 Observe que, com a mesma justificativa, b é par Mas supomos inicialmente que a e b não eram simultaneamente pares, o que é uma contradição Tal contradição nasceu porque supomos que era possível escrever uma fração irredutível correspondente a 2 Assim, este número não é racional Como admite uma expansão decimal (, ), é um número irracional Exercício 4 Verifique que a é par a 2 é par, sendo a Z O procedimento acima pode ser repetido, mudando apenas alguns detalhes, para mostrar que outros números semelhantes são irracionais Exemplo 2 2 não é um número racional Prova: Suponha, por contradição, que 2 é um número racional da forma a/b, com sendo a e b coprimos para que a fração seja irredutível Em particular, a e b não podem ser simultaneamente pares 2 = a b = 2 = a b = a = 2b Assim, a é par e, consequentemente, a é par Escrevemos a = 2a e substituímos na linha acima Ou primos entre si 20
3 (2a ) = 2b = 8a = 2b = b = 4a Com a mesma justificativa, b é par Já que supomos que a e b não eram simultaneamente pares, não há como escrever 2 como fração irredutível e, com isso, este número não é racional Por outro lado, como 2, (ou seja, o número admite expansão decimal), ele é um número irracional Exercício 42 é racional? Justifique sua resposta Exercício 4 6 é racional? Justifique sua resposta Exercício 44 é racional? Justifique sua resposta Exercício 45 Mostre que é um número natural 4 Racionalização de expressões numéricas envolvendo irracionais Na Escola Básica, é comum dizer que sempre é necessário eliminar os números irracionais do denominador de uma fração mas oculta-se o motivo: é difícil conseguir mensurar, por exemplo, quanto é,7? Esta divisão é difícil de ser feita, comparada com,7 Dividir um decimal por um número inteiro é muito mais simples que o contrário Esta é a principal motivação para racionalizar, isto é, eliminar números irracionais do denominador de uma fração O método depende apenas do uso de produtos notáveis (nos casos mais simples) Em geral, usaremos que Exemplo Racionalize 5 x 2 y 2 = (x y)(x + y) x y = (x y)(x 2 + xy + y 2 ) x + y = (x + y)(x 2 xy + y 2 ) Multiplicamos e dividimos a expressão por 5 e obtemos o resultado desejado = 5 5 = Exemplo 4 Racionalize 5 7 Multiplicamos e dividimos por ( 5 7) 4 Exemplo 5 Racionalize 5 5 = ( 5 7) 4 ( 5 7) = Usamos o produto notável 5 = ( 5 )( 5+ ) e, por isso, multiplicamos e dividimos por ( 5 + ): 5 = 5 + = ( 5 )( 5 + ) = 2
4 Exemplo 6 Racionalize 2 Usamos o produto notável 2 = ( 2)( ) 2 = 2 Exercício 46 Racionalize = = O conjunto R Finalmente chegamos ao conjunto dos números reais Na nossa definição (que não é a usual), R é o conjunto de todas as expansões decimais, sejam elas finitas ou infinitas, periódicas ou não R = Q I Para formalizar melhor, deveríamos construir o conjunto dos reais utilizando algum método clássico, como Sequências de Cauchy ou Cortes de Dedekind Por se distanciar do objetivo deste curso, utilizamos a definição mais simples e intuitiva Por exemplo, o número 0, é um real pois é uma expansão decimal (infinita e não periódica, ou seja, é um número irracional) Números reais podem ser adicionados e multiplicados e tem as mesmas propriedades associativa, comutativa, existência do elemento neutro, existência de simétrico, existência de inverso, distributividade da multiplicação em relação à adição e não possui divisores de zero Assim, R é um corpo Faremos a ordem segundo duas versões: a primeira delas é a clássica para esta disciplina, usando a ideia de complemento natural, na qual dados dois números reais x e y, dizemos que x y se existe um número real positivo p tal que x + p = y ou se x = y A segunda versão, compatível com esta, é uma semelhante à ordem utilizada para organizar as palavras em um dicionário Considere a expansão decimal de x e y Teremos uma das três possibilidades: Se um dos números é positivo e o outro é negativo, então o positivo é sempre maior que o negativo Se m e n são negativos, então consideramos seus simétricos x e y Com isso, teremos que x y = y x 2 Se m e n são positivos, então comparamos inicialmente as partes inteiras Caso estas partes sejam iguais, comparamos a primeira casa decimal desses dois números Persistindo o empate, comparamos a segunda casa decimal e assim sucessivamente Se as partes inteiras e todas casas decimais são iguais, os números são iguais Exemplo 7, 478 <, 487 pois o desempate ocorre na terceira casa decimal (7 < 8) A ordem nos reais possui as mesmas propriedades que vimos anteriormente: reflexividade, antissimetria, transitividade, tricotomia e compatibilidade com a adição e a multiplicação Vale ressaltar mais uma vez que, dados reais x, y e z, então x y = xz yz apenas se z 0 Exercício 47 Mostre que, dados a, b, c, d R tais que a b e c d, então a + c b + d 2 Note que é necessário comparar os termos positivos x e y, ou seja, sempre este caso recai no terceiro 22
5 Exercício 48 Mostre que, se 0 < a < b e 0 < c < d, sendo a, b, c, d R, então 0 < ac < bd Exercício 49 Dado x R, x 0, considere seu inverso x Mostre que: a) x > 0 = x > 0 b) x < 0 = x < 0 c) x > 0 e y > 0 = x/y > 0 [Sugestão para a: Usando a tricotomia, mostre que não pode ocorrer x < 0 ou x = 0] Exemplo 8 Prove que 0 < x < y = 0 < y < x Prova: Do exercício anterior, temos que x > 0 e y > 0 Portanto, multiplicamos ambos lados de x < y por x y : y = (x x )y < (y y )x = x Exercício 40 No exemplo anterior, o que aconteceria se x < y < 0 ou x < 0 < y? Exercício 4 Prove que, para todos x, y R, tem-se: a) xy > 0 x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0 b) x 2 + y 2 = 0 = x = y = 0 c) x, y > 0 e x 2 < y 2 = x < y Exercício 42 Apresente números reais a, b, c, d tais que Exemplo 9 Resolva a equação x + 2 x < a < 0 < b c < 0 < d a 2 > b 2 c 2 < d 2 Solução : Transformar numa desigualdade que possua um dos membros sendo zero x + 2 x < = x + 2 x x x < 0 = x < 0 O numerador é sempre positivo Para que o quociente seja negativo, é necessário que o denominador seja também negativo Logo, o conjunto solução é S = x R x < } Solução 2: Transformar numa desigualdade sem frações Neste caso, multiplicamos ambos lados por x ATENÇÃO! Quando multiplicamos por x, não sabemos se esse número é positivo ou negativo Por isso, é necessário pensarmos em todos os casos! Se x > 0, a desigualdade não se altera Assim, temos que x + 2 < x, ou seja, 2 < Isto quer dizer que nenhum número real que satisfaz x > 0 satisfaz também a outra condição Não há solução neste primeiro caso Se x < 0, então a desigualdade deve ser invertida Obtemos x + 2 > x e, por fim, 2 >, o que é uma verdade satisfeita por todos números tais que x < 0 Logo, a solução para este caso é x < (o cruzamento da solução da desigualdade e da condição de existência da desigualdade) Juntando as duas possibilidades, encontramos o mesmo que antes: S = x R x < } 2
6 O exemplo anterior busca evidenciar que existe mais de uma forma de resolver desigualdades envolvendo os elementos dos conjuntos numéricos estudados até aqui Entretanto, devemos tomar bastante cuidado ao multiplicar ou dividir Lembre-se de que toda vez que isso for feito, é necessário considerar quando este termo escolhido é positivo ou negativo Exemplo 0 Resolva a inequação x2 4x + 4 x 2 4 < x2 x + x + 2 Primeiramente, notamos que a primeira fração pode ser simplificada, já que x 2 4x + 4 = (x 2) 2 e x 2 4 = (x 2)(x + 2) Isto pode ser feito pois o termo a ser descartado não pode ser zero Assim, obtemos x 2 x + 2 < x2 x + x + 2 x2 4x + x + 2 > 0 Analisamos agora quando o numerador e o denominador são positivos ou negativos: Com isso, concluímos que o conjunto solução é S = x R 2 < x < ou x > } Exercício 4 Resolva as inequações a seguir: a) 2x + x + x + x 2 > b) c) x + (2x + 5)(5x + ) < 0 x < 2 x 2 d) x + x + 2 x + x + 4 e) 2 x x x + 4 Módulo de um número real O valor absoluto (ou módulo) de x R é definido como x, se x 0 x = x, se x < 0 Uma outra definição é que o valor absoluto de x é a distância entre x e 0 na reta real 24
7 4 Propriedades do valor absoluto i) x 0 x R e x = 0 x = 0 Se x é positivo, então seu módulo é ele mesmo (positivo) Se x é negativo, então seu valor absoluto é seu simétrico, um número positivo Da definição, segue que 0 = 0 ii) x = max x, x} De fato, não importa se x é negativo ou positivo: o valor absoluto é positivo Por outro lado, vimos que todo número positivo é sempre maior que qualquer número negativo Como exemplo, podemos tomar 5 = max 5, 5} Como consequência desta propriedade, temos que x x e x x iii) x 2 = x O caso x = 0 é trivial Se x é negativo, x 2 é positivo e a raiz quadrada deste número é positiva Se x é positivo, o resultado segue de forma fácil e direta também ATENÇÃO: É importante neste momento lembrar que não é verdade que, por exemplo, 4 = ±2 O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que uma equação polinomial p(x) = 0 possui n raízes complexas se p(x) é um polinômio de grau n Então, no nosso exemplo, partimos da equação x = 2 Elevando ambos lados ao quadrado, temos x 2 = 4, uma equação quadrática com duas raízes; é aqui que nasce a "outra" raiz 2 Mas de onde vem o "±"? A solução é simples! Ao invés de x 2 = 4 = = ±2, deveríamos fazer x 2 = 4 = x 2 = 4 = x = 2 = x = ±2 iv) Se r > 0, então x r para r x r e x > r para x > r ou x < r Para conseguir entender a veracidade disto, recorremos à interpretação geométrica O valor absoluto de x é a distância entre x e o 0 Na primeira parte, queremos que a distância seja menor que ou igual a r Os pontos que satisfazem essa condição são os tais que r x r Por outro lado, no segundo caso, queremos que a distância seja maior que r Analisando o eixo ordenado, x > r ou x < r v) (Desigualdade triangular) x + y x + y Da propriedade ii), temos que x x e y y Do exercício 47, concluímos que x + y x + y Também da terceira propriedade temos que x x e y y Pelo mesmo motivo, ( x + y ) x + y Agora resta observar a propriedade iv), fazendo r = x + y e substituindo x por x + y Obtemos, assim, que x + y x + y vi) xy = x y Utilizamos iii) e escrevemos xy = (xy) 2 = x 2 y 2 = x y 25
8 vii) x a é, graficamente, a distância entre x e a x a, se x a 0 x a = = (x a), se x < 0 x a, se x a a x, se x < a A parte em linha pontilhada é a medida da diferença entre a e x (na primeira figura) ou a diferença entre x e a Exercício 44 Verifique que a posição do zero não interfere o resultado desta propriedade, ou seja, analise os casos em que o zero está entre os dois números e os casos em que zero é o maior dos três números Exercício 45 Utilizando a noção geométrica do valor absoluto de um número real para a) mostrar que x + x + para todo x real b) verificar que não existem números reais x tais que x + + x < 4 c) determinar quais reais que satisfazem x + x + = 2 Exemplo Resolva a equação x + x 2 = x, se x x 2, se x 2 Da propriedade vii), temos que x = e x 2 = x, se x < 2 x, se x < 2 Organizando cada trecho nos intervalos em que eles ocorrem, temos a seguinte tabela: Para o primeiro trecho, a solução é x = 0; como o número encontrado é menor que, então é solução válida No segundo trecho, temos uma afirmação falsa sempre, ou seja, nenhum número entre e 2 é solução desta equação A solução para o último trecho é x = ; por ser um número maior que 2, é uma solução válida Assim, os números que resolvem esta equação são 0 e Exercício 46 Para quais valores reais de r a equação x + x 2 = r tem solução? Exercício 47 Resolva a inequação x + x 2 < Exercício 48 Resolva a inequação x 4 4x 26
9 Exemplo 2 Resolva a inequação + x < x Começamos investigando o que acontece com o módulo do lado direito da desigualdade: x, se x 0 x, se x x = x = x, se x < 0 x, se x < ou x > Por outro lado, analisamos o comportamento de x, que só depende de ser um número positivo ou negativo Assim obtemos: x, se x e x 0 x, se 0 x ( x), se x e x < 0 + x, se x < 0 x = x = x, se (x < ou x > ) e x 0 x, se x > ( x), se (x < ou x > ) e x < 0 x, se x < Com isso, obtemos quatro inequações para serem resolvidas: + x < x, se 0 x x < + x, se x < 0 + x < x, se x > x < x, se x < Resolvendo cada uma das inequações e observando os intervalos nos quais elas ocorrem, encontra-se a solução S = x R x < } Exercício 49 Resolva as equações a seguir: a) x 2 = x 2 b) 2x 2 + 5x = x 2 + 2x c) x 2 + 2x = x 2 + 2x + d) x 2 4x x + 6 = 0 Exercício 420 Resolva as inequações a seguir: a) x 2 6x + 5 < x b) 2x 6 x 4 x c) 2x + 2 d) x 2 x + > x 2 4x + 27
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