Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Conjuntos Numéricos 1.Conjunto dos números naturais 2.Conjunto dos números inteiros 3.Conjunto dos números racionais 4.Conjunto dos números reais 5.Intervalos 6.Conjunto dos números complexos 7.Resumo

3 1. Conjunto dos números naturais Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números N = { 0,1,2,3, } O conjunto N N { 0} * é denotado por = { 1,2,3, } N * OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se A * = A { 0} 3

4 1.1. Propriedades dos números naturais Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades, onde : a, b, c N 4

5 1.1. Propriedades dos números naturais [A.1] Associativa da adição ( a + b) + c = a + ( b + c) [A.2] Comutativa da adição a + b = b + a [A.3] Elemento neutro da adição a + 0 = a 5

6 1.1. Propriedades dos números naturais [M.1] Associativa da multiplicação ( ab) c = a( bc) [M.2] Comutativa da multiplicação ab = ba [M.3] Elemento neutro da multiplicação a 1= a 6

7 1.1. Propriedades dos números naturais [D] Distributiva da multiplicação relativamente à adição a( b + c) = ab + ac 7

8 1.2. A adição e a multiplicação nos números naturais N O conjunto é fechado para a adição e a multiplicação, ou seja, a soma dos números naturais é sempre um número natural e o produto de números naturais é sempre um número natural. Em símbolos escrevemos: a, b N,( a + b) N e ( a b) N Note que a subtração e a divisão nem sempre têm significado no conjunto dos números naturais. Por exemplo, 5 7 N e 10 3 N. Por isso, o conjunto subtração e a divisão. N não é fechado para a 8

9 2. Conjunto dos números inteiros Chama-se conjunto dos números inteiros símbolo o conjunto formado pelos números Z {, 3, 2, 1,0,1,2,3, } Z = 9

10 2. Conjunto dos números inteiros distinguimos três subcon- No conjunto juntos notáveis: Z { 0,1,2,3, } Z = = N + conjunto dos inteiros não negativos { } Z =, 3, 2, 1,0 conjunto dos inteiros não positivos {, 3, 2, 1,1,2,3, } * Z = conjunto dos inteiros não nulos 10

11 2.1. Propriedades dos números inteiros Neste conjunto são definidas também as operações de adição e multiplicação, que apresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1], [M.2], [M.3] e [D], a propriedade: [A.4] Simétrico ou oposto para a adição a Z a Z Para todo existe tal que a + ( a) = 0 11

12 2.1. Propriedades dos números inteiros Devido à propriedade [A.4], podemos definir emz a operação de subtração, estabelecendo que a b = a + ( b) para todos a, b Z 12

13 2.2. Operações no conjunto dos números inteiros Z O conjunto é fechado para a adição, a multiplicação e a subtração. Isto é, a adição, a multiplicação e a subtração de dois números inteiros resulta sempre num número inteiro. Em símbolos escrevemos: a, b Z,( a + b) Z, ( a b) Z e ( a b) Z 13

14 2.3. Os números inteiros e a reta Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada por meio do seguinte procedimento: a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem), que representa o inteiro 0 (zero): 0 14

15 2.3. Os números inteiros e a reta b) A partir de 0, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário u 0 cuja extremidade representará o inteiro 1: c) para cada inteiro positivo n, a partir de 0, marcamos um segmento de medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o inteiro n. u u u u u u u u u

16 2.3. Os números inteiros e a reta Exercício 1: Quais das proposições abaixo são verdadeiras? 2 N ( ) Z ( ) N ( )( ) a) 0 f) 3 b) 2 3 g) 4 5 Z c) N Z h) 0 Z ( ) d) N Z = Z i) 5 11 Z e) Z Z + = +

17 2.3. Os números inteiros e a reta Exercício 2: Sabendo que um número inteiro p é primo quando p 0, 1 e -1, e D p = {1, -1, p e p}, pergunta-se: Quais dos elementos de Z, abaixo relacionados, não são primos? { 12, 13,0,5,31, 1,2, 4,1,49,53 } 17

18 3. Conjuunto dos números racionais Dado um número inteiro q 1 e 1, o inverso 1 de q não existe em Z : Z. Por isso não podemos q definir emz a operação de divisão, dando significado ao símbolo. A superação dessa dificuldade p q se dará com a introdução dos números racionais. 18

19 3. Conjunto dos números racionais Chama-se conjunto dos números racionais símbolo Q o conjunto dos pares ordenados (ou frações) a, em que a Z e b Z *, para os quais b adotam-se as seguintes definições: 1 a ) igualdade: a c = ad = b d 2 a a c ad + bc ) adição: + = b d bd 3 a ) multiplicação: a c = b d ac bd bc 19

20 3. Conjunto dos números racionais No conjuntoq destacamos os subconjuntos: Q + : conjunto dos racionais não negativos Q : conjunto dos racionais não positivos Q * : conjunto dos racionais não nulos 20

21 3. Conjunto dos números racionais Na fração a, a é o numerador e b o denominador. Se a e b são primos entre si, isto é, se b mdc(a, b) = 1, dizemos que a é uma fração irredutível. Assim, as frações 2 b, 3 e 7 são irredutíveis, mas 6 não é

22 3. Conjunto dos números racionais São válidas as mesmas propriedades formais vistas para os números inteiros. Além dessas, temos também a seguinte: [M.4] Simétrico ou inverso para a multiplicação a b Q a b 0 Para todo e, existe b a b b a tal que a Q = 1 22

23 3. Conjunto dos números racionais Devido à propriedade [M.4], podemos * definir emq a operação de divisão, estabelecendo que a c a d = b d b c para a e c racionais quaisquer não nulos. b d 23

24 3.1. Representação decimal Notemos que todo número racional a pode b ser representado por um número decimal. Passa-se um número racional a para a forma de número b decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 24

25 3.1. Representação decimal 1 o ) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal exata. Exemplos: ,5 1 = 2 = 1 0,05 20 = = 0,027 25

26 3.1. Representação decimal 2 o ) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem indefinidamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplos: 1 0,333 0,3 (período 3) 3 = = 2 0, , (período ) 7 = = 11 1,8333 1,83 (período 3) 6 = = 26

27 3.1. Representação decimal Podemos notar também que todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração a e, portanto, representa um número racional. b 27

28 3.1. Representação decimal Quando a decimal é exata, podemos transformá-lo em uma fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplos: 37 0,37 = ,631 = ,4598 =

29 3.2. Determinação da fração geratriz Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurar sua geratriz, conforme o exemplo a seguir: Como exemplo, vamos determinar a fração geratriz do número 1, Seja x a fração procurada. Então, x = 1,

30 3.2. Determinação da fração geratriz 1 o passo: Multiplicamos o número por uma potência conveniente de dez (isto é, 10, 100, 1000, etc ), com o propósito de deslocar a vírgula de modo a posicioná-la imediatamente antes do primeiro período. Neste exemplo, a vírgula deve deslocar-se uma casa para a direita. Para isso, basta multiplicar o número por x = 13, (1) 30

31 3.2. Determinação da fração geratriz 2 o passo: Multiplicamos o número obtido, novamente, por uma potência conveniente de dez, de modo que a vírgula se desloque e se posicione imediatamente antes do segundo período. No exemplo, a vírgula deve deslocar-se duas casas para a direita. Para isso, multiplicamos ambos os membros da igualdade (1) por 100, obtendo a igualdade (2): x = , x = 1321,2121 (2) 31

32 3.2. Determinação da fração geratriz Subtraindo a igualdade (1) da igualdade (2), membro a membro, eliminamos todas as casas decimais. Em seguida, é só isolar x e simplificar a fração obtida. 1000x = 1321, x = 13, x = x = x = x =

33 3.2. Determinação da fração geratriz Exercício 3: Quais das seguintes proposições são verdadeiras? 4 11 a) N Q f), 7 3 b) Z Q g) 1 Q Z 2 c) 0 Q h) Q Z 7 Q 14 d) 517 Q i) Q Z 2 21 e) 0, Q j) é irredutível 14

34 3.2. Determinação da fração geratriz Exercício 4: Colocar na forma de uma fração irredutível os seguintes números racionais: a) 0,444 b) 0,32 c) 0, d) 54,2 e) 5,

35 4. Conjunto dos números reais Números irracionais: Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Por exemplo, o numeral decimal 0, (em que o número de algarismos 0 intercalados entre os algarismos 1 vai crescendo) é não periódico. Ele representa um número não racional. Outros exemplo de números irracionais: 1, , ,

36 4. Conjunto dos números reais Chama-se conjunto dos números reais - - aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas números irracionais). Dessa forma, todo número racional é número real, ou seja: Q R R 36

37 4. Conjunto dos números reais como: Além dos racionais, estão em R números 2 = 1, π = 3, a = 1, chamados números irracionais. 37

38 4. Conjunto dos números reais Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo, por meio da expressão p irracionais:,,, etc., em que p é primo e positivo. São

39 4. Conjunto dos números reais Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que, se α é irracional e r é racional não nulo, então: α + r, α. r, α/r e r/α são todos irracionais. Exemplos: , 3 2,, são irracionais

40 4. Conjunto dos números reais R No conjunto destacamos os subconjuntos: R + : conjunto dos reais não negativos R : conjunto dos reais não positivos R * : conjunto dos reais não nulos 40

41 4.1. Operações no conjunto dos números reais em R As operações de adição e multiplicação gozam das mesmas propriedades vistas para Q R o conjunto. Em de subtração e em * R é também definida a operação é definida a divisão. 41

42 4.2. Os números reais e a reta Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta: u 42

43 4.2. Os números reais e a reta Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se queremos, por exemplo, representar o número ½ sobre a reta, marcamos a partir de 0 um segmento de medida ½u no sentido positivo. A extremidade desse segmento representa ½. Na figura abaixo representamos sobre a reta vários números racionais

44 4.2. Os números reais e a reta Os números racionais, entretanto, não preenchem completamente a reta, isto é, há pontos da reta que não representam nenhum racional. Por exemplo, entre os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto que representa 2 = 1, (irracional). 44

45 4.2. Os números reais e a reta Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irracional (portanto, real), isto é, os reais preenchem completamente a reta π Essa reta, que representa reta real ou reta numérica. R, é chamada 45

46 4.2. Os números reais e a reta Na reta real os números estão ordenados. Um número a é menor que qualquer número x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua esquerda. a { x R / x < a} { x R / x > a} 46

47 4.2. Os números reais e a reta Exercício 5: Quais das proposições abaixo são verdadeiras? R R Q 3 a) 3 f) 4 ( ) b) N R g) R Q 3 2 c) Z R h) R Q d) R Q i) Q e) 4 R Q

48 4.2. Os números reais e a reta Exercício 6: Mostrar que = 1+ 3

49 5. Intervalos Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto ] a, b [ = { x R / a < x < b} que também pode ser indicado por a b. 49

50 5. Intervalos b) intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [ a, b ] = { x R / a x b} que também pode ser indicado por a b. c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto [ a, b [ = { x R / a x < b} que também pode ser indicado por a b. 50

51 5. Intervalos d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto ] a, b ] = { x R / a < x b} que também pode ser indicado por a b. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo. 51

52 5. Intervalos Exemplos: ] [ = { x R < x < } o 1 ) 2, 5 / 2 5 é intervalo aberto [ ] = { x R x } o 2 ) 1, 4 / 1 4 é intervalo fechado o ), 7 = x / x < 7 é intervalo fechado à esquerda 5 R 5 o ), 2 = x / < x 2 é intervalo fechado à direita 3 R 3 52

53 5. Intervalos Também consideramos intervalos lineares os intervalos infinitos assim definidos: ] [ = { R < } a), a x / x a que também podemos indicar por - a ] ] = { R } b), a x / x a que também podemos indicar por - a 53

54 5. Intervalos ] + [ = { R > } c) a, x / x a que também podemos indicar por a + [ + [ = { R } d) a, x / x a que também podemos indicar por a + e) ], + [ =R que também podemos indicar por

55 5.1. Representação gráfica Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue: ] a, b[ [ a, b] [ a, b[ ] a, b] ]-, a] ] a, + [ a a a a a a b b b b 55

56 5.1. Representação gráfica Exercício 7: Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos { x R x } { x R x } { x R x x } { x R x x } A = / 1 2 B = / 0 < < 3 C = / 0 ou > 2 D = / 1< < 0 ou 3

57 5.1. Representação gráfica Exercício 8: Descrever, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos: [ ] a) 1,3 [ [ b) 0,2 ] [ c) 3,4 ] [ d),5 e) 1, [ + [

58 5.1. Representação gráfica Exercício 9: Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta real, determinar AWB e AUB sendo A = [0, 3] e B = [1, 4].

59 5.1. Representação gráfica Solução: A B AWB AUB Então: AWB = [1, 3] e AUB = [0, 4]

60 5.1. Representação gráfica Exercício 10: Descrever os seguintes conjuntos 9 a) [ 1, + [,2 2 [ ] [ ] [ ] b) 1,2 0,3 1, 4

61 5.1. Representação gráfica Exercício 11: Determinar os seguintes conjuntos ] ] ] [ a) 2,1 0,5 [ ] [ ] b) 1,3 3,5

62 6. Conjunto dos números complexos Vimos que n a R, qualquer que seja o real a não negativo. Assim, por exemplo,,,,, e 6 π são números reais. Desde que o índice da raiz seja ímpar, os a a R+ n radicais da forma, em que, também representam números reais. É o caso, por exemplo, 3 5 de, e

63 6. Conjunto dos números complexos Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical não representa elemento de. Por exemplo, não é real, pois: n a R 1 1 = x 1= x 2 x R 2 x 0 e isso é impossível, pois se, então. 63

64 7. Resumo Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pela figura abaixo: N ZQRC Observamos que N Z Q R C. 64