Curso de Matemática Aplicada.

Transcrição

1 Aula 1 p.1/25 Curso de Matemática Aplicada. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE

2 Sistema de números reais e complexos Aula 1 p.2/25

3 Aula 1 p.3/25 Conjuntos Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo uma característica específica é fundamental em matemática Exemplo um conjunto de estações climatológicas, todas as letras do alfabeto membros ou elementos objetos individuais subconjunto qualquer parte de um conjunto conjunto vazio conjunto sem elementos

4 Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros

5 Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números Naturais ou inteiros positivos Usados para contar membros de um conjunto Inteiros Negativos e zero Permitem soluções de equações tais como em que e são quaisquer números naturais.

6 Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Conjunto dos números inteiros Números racionais ou frações Permitem soluções como a operação de divisão numerador denominador Os números inteiros são um caso particular dos números racionais, quando

7 Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Números racionais Números irracionais Tais como e são números que não são racionais, i.e., números que não podem ser expressos como

8 Aula 1 p.4/25 Conjunto de Números Reais Números racionais Números irracionais O conjunto de números racionais e irracionais é chamado de conjunto de números reais.

9 Aula 1 p.5/25 Representação decimal Qualquer número real pode ser expresso na sua representação decimal, e.g.,

10 Aula 1 p.5/25 Representação decimal No caso dos números racionais a expansão decimal pode terminar ou se ela não terminar um número ou um grupo de números passa a se repetir No caso dos números irracionais tais repetições não podem ocorrer, e.g.,

11 Aula 1 p.5/25 Representação decimal Para indicar os decimais que serão repetidos algumas vezes coloca-se pontos sobre os dígitos que estão sendo repetidos, e.g.,

12 Aula 1 p.5/25 Representação decimal É sempre possível considerar uma expansão de diversas formas, e.g.,

13 Aula 1 p.5/25 Representação decimal O sistema decimal utiliza dez dígitos O sistema binário utiliza dois dígitos O sistema octal utiliza oito dígitos e O sistema hexadecimal utiliza os dígitos e letras Obs: O número na base decimal é expresso por na base binária.

14 Aula 1 p.6/25 Representação Geométrica A representação de números reais como pontos em uma reta é chamado de eixo real. Para cada número real existe uma correspondência com cada ponto dessa reta.

15 Aula 1 p.6/25 Representação Geométrica Conj. Denso Entre quaisquer dois números racionais (e irracionais) na reta existe infinitos números racionais (e irracionais). Obs.: No sistema de representação numérico das máquinas computacionais (ponto flutuante) não é possivel representar um conjunto denso de pontos.

16 Aula 1 p.7/25 Axiomas *Se, então: Lei de fechamento e Lei comutativa da adição Lei associativa da adição Lei comutativa da multiplicação Lei associativa da multiplicação Lei distributiva é chamado identidade com respeito a adição é chamado identidade com respeito a multiplicação

17 Aula 1 p.7/25 Axiomas Para qualquer existe. Esse número é chamado de inverso com respeito a adição e é denotado por. Para cada existe. Esse número é chamado de inverso com respeito a multiplicação e é denotado por, ou.

18 Aula 1 p.7/25 Axiomas Com esse axiomas é possível operar de acordo com as regras usuais da álgebra. Em geral, qualquer conjunto, como os reais, que os membros satisfazem esses axiomas é chamado de campo. Observação: Na aritmética de ponto flutuante a Lei Associativa não é válida em todos os casos, i.e., no caso geral.

19 Desigualdades Se. é um número não negativo, então Se não existe a possibilidade. ser, então ou ou, que significa que é um número real que pode ou qualquer número menor que. Se e são quaisquer números reais, então: ou ou ou Lei transitiva se e, então se, então Se, e, então Se, e, então Aula 1 p.8/25

20 Valores absolutos, é, denotado por O valor absoluto de um número real definido por ; se se. se ou Por exemplo, Propriedades ou ou Aula 1 p.9/25

21 Aula 1 p.10/25 Expoentes e raízes O produto de mesmo expoente e vezes é denotado por é chamado de base. de um número real em que por ele é chamado

22 Expoentes e raízes O produto de de um número real por ele mesmo vezes é denotado por em que é chamado expoente e é chamado de base. Propriedades Aula 1 p.10/25

23 Aula 1 p.10/25 Expoentes e raízes Se, em que pertence aos inteiros positivos, é chamado de p ésima raiz de, e é escrita com Pode haver mais de um número que seja a p ésima raiz de. Por exemplo, desde que e existe duas raizes reais de. É costume se denotar a raiz positiva por e a negativa por. Se e são inteiros positivos, define se.

24 Logaritmos Se, é chamado de logaritmo de na base escreve se como, Se e são positivos e número real para. Propriedades, então existe um único Na prática duas bases são as mais utilizadas a base e base natural, conhecida como base do sistema Neperiana. Aula 1 p.11/25

25 Conjunto de pontos e intervalos Um conjunto de pontos (números reais) na reta real é chamado de conjunto de pontos unidimensionais. O símbolo representa qualquer número de um conjunto e é chamado variável. Os números e são chamados constantes. é chamado de intervalo fechado e é denotado por. é chamado de intervalo aberto e é denotado por. Os conjuntos de pontos chamados de intervalos semi abertos ou semi fechados denotados por e são. Aula 1 p.12/25

26 Aula 1 p.12/25 Conjunto de pontos e intervalos Exemplo O conjunto de todas os que representam, i.e., é representado pelo intervalo aberto. O conjunto de também pode ser representado por. Tal conjunto é chamado intervalo infinito ou ilimitado. Similarmente, representa todos os valores de na reta real.

27 Aula 1 p.13/25 Enumerabilidade Conjunto enumerável seus elementos podem ser colocados em uma correspondência 1 1 com os números naturais. Por exemplo, o conjunto de números pares um conjunto contável pois eles possuem uma correspondência 1 1 com os números naturais números pares é números naturais

28 Aula 1 p.13/25 Enumerabilidade Um conjunto é infinito se ele tem uma correspondência 1 1 com um sub conjunto dele mesmo. Um conjunto infinito é contavelmente infinito. Por exemplo, o conjunto de números racionais é contavelmente infinito enquanto os racionais não.

29 Aula 1 p.13/25 Enumerabilidade O número de elementos em um conjunto é chamado de número cardinal. Um conjunto contavelmente infinito é denotado ter cardinalidade (letra aleph null do alfabeto Hebreu) O conjunto de números reais (ou qualquer outro conjunto que possa ter correspondência 1 1 com este conjunto) é dado o número de cardinalidade, chamada cardinalidade do continuum.

30 Aula 1 p.14/25 Vizinhança Um conjunto de todos os pontos de tais que, em que, é chamado de vizinhança de um ponto. O conjunto de todos os pontos de tais que, em que é excluído, é chamado de vizinhança de um ponto sem a fronteira.

31 Aula 1 p.15/25 Pontos limites Os pontos limites, pontos de acumulação ou agrupamento de um conjunto de números é um número tal que toda a vizinhança sem fronteira de contenha membros do conjunto. Em outras palavras, para todo, por menor que seja, é possível achar um membro do conjunto o qual não é igual a mas é tal que. Considerando valores menores e menores de é possível verificar-se que deve existir infinitos valores de.

32 Aula 1 p.15/25 Pontos limites Um conjunto finito não pode ter pontos limites. Um conjunto infinito pode ou não ter pontos limites. Um conjunto que contém seus pontos limites é chamado de conjunto fechado. Exemplo O conjunto dos racionais não é fechado. por exemplo não pertence ao conjunto de números racionais. O conjunto é fechado.

33 Aula 1 p.16/25 Limitadores limite superior número tal que superiormente limite inferior se inferiormente. conjunto limitado se, de um conjunto existe um, o conjunto é dito limitado, o conjunto é limitado o.

34 Aula 1 p.16/25 Limitadores Mínimo limite superior Se é um número tal que nenhum dos membros do conjunto é maior que, mas existe ao menos um membro que ultrapassa para todo. Máximo limite inferior Se nenhum membro do conjunto é menor que, mas pelo menos um membro é menor que para todo. O Teorema de Weistrass Bolzano estabelece que todo o conjunto infinito limitado possui pelo menos um ponto limite.

35 Aula 1 p.17/25 N algébricos e transcendentais número algébrico Um número uma equação polinomial que é solução de em que positivo, chamado grau da equação. são inteiros e é um inteiro Um número que não pode ser expresso dessa forma é chamado número transcendental.

36 Aula 1 p.17/25 N algébricos e transcendentais Exemplo Números algébricos Números transcendentais Casos ainda não definidos

37 Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos Como não existe um número real que satisfaça a equação polinomial ou equações similares, os números complexos foram introduzidos. Um número complexo tem a seguinte forma em que e imaginária e Dois números complexos e somente se e são números reais chamados parte real e é chamada unidade imaginaria.. e são iguais se

38 Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos É possível se considerar os números reais como um subconjunto dos números complexos, com. O número O valor absoluto ou módulo de. O complexo conjugado de. corresponde ao número real. O complexo conjugado de um número. é definido como é definido como é denotado de

39 Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos No desenvolvimento de operações algébricas os números complexos podem ser operados como se fossem números reais substituindo. Do ponto de vista da fundação axiomática dos números complexos, é desejável tratar um número complexo como um par ordenado de números reais sujeitos a certas regras de operação:

40 Aula 1 p.18/25 Conjunto dos n complexos Tem se que em que é o símbolo para. associado Desigualdades não são definidas para números complexos. O conjunto dos números complexos obedecem os axiomas apresentados, então esse conjunto de números constitui um campo.

41 Aula 1 p.19/25 Forma polar Se escalas reais são escolhidas em dois eixos mutuamente perpendiculares e (os eixos e ) é possível localizar qualquer ponto no plano determinado por essas linhas pelo par ordenado chamado de coordenadas retangulares do ponto. pode ser expresso como um par ordenado é possível presentear tal número em um plano conhecido como plano complexo ou diagrama de Argand.

42 Aula 1 p.19/25 Forma polar,, em que o módulo é chamado de amplitude ou argumento, é o ângulo que a linha faz com o eixo positivo de.

43 Forma polar conhecida como a forma polar de um número complexo, em que e são as coordenadas polares. Propriedades Para e, em que é um número real. Aula 1 p.19/25

44 Aula 1 p.19/25 Forma polar O Teorema de Moivre é utilizada para determinar raizes de números complexos. Se é um inteiro positivo ( ( Disto tem se que haverá diferentes valores para.

45 Obrigada a todos! margarete@lac.inpe.br Aula 1 p.20/25