Conjuntos Numéricos. É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.

Transcrição

1 Conjuntos Numéricos INTRODUÇÃO Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns. Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números. Alguns termos: Pertinência Igualdade Conjunto vazio Conjunto universo É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados. Subconjuntos OBSERVAÇÕES: Relacionam ELEMENTO com CONJUNTO. Pertence Não pertence Relacionam CONJUNTO com CONJUNTO. Está contido Não está contido

2 2 Contém Não contém CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturais (N) N {0,, 2, 3,4,...}; N* {, 2, 3, 4,...} Números Inteiros (Z) Z {...,-3,-2, -, 0,, 2, 3,...} Z* Z -{0} Z+ {0,, 2, 3,...}; Z+ N Z- {0,-,-2,-3,...} Números Racionais (Q) Q {... -2;... ;... ⅝;... -⅓; 0;... ½;... ;...,5...} ½ 0,5 ¼ 0,25 ⅔ 0, N Z Q Se 2 é um número natural, ele também é inteiro e racional. Nem todo número racional é inteiro: ⅔. Nem todo inteiro é natural: -0. Números Irracionais π 3, , , Números Reais (R) N Z Q I R R* R - {0}

3 3 R+ conjunto dos números reais não negativos R- conjunto dos números reais não positivos INTERVALOS Qualquer subconjunto dos números reais. Intervalo aberto Intervalo fechado Intervalo semi-aberto à direita Intervalo semi-aberto à esquerda Intervalos infinitos

4 4 Operações com Intervalos Sejam A {x R I 2 < x < 5} e B { x R I 3 x < 8}. Determinar A B e A U B. Resolução A B A U B A 2 5 A 2 5 B 3 8 B 3 8 A B A U B Resposta: A B { x R I 3 x < 5} [3,5[ Resposta: A U B { x R I 2 < x < 8} ]2,8[ Sejam A {x R I - < x < 4} e B {x R I x 2}. Determinar A B e A U B. Resolução A B A U B A - 4 A - 4 B 2 B 2 A B Resposta: - 2 A U B Resposta: 4 A B { x R I - < x 2} ]-,2] A U B { x R I x < 4} ]-,4[

5 5 Operações com números reais Radicais Propriedades do radicais,, í Exemplos Simplificação de expressões com radicais Pré-Cálculo: Página 20 Capítulo 2 0) 26 30) 96 3) 8 Racionalização

6 6 34) 37) 38) Potenciação com expoentes racionais u u x+y + 53). 55). 3. 6) 9 63) 65). Polinômios e fatoração Adição, subtração e multiplicação de polinômios Um polinômio em x pode ser escrito na forma: a n x n + a n- x n a x + a 0 n número inteiro não negativo a n 0 Exemplos (2x 3 3x 2 + 4x ) + (x 3 + 2x 2 5x + 3) (4x 2 + 3x 4) (2x 3 + x 2 x + 2) (3x + 2). (4x 2 5) Operar na forma horizontal

7 7 (x 2 4x + 3). (x 2 + 4x + 5) Operar na forma vertical Produtos notáveis OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS (Continuação). PRODUTO de uma SOMA e uma DIFERENÇA: (u + v)(u - v) u 2 v 2 2. QUADRADO de uma SOMA de dois termos: (u + v) 2 u 2 + 2uv + v 2 3. QUADRADO de uma DIFERENÇA de dois termos: (u v) 2 u 2 2uv + v 2 4. CUBO de uma SOMA de dois termos: (u + v) 3 u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 5. CUBO de uma DIFERENÇA de dois termos: (u v) 3 u 3 3u 2 v + 3uv 2 v 3 Fatoração de polinômios usando produtos notáveis 2x 2 + 7x 4 x 3 9x 2x 3 + 2x 2 6x (Colocar em evidência os fatores comuns) 25 x 2 36 (Fatoração da diferença de dois quadrados) 9x 2 + 6x + (Trinômio do quadrado perfeito) x 3 64 (Fatoração da diferença de dois cubos)

8 8 Expressões fracionárias Domínio de expressão algébrica Observem-se os quocientes (razões) abaixo: 5+ + Expressão fracionária (ou fração), expressão algébrica Expressão fracionária (ou fração), expressão racional. Note que: Enquanto os polinômios são definidos para todos os números reais, algumas expressões algébricas não são para alguns números reais. Desta forma: Domínio da expressão algébrica: É o conjunto dos números reais que definem uma expressão algébrica. Definir o domínio das seguintes expressões: Simplificação de expressões racionais u, v e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. ; Exemplo: Numerador e denominador pedem fatoração em fatores primos; Removidos os fatores primos, tem-se a forma reduzida da expressão racional (ou número racional). OBSERVAÇÃO: As formas racional e reduzida da expressão têm que ser equivalentes, possuir o mesmo domínio. Operações com expressões racionais

9 9 u, v, w, z números reais, variáveis ou expressões algébricas, denominadores 0. ± ± ± ± çã ã çã Expressões racionais compostas x +2 x - 3 Equações Propriedades: a 2 a - b 2 - b u, v, w, z números reais, varáveis ou expressões algébricas. Reflexiva: u u Simétrica: u v v u Transitiva: u v e v w u w Adição: u v e w z u + w v + z Multiplicação: u v e w z u. w v. z Exemplo: Provar que x -2 e solução de x 3 x + 6

10 0 Equações lineares com uma variável Equação linear em x: ax + b a e b números reais, a 0 2(2x - 3) + 3(x + ) 5x Solução de equações por meio de gráficos y 2x 5 No gráfico o par ordenado é (5/2, 0) (5/2, 0) Os valores por onde a reta intercepta o eixo horizontal x são chamados raízes ou zeros da função. y 2x 2 3x 2 (Por fatoração) (- /2, 0) (2, 0) Propriedade do fator zero a e b números reais a. b 0 a 0 ou b 0 Inequações Inequações lineares com uma variável Inequação linear em x: ax + b < 0, ax + b 0, ax + b > 0, ax + b 0 a, b números reais, a 0 Propriedades Transitiva: u < v e v < w u < w Adição: u < v u + w < v + w

11 u < v e u < w u + w < v + z Multiplicação: u < v e c > 0 uc < vc u < v e c < 0 uc > vc OBSERVAÇÃO: As propriedades são verdadeiras se < é substituído por. Há propriedades similares para > e. 3(x ) + 2 5x > < 5 Soluções de inequações quadráticas x 2 x 2 > 0 2x 2 + 3x 20 x 2 4x + 0