Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos

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1 Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos 1 Conjuntos Um conjunto está bem caracterizado quando podemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou não ao conjunto. Surge assim uma relação também primitiva: relação de pertinência entre um elemento e um conjunto. Exemplos: números inteiros entre 0 e 100, inclusive; pontos em uma reta; números reais entre 0 e 1, exclusive. Notação: Conjuntos: letras maiúsculas latinas: A, B,C,... Elementos: letras minúsculas latinas: a,b,c,... Desse modo, se A denota o conjunto dos números inteiros entre 0 e 100, inclusive, então, 2 A (lê-se 2 pertence ao conjunto A ); se B denota o conjunto de pontos em uma reta, então 5 3 B (lê-se 3 5 pertence ao conjunto B ); se C denota o conjunto dos números reais entre 0 e 1, exclusive, então, 3 2 /C (lê-se 2 3 não pertence ao conjunto C ). Designando simbolicamente os elementos de um conjunto: (a) o conjunto A dos números primos positivos menores do que 10: A = {2,3,5,7}; (b) o conjunto B dos números pares positivos menores do que 6: B = {2,4}; 1

2 (c) o conjunto dos números inteiros não negativos, que denotaremos por N: N = {0,1,2,3,4,5,...}; (d) o conjunto D dos números inteiros não negativos menores do que 1000: D = {x N x < 1000}; (e) o conjunto E dos números fracionários cujos quadrados são maiores ou iguais a 9: E = {x F x 2 9}. 1.1 Subconjuntos Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4}, notamos que todo elemento de A pertence a B. Dizemos que A é parte de B ou que A está contido em B, ou que A é subconjunto de B, se e somente se todo elemento de A também pertence a B. Notação: A B. Se A B dizemos também que B contém A, e indicamos por B A. O conjunto vazio, /0, está contido em qualquer conjunto. Figura 1: Representação da relação A B 1.2 Operações Envolvendo Conjuntos Sejam P e Q dois conjuntos de um mesmo conjunto universo E. Passemos a estudar algumas operações entre envolvendo P e Q. 2

3 Interseção de Conjuntos Chama-se interseção de dois conjuntos P e Q de um conjunto universo E ao conjunto de elementos de E que pertencem simultaneamente a P e a Q. Indica-se a interseção por P Q (lê-se P inter Q). Notação: P Q = {x E x P e x Q}. Figura 2: Representação da relação P Q Exemplos: (a) Sendo P = {1,2,3,5} e Q = {1,3,5,7}, então P Q = ; (b) Sendo A = {1,3,5,7,...} e B = {0,2,4,6,...}, então A B = ; (c) Sendo M = {1,2,3,4,5} e S = {1,2,3}, então M S =. Figura 3: Representação da relação M S = S União de Conjuntos Consideremos os conjuntos P e Q de um universo E. Chama-se união (ou reunião) de P com Q ao conjunto de elementos de E que pertencem a P ou a Q (ou inclusivo). Indica-se a união de P com Q por P Q (lê-se P união Q). Notação: P Q = {x E x P ou x Q}. Graficamente, 3

4 Figura 4: Representação da relação P Q Exemplos: (a) Se A = {1,2,3} e B = {1,3,5}, teremos A B = ; (b) Se P = {0,2,4,6,...} e Q = {1,3,5,7,...}, teremos P Q = ; (c) Se D = {1,3,5} e F = {1,3}, então D F = =. Isto é, se F D, então D F =. Complementar de um Conjunto Dado um conjunto P contido num universo E, chama-se complementar de P ao conjunto de elementos de E que não pertence a P. Notação: o complementar de P é denotado por P c ou P, e P c = {x x E e x /P}. Figura 5: Representação de P c Exemplos: (a) Se E = {1,3,5,9,10} e P = {1,9}, então P c = ; (b) Se E = N e P = {2,4,6,8,...}, então P c =. (c) Se E = N e P = N, então P c =. 4

5 Diferença de Conjuntos Sejam P e Q dois conjuntos contidos num universo E. Chama-se diferença P Q o conjunto dos elementos do universo que pertencem a P, mas não pertence a Q. Notação: P Q = {x E x P e x /Q}. Graficamente, Figura 6: Representação de P Q Exemplos: (a) Se P = {1,3,5,7} e Q = {5,6,9}, então P Q = ; (b) Se P = {1,2,3,4,5} e Q = {1,2,3}, então P Q = {4,5} e Q P = ; (c) Se P = {0,2,4,6,...} e Q = {1,3,5,7,...}, então P Q =. Observe que P c = E P e P Q = P Q c. Considerando conjuntos quaisquer A, B, C e um universo E, são válidas as seguintes propriedades: (P1) A A = A; A A = A. (P2) A B = B A; A B = B A. (P3) A (B C) = (A B) C; A (B C) = (A B) C. (P4) A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C). 5

6 (P5) A E = A; A /0 = /0; A E = E; A /0 = A. (P6) E c = /0; /0 c = E; A A c = E; A A c = /0; (A c ) c = A. (P7) A (A B) = A; A (A B) = A. (P8) (A B) c = A c B c ; (A B) c = A c B c. 1.3 Produto Cartesiano Na definição de um conjunto a ordem dos elementos não interessa, porém, quando essa ordem interessa, os elementos são indicados entre parênteses. Quando houver dois elementos (a,b), o par é chamado de par ordenado; quando tivermos três elementos (a,b,c), cuja ordem importa, teremos uma tripla ordenada e assim por diante. Sejam os conjuntos A = {1,2} e B = {3,4,5}. Podemos formar um novo conjunto de pares ordenados, cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, isto é, 3 (1,3) 1 4 (1,4) 5 3 (1,5) (2,3) 2 4 (2,4) 5 (2,5) Figura 7: Produto cartesiano de A por B E, 6

7 Figura 8: Produto cartesiano de A por B Logo, {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}. Esse conjunto é chamado produto cartesiano de A por B e é denotado por A B. Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto dos pares ordenados cujos primeiros elementos pertencem a A e os segundos elementos pertencem a B, ou seja, A B = {(x,y) x A e y B}. Observação: A B é diferente de B A. 7

8 2 Conjuntos Numéricos Números Inteiros Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. Números Racionais Q = { a b a Z e b Z,b 0 }. Números Reais Medida da diagonal d de um quadrado de lado de medida igual a 1 = 2 número irracional. I conjunto dos número irracionais R = Q I. 2.1 Equações de Primeiro Grau Toda equação redutível à forma ax = b, em que a e b são números reais quaisquer com a 0. O valor b a é chamado de raiz da equação. Exemplos: Resolva as equações: (a) 4x 12 = 8 6x (b) x x 3 2 = Inequação de Primeiro Grau São inequações redutíveis a uma das formas: ax < b ou ax b ou ax > b ou ax b, em que a e b são números reais quaisquer com a 0. Exemplos: Resolva as inequações: (a) 3(x - 4) > x + 2 (b) 2(x - 1) < 5x + 3 8

9 2.3 Equações de Segundo Grau Toda equação redutível à forma ax 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são constantes reais quaisquer com a 0. As raízes desse tipo de equação são dadas por: x = b ± b 2 4ac, 2a no qual o valor b 2 4ac, indicado usualmente por (delta), é chamado de discriminante da equação, tal que Se > 0, a equação terá duas raízes reais distintas. Se = 0, a equação terá uma única raíz real. Se < 0, a equação não terá raízes reais. Exemplos: Resolva as equações de segundo grau: (a) x 2 4x + 3 = 0 (b) x 2 3x = 0 (c) x 2 9 = Intervalos Sejam os números reais a e b, tais que a < b. Intervalo aberto Conjunto dos valores reais entre a e b, excluídos os extremos a e b. Notação: (a,b) ou ]a,b[, isto é, (a,b) = {x R a < x < b}. Figura 9: Representação do intervalo (a, b) 9

10 Intervalo fechado Conjunto dos valores reais entre a e b, incluídos os extremos a e b. Notação: [a,b] = {x R a x b}. Figura 10: Representação do intervalo [a, b] Intervalo semi aberto à esquerda Conjunto dos valores reais entre a e b, excluindo a e incluindo b. Notação: (a,b] = {x R a < x b}. Figura 11: Representação do intervalo (a, b] Intervalo semi aberto à direita Conjunto dos valores reais entre a e b, incluindo a e excluindo b. Notação: [a,b) = {x R a x < b}. Figura 12: Representação do intervalo [a, b) Intervalo aberto de a até infinito Conjunto dos valores reais maiores do que a. Notação: (a, ) = {x R x > a}. Figura 13: Representação do intervalo (a, ) Intervalo fechado de a até infinito Conjunto dos valores reais maiores ou iguais a a. Notação: [a, ) = {x R x a}. Figura 14: Representação do intervalo [a, ) 10

11 Intervalo aberto de menos infinito até b Conjunto dos valores reais menores do que b. Notação: (,b) = {x R x < b}. Figura 15: Representação do intervalo (, b) Intervalo fechado de menos infinito até b Conjunto dos valores reais menores ou iguais a b. Notação: (,b] = {x R x b}. Figura 16: Representação do intervalo (, b] [ ) Exemplos: Se A = [ 1,3) e B = 12,, determine: (a) A B; (b) A B; (c) A c. 2.5 Módulo ou Valor Absoluto Dado um número real x, chamamos de valor absoluto, ou modulo de x, ao número indicado pelo símbolo x e dado por Exemplos: 7 = 7, 4 = ( 4) = 4, ( ) 2 3 = 2 3 = 3 2. x, se x > 0, x = x, se x < 0, 0, se x = 0. 11

12 Exercícios 1. Sejam E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A = {1,3,5,7,9}, B = {2,4,6,8} e C = {1,2,3,4,5}. (a) A B (b) A B (c) B C (d) A c B c (e) (A B) (A C) (f) A /0 (g) (A B) C (h) A C c 2. Resolva as equações: (a) 3x x+1 = 4 + 2x+2 2x (b) 2y 5 5+2y 3 = 1 3. Resolva as inequações: (a) 3(x 4) 2(x 6) (b) 3y y Encontre o valor de x que satisfaz a inequação: x 7 > 2 12