CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral de Riemann, cálculo de primitiva, aplicações da integral. LIVRO TEXTO: STEWART, James. Cálculo. Volume 1. 7 a edição. São Paulo: Cengage Learning, Objetivos da Aula : Números, Desigualdades e Módulo Representar geometricamente o conjunto R dos números reais; Resolver desigualdades com números reais usando suas propriedades; Resolver desigualdades contendo valor absoluto de números reais usando suas propriedades; Denir valor absoluto de um número real e apresentar algumas de suas propriedades. 1 Número Reais O conjuntos dos números reais, denotado por R, é a base do cálculo. Os números deste conjunto podem ser positivos, negativos ou zero e podem ser classicados como racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Isto é, um número racional é da forma p/q, onde p e q são números inteiros e q 0. Os números racionais podem ser: Números inteiros:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Frações: Números decimais exatos: Dízimas periódicas: 1 2 1, 7 = 17 10, = , 15 = , = 1 3 = 0, 3 1, = 1, Os números reais que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na forma p/q, são chamados números irracionais. Esses números não são decimais exatos e nem dízimas periódicas. Por exemplo: 2 = 1, π = 3, Ao pararmos a expansão decimal de qualquer número em uma certa casa decimal, obtemos uma aproximação dele. Por exemplo, podemos escrever: π 3,

2 onde o símbolo deve ser lido como "é aproximadamente igual a". Quanto mais casas decimais forem mantidas, melhor será a aproximação obtida. Em R podemos denir duas operações denominadas de adição e multiplicação: (R, +, ). Se a e b forem elementos de R, a + b denotará a soma de a e b, enquanto que, a b denotará a sua multiplicação. Em relação a estas operações, valem as seguintes propriedades: 1. (Comutatividade da adição) a + b = b + a 2. (Associatividade da adição) a + (b + c) = (a + b) + c 3. (Existência do elemento neutro para a adição) a + 0 = 0 + a = a 4. (Inverso aditivo) para cada a R existe sempre um elemento de R, denotado por a que satisfaz a + ( a) = 0. É chamado de elemento simétrico, oposto ou inverso aditivo. 5. (Comutatividade da multiplicação) ab = ba 6. (Associatividade da multiplicação) a(bc) = (ab)c 7. (Distributividade da multiplicação em relação a adição) a(b + c) = ab + ac 8. (Existência do elemento neutro para a multiplicação)1a = a 9. (Inverso multiplicativo) para cada a R, sempre existe um elemento de R, denotado por 1 ( ) a que 1 satisfaz a = 1. É chamado de elemento inverso ou inverso multiplicativo de a. a 1.1 Reta numérica Os números reais podem ser representados por pontos sobre uma reta. A direção positiva (à direita) é indicada por uma echa, conforme a gura abaixo. A construção da reta numérica é feita escolhendo-se aleatoriamente um ponto de referência arbitrário, O, denominado origem, que corresponde ao número real 0. De acordo com a unidade de medida estabelecida, cada número positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades de distância, à esquerda da origem e cada número negativo x é representado pelo ponto sobre a reta que está a x unidades de distância, à esquerda da origem. Figura 1: Representação de um número na reta numérica Desta forma, todo número real é representado por um ponto na reta, e todo ponto P sobre a reta corresponde a único número real. Este número real associado ao ponto P, chamamos de abscissa ou coordenada de P. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 2 Desigualdades em R Como dissemos anteriormente, é possível denir em R duas operações: adição e multiplicação. Estas operações tem as seguintes propriedades: 1. A soma de números reais positivos é um número real positivo. 2. O produto de números reais positivos é um número real positivo. Os números reais são ordenados. A seguir, apresentaremos a seguinte denição: Denição 1. Dados números reais x e y, dizemos que x é menor do que y e escrevemos x < y, se a diferença y x é um número real positivo. Se x < y, dizemos também que y é maior do que x e escrevemos y > x. Geometricamente, x < y indica que x está à esquerda de y na reta real. Usa-se também a notação x y para indicar que x < y ou x = y, ou seja, a diferença y x é um número real positivo ou nulo. 2.1 Propriedades das desigualdades em R Para quaisquer números reais x, x, y e y são válidas as seguintes propriedades: 1. Se x < y e y < z, então x < z. 2. Se x < y, então x + z < y + z, qualquer que seja o número real z. 3. Se x < y e x < y, então x + x < y + y. 4. Se x < y, então xz < yz, para qualquer número real positivo z. 5. Se x < y, então yz < xz, para qualquer número real negativo z. 6. Se x < y e x < y, então xx < yy, desde que x e y sejam números reais positivos. 7. x 2 > 0, para todo x 0 (o quadrado de qualquer número real não nulo é sempre positivo). 8. Se x > 0, então 1 x > Se 0 < x < y, então 0 < 1 y < 1 x multiplicativo. (quanto maior for um número positivo, menor será o seu inverso 3 Intervalos Sejam a e b dois números reais, com a < b. Dizemos que um número real x está entre a e b, se a < x e x < b. Figura 2: a < x < b Podemos dizer isto escrevendo: a < x < b. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 O conjunto formado por todos os números reais que satisfazem a desigualdade anterior é chamado de intervalo aberto. Mas precisamente, se a < b são números reais, os subconjuntos de R abaixo descritos são chamados de intervalos: Observamos que: Os números a e b são chamados os extremos do intervalo, os quais podem ou não fazer parte do intervalo. Indicamos isto na notação usando colchetes para a inclusão e parênteses para a exclusão do extremo. Na reta real a inclusão e a exclusão são representadas, respectivamente, pela bolinha cheia (dizemos que o intervalo é fechado) e a bolinha vazia (dizemos que o intervalo é aberto); Os primeiros quatro intervalos dados no quadro acima são ditos limitados, os demais são ilimitados; + e não são números reais, mas apenas notações para indicar intervalos ilimitados; Na denição de intervalo consideramos sempre a < b. chama-se um intervalo degenerado e (a, a) = 0/. Quando a = b, o conjunto [a, a] = {a} Como os intervalos são conjuntos, podemos efetuar com eles as operações usuais de conjuntos, tais como união e interseção. 4 Inequações Resolver uma inequação é encontrar valores de x que satisfaz uma desigualdade. Os valores de x que satisfaz a inequação são conhecidos como conjunto solução, geralmente representado por um intervalo. Exemplo 1. Resolva a inequação: x + 2 < 4x + 3. Solução: Podemos resolver de várias maneiras. Usando a propriedade 2, para z = 2 x < 4x x < 4x + 1 e agora subtraindo 4x de ambos os membros (propriedade 2, com z = 4x): x 4x < 4x + 1 4x 3x < 1 Dividindo ambos os membros por 3 (propriedade 5, muda o sinal da desigualdade): 3x 3 > 1 3 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 resulta x > 1 3. O conjunto solução desta inequação é o intervalo ( 13 ), +, isto é, os valores de x que são maiores que 1 3. Observação 1. Para resolver uma inequação não é necessário constar todas as propriedades utilizadas nas etapas da resolução. Você pode resolver usando as regras da desigualdade ao mesmo tempo, como se segue: Exemplo 2. Resolva a inequação: Solução: x + 2 < 4x + 3 x 4x < 3 2 3x < 1 x > < Resolvendo as duas desigualdades simultaneamente somando 1 nos três membros, obtemos: Portanto, o conjunto solução é (3, 6]. Exemplo 3. Resolver a inequação: < < 12 3 < x 6. x 3 3x 2 > 10x. Solução: Resolver a inequação x 3 3x 2 > 10x é o mesmo que resolver x 3 3x 2 10x > 0 ou ainda x(x 2 3x 10) > 0. Note que 0, 2 e 5 são as raízes da equação x(x 2 3x 10) = 0. Para resolver esta inequação, vamos fazer o estudo do sinal de ambos os fatores do produto x(x 2 3x + 10). Temos que: Assim, o conjunto solução da inequação x(x 2 3x 10) > 0 é ( 2, 0) (5, + ). 5 Valor Absoluto Denição 2. O valor absoluto ou módulo de um número real x, indicado por x, é denido por: { x, se x 0 x = x, se x < 0 É importante destacar que x é a distância de x até 0, na reta real. Como as distâncias são sempre positivas ou zero, temos: x 0, para todo número x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 5.1 Propriedades do Módulo As propriedades descritas a seguir são válidas para quaisquer números reais x, y e ɛ, com ɛ > x x x ; 2. x < ɛ ɛ < x < ɛ; 3. x > ɛ x < ɛ ou x > ɛ; 4. x + y x + y (Desigualdade triangular); 5. x 2 = x 2 ; 6. xy = x. y ; 7. x y x y x y (2 a desigualdade triangular). Exemplo 4. Expresse 3 5 sem usar o símbolo de valor absoluto. Solução: Utilizando a denição de valor absoluto, temos: , se = ( ) 3 5, se 3 5 < = Resolvendo as desigualdades separadamente, temos: 3 5, se , se 3 5 < 0 Dessa forma: x < 0 < 15 x < = 3 5, se x , se x < 15 2 Exemplo 5. Resolva 3x 4 = 5. Solução: Temos que: 3x 4 = 5 ou 3x 4 = 5. Resolvendo as equações obtemos: 3x = 9 x = 3 ou 3x = 1 x = 1 3. Logo x = 3 ou x = 1 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Exemplo 6. Resolva x + 3 < 5. Solução: Pela propriedade 2, a desigualdade x + 3 < 5 é equivalente a: 5 < x + 3 < 5. Subtraindo 3 a cada membro da desigualdade, temos: 8 < x < 2. Logo, a solução da desigualdade x + 3 < 5 é o intervalo aberto ( 8, 2). Geometricamente, o conjunto solução consiste em todos os números x cuja distância de -3 é menor que 5 é o intervalo ( 8, 2). Exemplo 7. Resolva 3 5. Solução: Note que a desigualdade 3 5 é equivalente a: 3 5 ou 3 5. Resolvendo cada desigualdade, temos: 5 3 = 2 de modo que, dividindo por -2 resulta x 1. ou 5 3 = 8, dividindo por -2 temos x 4. Portanto, o conjunto solução da desigualdade 3 5 é x 1 ou x 4, ou seja: Geometricamente, temos: {x x 1 ou x > 4} = (, 1] [4, + ). Exemplo 8. Se x 4 < 0, 1 e y 7 < 0, 2, use a desigualdade triangular para estimar x + y 11. Solução: Utilizando a desigualdade triangular ( a+b < a + b ), vamos considerar a = x 4 e b = y 7, temos: (x 4)(y 7) x 4 + y 7 < 0, 1 + 0, 2 = 0, 3. }{{} x+4 11 Portanto, x + y 11 < 0, 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 6 O conjunto R 2 O produto cartesiano de R com R, denotado por R 2, é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, isto é, R 2 = {(x, y) x, y R}. Geometricamente, R 2 é representado por um sistema de coordenadas retangulares, o qual consiste de um par de eixos reais que são perpendiculares (formam entre si quatro ângulos retos) e tem a mesma origem O (conforme gura 5). Em geral, a reta horizontal é chamada de eixo x e a reta vertical de eixo y. Estes eixos são chamados de eixos coordenados. Dado um sistema de coordenadas retangulares em um plano, a cada (a, b) R 2 associamos um ponto P no plano como segue: tomamos o ponto A no eixo x cuja coordenada é a e o ponto B no eixo y cuja coordenada é b. A interseção da reta que passa por A e é paralela ao eixo y com a reta que passa por B e é paralela ao eixo x, é o Ponto P de coodenadas (a, b). Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Apêndice A do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios do Apêndice A do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8