Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos

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1 Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos

2 Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c) Pertinência entre elemento e conjunto. Embora não seja preciso fazer definição alguma sobre essas ideias, podemos indicar algumas de suas características.

3 Exemplo Sendo A o conjunto dos números pares e B o conjunto dos números ímpares, em notação de conjuntos temos: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,...} Para indicar que o 2 pertence ao conjunto dos números pares escrevemos: 2 A Para indicar que o 2 não pertence ao conjunto dos números ímpares escrevemos: 2 B

4 Principais classificações Conjunto vazio: ou { } Conjunto unitário. Conjunto universo: designação usada quando se desenvolve um assunto em Matemática e se quer indicar todos os elementos utilizados no referido assunto. Esse conjunto é representado por U. Por exemplo, em um estudo sobre pesos de pessoas o conjunto universo são os números positivos, afinal não faz sentido usar os números negativos para representar pesos.

5 Operações Igualdade: dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A são também elementos de B e viceversa. Subconjunto: um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A também é elemento de B. Para indicar isso, escrevemos A B. Se o conjunto A não for subconjunto de B, podemos escrever A B.

6 Operações União: chama-se união de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Símbolo: Intersecção: chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Símbolo: Diferença: chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Complementar: se B é subconjunto de A então a diferença A - B é denominada por complementar do subconjunto B.

7 Conjuntos numéricos Conjunto dos números naturais: Conjunto dos números inteiros: Conjunto dos números racionais: Esse é o conjunto das frações. Todo número inteiro é também racional. Os decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais.

8 Números racionais e irracionais Exemplos de número racionais: , , , Números irracionais: são os números que não podem ser escritos na forma de fração. Exemplos: 27 33, e, 2, 3, 3 2,...

9 Números reais O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais com os irracionais. Intervalos: São subconjuntos dos números reais, geralmente indicados entre colchetes [a, b] ou na reta numérica: Os intervalos podem ser fechados ou abertos e isso pode ser indicado por colchetes voltados para dentro ou para fora ou por bolas vazias ou pintadas.

10 Operações com intervalos União: exemplo: Intersecção: exemplo:

11 Interatividade Dados A = ]-5, 3[ e B = [-4, 5], indique a alternativa que contém o intervalo correto de A B: a) ]-4, 3] b) [-4, 3[ c) [-5, 5] d) ]-5, 5[ e) ]-5, 5]

12 Expressões algébricas Adição e subtração de frações. Se as frações têm o mesmo denominador, mantém-se o denominador e efetua-se o cálculo apenas dos valores do numerador. Se as frações têm denominador diferente uma forma rápida de cálculo é aplicando a seguinte regra: Outra técnica é por meio do Mínimo Outra técnica é por meio do Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C), mas em ambos os casos, devemos simplificar a fração do resultado.

13 Operações com frações Exemplo: Multiplicação: basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. Exemplo:

14 Operações com frações Divisão: basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo: Observe que o resultado deve ser Observe que o resultado deve ser simplificado sempre que possível.

15 Potenciação: Com o denominador diferente de zero, temos as seguintes propriedades da potenciação: n n n b a b a n n a b b a A radiciação de frações é feita assim: m n m n a a a b a b a Expoente racional: m n m n a a

16 Expressões numéricas Nos cálculos de expressões numéricas é necessário obedecer à seguinte ordem e prioridade: Ordem: potenciação ou radiciação; multiplicação ou divisão; adição ou subtração. Prioridade: parênteses ( ) colchetes [ ] chaves { }

17 Exemplos Exemplo 1: = =17 Exemplo 2: (14 + 6) 2 = 20 2 =10 Exemplo 3: = 6 5 =1 Exemplo 4: 3 (2 15) 3 = 3 (-13) 3 = = -13

18 Exemplos Exemplo 5: [30 5 (12 3) ] ( ) + (14 + 6) 2 = [30 5 4] ( 6 5) + (20) 2 = [6 4] (1) = [ 2 ] (1) + 10 = = 12 Exemplo 6:

19 Operações com polinômios Adição e subtração: basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Exemplo: (2xy + 4x) (xy + x )= 2xy + 4x xy x = xy + 3x Multiplicação: utiliza-se principalmente a propriedade distributiva e as propriedades de potenciação. Exemplo: (2xy + 4x).(xy + x ) = 2x 2 y 2 + 2x 2 y + 4x 2 y + 4x 2 = 2x 2 y 2 + 6x 2 y + 4x 2

20 Operações com polinômios Divisão: utiliza-se as propriedades de fatoração e de potenciação. Exemplo 1: 3 8x y 2 2xy 2 4x y Exemplo 2: 2 x 4x 2x Exemplo 3: x x 4 2x x 4 2

21 Valor numérico de expressões algébricas Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica basta substituir a parte literal por valores numéricos. Para calcular o valor da expressão algébrica 2x 2 + x + 2 para x = 2, basta substituir o x por 2; = = 12 E para x = -1, temos: 2.(-1) 2 + (-1) + 2 = = = 3

22 Interatividade Ao efetuar (b + 3a c). (a + 2b), obtém-se a seguinte expressão algébrica: a) 2b 2 + 3a 2 + 5ab b) 2b 2 +3a 2 + 7ab ac 2bc c) 2b 2 +3a 2 + 6ab ac 2bc d) ab + 2ab + 3a 2 + 6ab ac - 2bc c e) 2b 2 + 3a 2 + 6ab + ac + 2bc

23 Equações Equação do 1º grau. Sua estrutura geral é dada pela expressão ax + b = 0, com a e b números reais e a 0. Para resolver equações do 1º grau basta isolar a incógnita em um dos lados da equação e apresentar o resultado no conjunto solução (S). O valor da incógnita que torna a equação verdadeira é denominado por raiz da equação.

24 Exemplos 1. 5x 10 = 0 5x = 10 x = 10/5 x = 2 S={2} 2.

25 Exemplos 3.

26 Equação do 2º grau A estrutura geral da equação do 2º grau é dada pela expressão ax 2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a 0. O principal método utilizado para calcular equações do 2º grau é por meio da fórmula de Bhaskara: é o discriminante. Se ele for positivo, a equação tem duas raízes reais. Se for zero, a equação tem uma raiz apenas. Se ele for negativo, não existem raízes reais.

27 Exemplos 1. x² - 5x + 6 = 0 ( 5) x x x

28 Exemplos 2. x² + 2x + 1 = 0 2 x x² + 2x + 2 = 0 Como o discriminante deu negativo, essa equação não tem raízes reais.

29 Interatividade Considere a equação x² + x = -1. Quais os possíveis valores de x? a) S = {3, 5} b) S = {-95} c) S={1 {-1, 8} d) S = ou { } e) S = {0, 3}

30 Inequações As inequações são semelhantes às equações. A diferença é que os resultados são intervalos de valores enquanto nas equações os resultados são valores pontuais. A estrutura geral da inequação do 1º grau é dada pelas seguintes expressões: ax + b < 0 ax + b 0 ax +b>0 ax + b 0 com a e b números reais e a 0.

31 Inequação do 1º grau Para resolver inequações do 1º grau usase a mesma técnica da resolução das equações, mantendo o sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a notação de intervalos. Exemplo 1: 5x 10 < 0 5x < 10 x < 10/5 x < 2

32 Exemplos 2.

33 Inequação do 2º grau A estrutura geral da inequação do 2º grau é dada pelas seguintes expressões: ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx +c>0 ax 2 + bx + c 0 com a, b e c números reais e a 0. A resolução é feita usando-se a mesma técnica da resolução das equações, inserindo ao final o estudo do sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a notação de intervalos.

34 Exemplos 1. x² - 5x + 6 > 0 = 1 e as raízes são 2 e 3. Os intervalos possíveis para a solução são: x < 2 ou x > 3 ou 2 < x < 3. Para escolher o intervalo correto, basta fazer um teste. Digamos x = 1 (1º intervalo): 1² > > > 0 2 > 0 esse resultado está correto, então a solução será:

35 Exemplos 2. x² + 2x + 1 < 0 = 0 e a única raiz é -1 As soluções possíveis são x -1 ou. Vamos testar um valor do 1º intervalo, digamos x = 0: 0² < 0 1 < 0 esse resultado está incorreto, então a solução será: S =

36 Exemplos 3. x² + 2x + 2 > 0 = -4 e não há raízes reais. As soluções possíveis são R e. Vamos testar um número qualquer, digamos x = 0: 0² > 0 2 > 0 esse resultado está correto, então a solução é: S = R

37 Interatividade Qual é o conjunto solução da inequação (em R): x² - 12x + 20 < 0 a) b) c) d) e)

38 ATÉ A PRÓXIMA!