REVISÃO DOS CONTEÚDOS

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1 REVISÃO DOS CONTEÚDOS As quatro operações fundamentais As operações fundamentais da matemática são quatro: Adição (+), Subtração (-), Multiplicação (* ou x ou.) e Divisão (: ou / ou ). Em linguagem comum, elas são chamadas de aritmética ou operações aritméticas. Adição (Soma): É a operação matemática que explica o montante do total de objetos juntos de uma coleção. Por exemplo, se José tem 2 maçãs e Laura tem 3 maçãs, e queremos saber quantas maçãs eles têm juntos. Então, devemos unir os dois conjuntos e eles terão 5 maçãs juntos (2 de José + 3 de Laura = 5 maçãs no total). Subtração: A subtração representa a operação aritmética que é a oposta da adição. Ela é usada quando você quer saber quantos objetos são deixados no grupo, depois que você retirar uma certa quantidade de objetos a partir desse grupo. Por exemplo, Maria tem 5 maçãs e ela dá 2 maçãs para Paulo. Com quantas maçãs que ela ficou? Ela ficou com 3 maçãs (5 maçãs que ela tinha menos 2 maçãs que ela deu a Paulo que é igual a 3 que são as maçãs que ficaram para ela: 5 3 = 2). Multiplicação: A multiplicação de dois números é equivalente à adição de um número com ele próprio, tantas vezes quanto o valor que o outro número representa. Podemos simplificar isso, se você tem 5 grupos de maçãs e cada grupo tem 3 maçãs, você pode resolver isso assim: 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs= 15 maçãs no total. Em outras palavras, a multiplicação é uma operação matemática que é usada quando você quer saber quantas vezes um número é multiplicado em uma equação. Por Ex. 3 x 4 = 12, isto é o número 3 é 4 vezes multiplicado nesta equação que tem um produto ou resultado 12. Divisão: A divisão é a quarta operação básica de matemática. Basicamente, você pode dizer que significa dividir repartindo objetos em partes iguais ou em grupos. Por exemplo, você tem 12 maçãs que precisa ser dividido igualmente em 4 pessoas. Quantas maçãs receberá cada pessoa? Cada pessoa vai ter 3 maçãs (12 maçãs 4 pessoas = 3 maçãs por pessoa). A operação da divisão é o oposto da multiplicação: 3 x 4 = 12 12/4 = 3 ou 12 4 = 3 Operações com números racionais Adição e Subtração de Frações: Para somar ou subtrair duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o mesmo. Após verificar isso ou

2 reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar/subtrair os expoentes. Veja: Utilizando o MMC para reduzir os denominadores: = = = Cálculo do MMC 2, 3, 1 2 1, 3, 1 3 1, 1, 1 MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6 Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte: dividimos o resultado do MMC pelo denominador e multiplicamos pelo numerador: 6 : 2 = 3 x 1 = 3 6 : 3 = 2 x 2 = 4 6 : 1 = 6 x 4 = 24 Adição e Subtração de dois ou mais números decimais: Na soma ou subtração de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo: adição. 2,57 + 1,63 = 2 e 1: partes inteiras 0,5 e 0,6: partes decimais 0,07 e 0,03: partes centesimais Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da 2,57 + 1,63 4,20 Multiplicação/Divisão de frações Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os denominadores com denominadores. Confira: 3 x 6 = ( 3 x 6 ) = ( 7 x 4 ) 28 Já na divisão de duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conserva-se a primeira fração, multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao trocarmos o seu denominador pelo numerador.

3 Veja: 13 : 9 = 13 x 2 = Multiplicação e Divisão de números decimais Prof. a : Patrícia Caldana Multiplicação: Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo: 2,4 x 1,2 = Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação. 2,4 x 1, ,88 Observe que a vírgula ficou entre os algarismos 2 e 8. Isso aconteceu porque o número 2,4 possui uma casa decimal, e o número 1,2 também possui uma casa decimal. Assim, temos, no total, duas casas decimais. Sendo assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido (288) duas casas da direita para a esquerda (2,88). Divisão: Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo: decimal. 1,23 : 0,5 = O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo decimal, ou seja, 10, 100, , que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim, temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100. (1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : , ,23 : 0,5 = 2,46

4 Proporcionalidade entre grandezas Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais: São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é dividida em duas partes iguais a outra também é dividida à metade. Grandezas inversamente proporcionais: Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta. Regra de três Regra de três simples: Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Regra de três composta: As regras de três são utilizadas quando você tem a relação de dados que guardam, entre si, razão de proporcionalidade. Elas podem ser regras de três simples, quando há apenas duas grandezas, ou compostas, quando há mais de duas grandezas envolvidas no problema. Porcentagem As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo "%".

5 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Expressões numéricas e algébricas Expressões numéricas: As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto de operações fundamentais. As operações que podemos encontrar são: radiciação, potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração. Os elementos de uma expressão numérica: Em relação aos elementos de uma expressão, podemos destacar os parênteses ( ), os colchetes [ ], as chaves { }, os números e os símbolos de operação. Ordem de resolução: Quando vamos resolver uma expressão numéricas, precisamos estar atentos à algumas regras a serem seguidas. Devemos seguir sempre a seguinte ordem de resolução: 1) parênteses ( ); 2) colchetes [ ]; 3) chaves { }

6 Com relação à ordem de operações: 1) Potenciação e radiciação; 2) Multiplicação e divisão; 3) Adição e subtração Expressões algébricas: São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo: A = 2a+7b B = (3c+4)-5 C = 23c+4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. Prioridade das operações numa expressão algébrica: Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: 1. Potenciação ou Radiciação 2. Multiplicação ou Divisão 3. Adição ou Subtração Observações quanto à prioridade: 1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. 2. A multiplicação pode ser indicada por ou por um ponto ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. 3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico. Polinômios Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Classificação de Polinômios Os polinômios podem ser classificados de acordo com a sua quantidade de termos: Monômio: Possui um único produto com coeficiente e parte literal. Exemplos: 2 x y; 12 x 2

7 Binômio: É um polinômio que possui somente dois monômios. Exemplos: 4 x y + 5 x; 34 z + 12 x; 105 z + 25 z 2 Prof. a : Patrícia Caldana Trinômio: É um polinômio que possui somente três monômios. Exemplos: 2x y + 2x - y 3 ; x z z x; 2 w + 12 x 5w 2 Polinômio: possui uma infinidade de monômios. A sua expressão geral é dada por: an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a Grau de um Polinômio Grau de polinômio com uma variável: Quando o polinômio possui somente uma variável (termo desconhecido), seu grau é dado pelo maior valor que o expoente da variável assume. Exemplo 1: 2. x x Variável: x Maior expoente em relação à variável x: 2 Grau: Polinômio de 2 grau Exemplo 2: 3. z z 3 Variável: z Maior expoente em relação à variável z: 3 Grau: Polinômio de 3 grau Grau do polinômio com mais de uma variável: Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo: x y 2 x y 2 Grau do monômio: x 1 Y = 2 Grau do monômio: x y = 3 Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x y), o grau é 2; e para (x y 2 ), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio ( x y 2 x y 2 ) é de terceiro grau.