Função. Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos

Transcrição

1 Função Trigonométrica II Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos

2 Resumo das Principais Relações I sen cos II tg sen cos III cotg tg IV sec cos V csc sen VI sec tg VII csc cotg cos sen

3 Arcos e subtração de arcos para seno, cosseno e tangente Se α e β são dois números reais quaisquer, é verdade que sen (α β) sen α sen β? A partir dos valores do seno e do co-seno de dois arcos, podemos obter o seno e o coseno de sua soma ou de sua diferença

4 Arcos e subtração de arcos para seno, cosseno e tangente Nesta figura, consideremos na circunferência trigonométrica dois arcos, cujas medidas são α e β e cujas etremidades são os pontos A e B, respectivamente Além disso, vamos considerar o ponto F pertencente ao segmento AO tal que o ângulo OFB seja reto

5 Arcos e subtração de arcos para seno, cosseno e tangente OC cos(α β) OF cos β BF sen β Utilizando razões trigonométricas no triângulo retângulo BEF, temos: EF EF sen α EF senα senβ BF senβ

6 Arcos e subtração de arcos para seno, cosseno e tangente No triângulo ODF, temos: OD OD cosα OD cosα cos β OF cos β cos Como CD EF e OC OD CD, concluimos que: OC OD CD ( α β ) cosαcos β sen α senβ O cosseno da soma de dois arcos é igual ao produto dos cossenos de cada um dos arcos menos o produto dos senos desses arcos

7 Arcos e subtração de arcos para seno, cosseno e tangente

8 Arcos e subtração de arcos para seno, cosseno e tangente

9 Aplicação p Substituindo α por 0º e β por 60º, verifique a validade da fórmula: cos α β cosαcos β sen α sen cos( 0º 60º ) cos0ºcos60º sen0ºsen60º cos(90º ) 0 0 ( ) β Calcule os valore de sen (5º) e cos (05º) sen( 5º ) sen(5º 0º ) sen5ºcos 0º sen0ºcos 5º sen( 5º ) 6 sen( 5º ) sen(5º ) 6

10 Continuação cos( 05º ) cos(60º 5º ) cos 60ºcos 5º sen60º sen5º cos( 05º ) cos( 05º ) 6 cos(05º ) 6

11 Aplicação p 6 Calcule os valores da tg (5º) e tg (05º) tg60º tg5º tg5º tg(60º 5º ) tg60º tg5º tg5º tg60º tg5º tg05º tg(60º 5º ) tg60º tg5º tg05º 9 ( ) 9 ( )

12 Duplicação de arcos para seno, cosseno e tangente Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos

13 Duplicação de arcos para seno, cosseno e tangente Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos

14 Conclusão

15 Função Trigonométrica II Equações Trigonométricas

16 Equações Trigonométricas A palavra equação, na sua etimologia, deriva do prefio equi, que significa igualdade As mais conhecidas e utilizadas são chamadas equações algébricas Por eemplo 0 é uma equação algébrica do º grau (-) 0; o conjunto solução da equação é {-} Por outro lado, ² é uma equação algébrica do º grau Nesse caso, temos que; ² ; ² ; O conjunto solução {;}; Não é difícil perceber que as soluções encontradas nas resoluções, são chamadas de raízes da equação

17 Equações Trigonométricas Quantas raízes tem uma equação cuja incógnita seja um arco? Quais os valores reais de para os quais Quais os valores reais de para os quais sen(), cos () ou tg ()?

18 5 6 6 Duas soluções Infinitas 5 ou com Z 6 6 O conjunto-solução de uma equação trigonométrica é formado por infinitos elementos No entanto, quando restringimos a variável a um determinado intervalo, o número de soluções é finito

19 Equações Trigonométricas Por eemplo, a equação dada por tg ( ) 7 0 possui quatro soluções, que,, e, no intervalo[0, ], Como determinar o número total de soluções de uma equação trigonométrica qualquer em certo intervalo?

20 8 8 Z com, Z com, 8 ou temos 0, Se 8 ou temos, Se 8 8 9, 8, 8 equação é O conjunto -solução da e

21 Equações Trigonométricas Podemos estabelecer um procedimento padrão para encontrar a solução geral e, quando solicitado, o conjuntosolução de uma equação trigonométrica em certo intervalo Marcar na circunferência trigonométrica os pontos relativos aos arcos que verificam a equação na primeira volta Para isso, devemos prestar muita atenção nos sinais da função correspondente nos quadrantes Escrever a(s) epressão(ões) que generaliza(m) todas as soluções da equação Em alguns casos é possível, em uma única epressão, englobar todas as soluções Em outros, é preciso de mais de uma epressão Quando solicitado, encontrar as soluções no intervalo em questão

22 Determine as soluções das seguintes equações nos intervalos considerados: α , 7,, 9, 5, S : O conjunto -solução é dado por

23 α 0 0,,, :, S Assim temos

24 0 0 α 0 0, :, S Assim temos

25 Equações Trigonométricas Além das equações trigonométricas elementares, ou seja, da forma sen(), cos() ou tg(), eistem aquelas que não estão representadas dessas maneiras Por eemplo, como você resolveria a equação sen²() sen() - 0? Quando uma equação não está escrita sob forma elementares, precisamos, inicialmente, por meio de manipulação algébricas, transformá-la em tais formas e, em seguida, seguir o roteiro tradicional Na equação apresentada anteriormente, se substituirmos sen() por outra variável, m, por eemplo, temos que m² - m 0

26 Equações Trigonométricas m² - m 0 As raízes dessa última equação são e -, assim sen() ou sen() - A primeira equação não apresenta solução real, pois se é real, - sen No entanto,a segunda equação se verifica para, Z

27 Para fazer p Resolva a equação sen²() sen() 0 sen () - sen() 0 sen() sen() - sen() sen() ( sen() -) 0 0 sen() 0 sen() - 0 sen() ou, Z

28 Para fazer p sen() sen( ) Qual o número de soluções da equação no intervalo[ 0, ]? cos () cos() sen() sen( ) sen()cos() sen( )cos () sen()cos() cos () cos() sen( ) A equação sen() é verdadeira se O número de soluções da equação no intervalo solicitado é dois

29 Para fazer p Qual é a soma das soluções da equação sen() sen(), onde 0 < <? sen cos ( ) sen( ) ( ) sen ( ) sen ( ) sen ( ) ( ) ( ) cos sen( ) ( ) co( ) ( ) [ cos( ) ] 0 ( ) 0 sen sen sen sen cos ( ) 0 cos( ) No intervalo solicitado, a equação sen() 0 não apresenta solução, e a equação cos() ½ apresenta a solução /

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