AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade

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1 1 AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade Ernesto F. L. Amaral 31 de agosto de 2010 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de Janeiro: LTC. Capítulo 5 (pp ).

2 ESQUEMA DA AULA 2 Variáveis aleatórias Distribuição de probabilidade binomial Média, variância e desvio padrão para a distribuição binomial Distribuição de probabilidade de Poisson

3 VISÃO GERAL 3 Neste capítulo, métodos de estatística descritiva (caps. 2 e 3) são combinados com métodos de probabilidade (cap. 4). São desenvolvidas as distribuições de probabilidade, que descrevem o que provavelmente acontecerá, ao invés do que realmente aconteceu. São discutidas distribuições discretas de probabilidade (binomial e Poisson). Com o conhecimento da população de resultados, é possível achar suas características (média, desvio padrão...).

4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 4

5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 5 Variável aleatória é uma variável (representada por x) que tem um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento. Distribuição de probabilidade é uma descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória. Ela é representada na forma de um gráfico, tabela ou fórmula. Variável aleatória discreta tem número finito de valores (número inteiro) ou quantidade enumerável de valores (é possível realizar um processo de contagem, mesmo que existam infinitos valores). Variável aleatória contínua tem infinitos valores que podem ser associados com medidas em uma escala contínua, de modo que não há pulos ou interrupções.

6 GRÁFICOS 6 O histograma de probabilidade é o principal gráfico para representar uma distribuição de probabilidade. Este histograma mostra probabilidades na escala vertical. O histograma de frequência mostra frequências relativas com base em dados amostrais reais. Requisitos para uma distribuição de probabilidade: A soma de todas as probabilidades deve ser um [ P(x)=1], em que x assume todos valores possíveis. Cada valor de probabilidade deve estar entre zero e um, inclusive [0 P(x) 1], para todo valor individual de x.

7 PROBABILIDADE DE NÚMEROS DE MEXICANOS EM JÚRI 7 x (mexicanosamericanos) P(x) , , , , , , , , ,069

8 MÉDIA, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 8 Além do histograma de probabilidade que nos informa sobre natureza e forma da distribuição, podemos achar média, variância e desvio padrão dos dados. Média para uma distribuição de probabilidade: μ = [x * P(x)] Variância para uma distribuição de probabilidade: σ 2 = [(x μ) 2 * P(x)] σ 2 = [x 2 * P(x)] μ 2 Desvio padrão para uma distribuição de probabilidade: σ = [x 2 * P(x)] μ 2

9 FUNDAMENTOS DAS FÓRMULAS 9 A fórmula da média faz o mesmo que a fórmula para a média de uma tabela de frequência, em que f representa a frequência da classe e N representa o tamanho da população: Na fração f/n, o valor de f é a frequência com que ocorre o valor x e N é o tamanho da população, de modo que f/n é a probabilidade do valor de x. Regra de arredondamento: arredonde os resultados usando uma casa decimal a mais do que o número de casas decimais usadas para a variável aleatória x.

10 RESULTADO NÃO-USUAL COM REGRA EMPÍRICA 10 A regra empírica da amplitude pode também ser útil na interpretação do valor de um desvio padrão. De acordo com esta regra, a maioria dos valores (resultados usuais) deve ficar a dois desvios padrões da média: Valor usual máximo = μ + 2σ Valor usual mínimo = μ 2σ

11 EXEMPLO 11 Média = μ = [x * P(x)] = 9,598 9,6 Variância = σ 2 = [x 2 * P(x)] μ 2 = 94,054 9, ,9 Desvio padrão = σ = σ 2 = 1,9 = 1,4 Valor usual máximo = μ + 2σ = 9,6 + 2(1,4) = 12,4 Valor usual mínimo = μ 2σ = 9,6 2(1,4) = 6,8

12 12 RESULTADO NÃO-USUAL ATRAVÉS DE PROBABILIDADE Regra do evento raro: Se, sob uma dada hipótese (tal como a hipótese de que uma moeda seja honesta), a probabilidade de um evento particular observado (tal como 992 caras em 1000 lançamentos de uma moeda) é extremante pequena. Concluímos que a hipótese provavelmente não é correta. Use probabilidades para determinar resultados não-usuais: Número de sucessos não usualmente alto: x sucessos em n tentativas é um número não usualmente alto de sucessos se P(x ou mais) 0,05. Número de sucessos não usualmente baixo: x sucessos em n tentativas é um número não usualmente baixo de sucessos se P(x ou menos) 0,05.

13 VALOR ESPERADO 13 O valor esperado (esperança ou esperança matemática) de uma variável aleatória discreta: É o resultado médio teórico para um número infinito de tentativas. É o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamente. É designado por E e representa o valor médio dos resultados. É obtido pelo cálculo de: E = [x * P(x)] A média de uma variável aleatória discreta (μ) é o mesmo que o valor esperado (E).

14 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL 14

15 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL 15 A distribuição de probabilidade binomial envolve proporções usadas com métodos de inferência estatística. Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos: Experimento tem um número fixo de tentativas. Tentativas têm que ser independentes (resultado de qualquer tentativa individual não afeta probabilidades de outras tentativas). Cada tentativa deve ter todos resultados classificados em duas categorias (chamadas de sucesso e fracasso). Probabilidade de sucesso permanece constante em todas tentativas.

16 NOTAÇÃO PARA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 16 S e F (sucesso e fracasso): representam as duas categorias possíveis de todos resultados. P(S) = p: probabilidade de um sucesso. P(F) = 1 p = q: probabilidade de um fracasso. n: número fixo de tentativas. x: número específico de sucessos em n tentativas, de modo que x pode ser qualquer número inteiro entre 0 e n, inclusive. p: probabilidade de sucesso em uma das n tentativas. q: probabilidade de fracasso em uma das n tentativas. P(x): probabilidade de se obterem exatamente x sucessos em n tentativas.

17 INFORMAÇÕES IMPORTANTES 17 Certifique-se de que p e x se refiram à mesma categoria designada como um sucesso. Na amostragem sem reposição, considere os eventos como independentes se o tamanho da amostra (n) não for maior do que 5% do tamanho da população (N). Há diferentes métodos para achar as probabilidades correspondentes à variável aleatória x em uma distribuição binomial: Fórmula da probabilidade binomial. Uso da tabela de probabilidades binomiais (pág. 615). Uso de pacote estatístico.

18 FÓRMULA DA PROBABILIDADE BINOMIAL 18 Em uma distribuição binomial, as probabilidades podem ser calculadas através da fórmula da probabilidade binomial: n = número de tentativas. x = número de sucessos em n tentativas. p = probabilidade de sucesso em qualquer tentativa. q = probabilidade de fracasso em qualquer tentativa.

19 19 EXEMPLO DA FÓRMULA DA PROBABILIDADE BINOMIAL Qual a probabilidade de se obterem 7 jurados mexicanosamericanos quando 12 jurados são selecionados aleatoriamente de uma população que é 80% mexicanaamericana? P(7) =? n = 12 x = 7 p = 0,8 q = 0,2

20 TABELA DE PROBABILIDADES BINOMIAIS (pág. 615) 20 É preciso ter: O número de tentativas (n). A probabilidade de sucesso em qualquer tentativa (p). O número de sucessos em n tentativas (x). Em seguida, é possível encontrar P(x) na tabela de probabilidades binomiais.

21 PACOTE ESTATÍSTICO 21 Se você deseja encontrar P(x ou menos), sendo: Número de tentativas: n = 12. Número de sucessos em n tentativas: x = 7. Probabilidade de sucesso: p = 0,8. No Stata, assim como no SPSS e SAS, o programa fornece probabilidades cumulativas de x ou menos sucessos com a função binomial(n,x,p). P(7 ou menos) = 0, di binomial(12,7,0.8)

22 FUNDAMENTOS PARA FÓRMULA DA BINOMIAL 22 A fórmula da probabilidade binomial é a base para todos os métodos apresentados anteriormente. Esta fórmula é uma combinação da regra da multiplicação da probabilidade e a regra da contagem para o número de permutações de n itens quando x deles são idênticos ente si e os outros n x são idênticos entre si. Nº de resultados com exatamente x sucessos entre n tentativas Probabilidade de x sucessos entre n tentativas para qualquer ordem particular

23 MÉDIA, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PARA A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 23

24 MÉDIA, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA BINOMIAL 24 Dada uma distribuição de probabilidade binomial, é possível encontrar a média, variância e desvio padrão para serem interpretados e compreendidos. Medidas Qualquer distribuição de probabilidade discreta Distribuição binomial Média μ = [x * P(x)] μ = np Variância σ 2 = [x 2 * P(x)] μ 2 σ 2 = npq Desvio padrão σ = [x 2 * P(x)] μ 2 σ = npq

25 REGRA EMPÍRICA DA AMPLITUDE 25 A regra empírica da amplitude pode ser útil ao considerar como não-usuais valores que caiam fora dos limites obtidos do seguinte: Valor usual máximo = μ + 2σ Valor usual mínimo = μ 2σ

26 EXEMPLO DA FÓRMULA SIMPLIFICADA 26 Encontre a média e desvio padrão para o número de mexicanos-americanos em um júri de 12 pessoas, selecionadas de população que é 80% mexicana-americana. μ =? σ =? n = 12 p = 0,8 q = 0,2 μ = np = 12*0,8 = 9,6 σ = npq = 12*0,8*0,2 1,4 Valor usual máximo = μ + 2σ = 9,6 + (2*1,4) = 12,4 Valor usual mínimo = μ 2σ = 9,6 (2*1,4) = 6,8

27 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE POISSON 27

28 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE POISSON 28 A distribuição de probabilidade de Poisson é importante porque é usada para se descrever o comportamento de eventos raros (com pequenas probabilidades). Esta é uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrências de eventos ao longo de intervalos especificados. A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento no intervalo. O intervalo pode ser de tempo, distância, área, volume ou alguma unidade similar. Probabilidade de ocorrência do evento x em um intervalo é:

29 REQUISITOS PARA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 29 A variável aleatória x é o número de ocorrências de um evento ao longo de algum intervalo. As ocorrências devem ser aleatórias. As ocorrências devem ser independentes umas das outras. As ocorrências devem ser uniformemente distribuídas sobre o intervalo em uso

30 PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 30 Probabilidade de ocorrência do evento x: Média na distribuição de Poisson: μ Desvio padrão na distribuição de Poisson: σ = μ

31 POISSON BINOMIAL 31 Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial em alguns aspectos fundamentais. A distribuição binomial é afetada pelo tamanho n da amostra e pela probabilidade p, enquanto a distribuição de Poisson é afetada apenas pela média μ. Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1,..., n. Porém, numa distribuição de Poisson, os valores possíveis de x são 0, 1, 2,..., sem qualquer limite superior.

32 EXEMPLO DE POISSON 32 Um total de 535 bombas caiu na área combinada de 576 regiões, em que cada área tem 0,25km 2. Se uma região é selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade dela ser atingida duas vezes? Quantas das 576 regiões espera-se que sejam atingidas exatamente duas vezes? Nº médio de impactos = nº impactos / nº regiões = μ μ = 535 / 576 = 0,929 Probabilidade de dois impactos em uma região: P(x) = (μ x * e μ ) / x! = P(2) = (0,929 2 * 2, ,929 )/2! = 0,170 Número das 576 regiões atingidas duas vezes é: 576 * 0,170 = 97,9

33 POISSON E PREVISÃO DE RESULTADOS 33 A distribuição de Poisson pode ser muito boa para prever resultados que realmente ocorreram. Impactos de bombas V-1 em 576 regiões do sul de Londres: Nº de impactos de bombas Probabilidade Nº esperado de regiões Nº real de regiões 0 0, , , , ,170 97, ,053 30, ,012 6, ,002 1,2 1

34 POISSON COMO APROXIMAÇÃO PARA BINOMIAL 34 Algumas vezes, a distribuição de Poisson é usada para aproximar a distribuição binomial quando n é muito grande e a probabilidade p é pequena. Os requisitos para o uso da distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial são: n 100 np 10 Se ambas as condições são satisfeitas, precisamos de um valor para a média μ, que pode ser calculada desta forma: μ = np

35 EXEMPLO DE POISSON COMO BINOMIAL 35 Em uma loteria, suponha que você paga 1 dólar para escolher uma sequência de quatro dígitos, por exemplo, Se você joga esse jogo uma vez todos os dias, ache a probabilidade de ganhar exatamente uma vez em 365 dias. P(1) =? Intervalo de tempo = n = 365 Probabilidade de sucesso = p = 1/ Média = np = 365 * (1/10.000) = 0,0365 Isso satisfaz as condições de n 100 e np 10 P(x) = (μ x * e μ ) / x! P(1) = (0, * 2, ,0365 )/1! P(1) = 0,0352

36 APLICAÇÃO DO CONHECIMENTO 36

37 PARA PENSAR 37 Suponha que você queira calcular a probabilidade de encontrar estudantes do DCP ao caminhar pelo campus. Digamos que você conheça 50 estudantes no DCP. Há por volta de estudantes na UFMG, embora alguns não caminhem com frequência pelo campus. Então, a probabilidade de encontrar, entre algum estudante aleatório, um destes estudantes do DCP é de aproximadamente 0,002. Nos dias que você poderia encontrar um destes alunos, você fica fora da FAFICH por volta de 30 minutos. Num dia típico, você poderia passar por 5 estudantes por minuto. Nestes dias, qual a probabilidade de que x destes estudantes seja um conhecido do DCP, onde x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou maior que 5? Dado isto, você pensa que seria não-usual haver dias em que você encontre 1, 2, 3, 4, 5 ou >5 destes alunos?