Distribuição de Probabilidade. Prof.: Joni Fusinato

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1 Distribuição de Probabilidade Prof.: Joni Fusinato

2 Modelos de Probabilidade Utilizados para descrever fenômenos ou situações que encontramos na natureza, ou experimentos por nós construídos. São expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros. O modelo deve representar, na medida do possível, a complexidade que envolve o mundo real da população em estudo.

3 Distribuição de Probabilidade São modelos matemáticos que relacionam um valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Há dois tipos de distribuição de probabilidade: Distribuições Discretas: quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores como números inteiros. Distribuições Contínuas: quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua.

4 Distribuição Discreta de Probabilidade Modelo de Bernoulli Modelo Binomial Modelo de Poison

5 Modelo de Bernoulli O que as perguntas abaixo têm em comum? Diminuirão os casos de dengue no próximo ano? Haverá uma alta do trigo este ano? Uma moeda lançada vai dar coroa? O tipo de resposta: Sim ou Não Probabilidade de sucesso: p Probabilidade de fracasso: q = 1 - p Onde o parâmetro 0 p 1 é a probabilidade de sucesso.

6 Modelo de Bernoulli Exemplo: Considere o lançamento de um dado e a ocorrência de um número superior a 2 em cada lançamento. Defina e determine a probabilidade de sucesso em cada lançamento. x = 1, sucesso x = 0, fracasso A probabilidade de sucesso é p = 4/6 = 2/3

7 Modelo Binomial Considere agora as seguintes perguntas: Quantas vezes vão ocorrer casos de dengue no próximo ano? Quantas vezes vai haver uma alta do trigo nos próximos 20 anos? Se lançarmos uma moeda 5 vezes, quantas vezes teremos cara? Muitas vezes, não queremos saber apenas se algo ocorre ou não. Queremos saber quantas vezes ela ocorre.

8 Modelo Binomial A distribuição binomial resolve problemas de contagem respondendo perguntas do tipo quantos em experimentos onde: Há dois resultados possíveis e mutuamente excludentes A probabilidade de sucesso e de falha são constantes em todas as repetições. Os eventos são independentes.

9 Modelo Binomial Onde: P(x): Probabilidade de x sucessos em n repetições n: número de repetições x: número de sucessos; x = 0, 1, 2,... p = probabilidade de sucesso q = probabilidade de fracasso

10 Numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é de 10%. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter: a) Uma peça defeituosa? b) Nenhuma peça defeituosa? c) Duas peças defeituosas? p = 0,1 q = 0,9 n = 10 x = 1, 0, 2

11 Modelo de Poisson Usado para modelar o número de ocorrências de um evento por um certo período de tempo ou por um certo volume ou por uma certa área. As suposições básicas para a utilização do modelo são: As condições do experimento permanecem constantes no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrência (λ) é constante ao longo do tempo. Intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um período nada revela sobre o número de ocorrências em outro período. P(X = k) ou P(X = x) Probabilidade de x ocorrências em um intervalo de tempo (ou área ou volume). µ = λ: frequência média de sucesso no intervalo considerado.

12 Exemplo 1: Um processo fabril apresenta uma taxa média de 0,2 defeitos por unidade produzida. Qual a probabilidade de uma unidade escolhida aleatoriamente: a) Ser perfeita? b) Apresentar 2 defeitos? µ = 0,2 defeito/unidade

13 Modelo de Poisson Exemplo 2: A aplicação de tinta em um automóvel é feita de forma mecânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória X que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro µ = 1. Ao escolhermos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, qual a probabilidade de encontrarmos, pelo menos 1 defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de 2 a 4 defeitos? P(X 1) 1 P(X 1) 1 0 e 1 P(X 1) 1 0! P(X 1) 0, , 21% P( 2 X 4) P(X 2) P(X 3) P(X 4) e 1 e 1 e 1 P( 2 X 4) 0, ! 3! 4! P( 2 X 4) 26, 06%

14 Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Resolução de Exercícios usando a distribuição de Poisson Como fazer a combinação usando a calculadora Casio