Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Mauricio Fanno

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1 Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Mauricio Fanno

2 Estatística indutiva Estatística descritiva Dados no passado ou no presente e em pequena quantidade, portanto, reais e coletáveis. Campo de trabalho: amostra. Resultados exatos. Estatística indutiva Dados no futuro ou em grande quantidade, portanto, não coletáveis e/ou prováveis. Campo de trabalho: população. Resultados prováveis, portanto, dotados de margem de erro.

3 Revisão da Teoria Elementar das Probabilidades Na Estatística Indutiva procura-se, portanto, prever o que é mais provável de ocorrer e qual a tolerância desta previsão (erro estatístico). Probabilidade é a razão (divisão) entre a quantidade de resultados que nos são interessantes e a quantidade total de resultados possíveis para aquela situação. Por exemplo: Você joga um dado e ganha o jogo se sair um número primo. Qual é a probabilidade de vencer?

4 Revisão da Teoria Elementar das Probabilidades Resultados que podem ocorrer ao se jogar um dado: {1; 2; 3; 4; 5; 6}, portanto, seis resultados possíveis. Dos resultados possíveis, são números primos: {1; 2; 3; 5}, portanto, quatro resultados que interessam a você. Logo, a probabilidade de você ganhar esse jogo é de:

5 Teoria Elementar da Probabilidade Esta é a chamada definição matemática das probabilidades e é expressa simbolicamente por: Lê-se como: A probabilidade de um evento A ocorrer é a razão (ou divisão) entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis ao evento A e o número total de elementos (ou resultados) do experimento aleatório estudado.

6 Definições básicas Experimentos aleatórios: ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as mesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. Espaço amostral: é o conjunto S de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É também chamado de conjunto universo. Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. Evento certo. Evento impossível.

7 Probabilidades definição matemática Esse conceito pode ser expandido para várias situações, normalmente, ligada a jogos de azar. Por exemplo: Qual é a probabilidade de você ganhar na Mega-sena fazendo um único jogo de seis dezenas? O resultado será obtendo o número de resultados que O resultado será obtendo o número de resultados que interessam, no caso 1, porque você fez apenas um jogo, dividido pelo número de resultados possíveis.

8 Probabilidades definição matemática Contagem de grandes quantidades: Análise combinatória. Para Estatística é importante o cálculo do número de combinações, ou seja, quantos grupos diferentes podemos formar com um determinado número de elementos. Exemplo: Imagine que você e dois amigos decidam jogar tênis Exemplo: Imagine que você e dois amigos decidam jogar tênis de mesa. Quantos jogos diferentes poderão ser disputados?

9 Probabilidades definição matemática Chamando vocês três de A, B e C; poderiam ser disputados os jogos: A x B; A x C; B x C, ou seja, três jogos Observe que o jogo A x B e B x A é o mesmo, não conte duas vezes. A Análise Combinatória nos ensina que esse cálculo deve ser feito através da formulação: No caso do jogo de tênis de mesa seria:

10 Probabilidades definição matemática Fatorial é a multiplicação de todos os número inteiros e positivos de n até a unidade, ou seja: No caso dos jogos de tênis seria:

11 Probabilidades definição matemática Voltando ao jogo da Mega-sena, temos um total de 60 dezenas que podem ser combinadas em resultados de 6 dezenas, portanto: Assim a probabilidade de ganhar na Assim a probabilidade de ganhar na Mega-sena com um único jogo de seis dezenas é:

12 Probabilidades definição matemática Observe o exemplo: em uma sala de aula existem 30 alunos, dos quais 22 são mulheres, um aluno é sorteado. Qual é a probabilidade de que esse aluno seja um homem? O quadro abaixo resume estas informações e calcula as frequências relativas:

13 Probabilidades definição matemática Observe que a probabilidade de que o aluno seja homem é de 26,7%, porque a probabilidade é igual à frequência relativa Portanto, podemos afirmar que: Essa é a definição de probabilidade é a mais usada no ambiente de negócios, pois permite o cálculo a partir de testes de campo (amostras).

14 Árvore de decisões Sucessão de eventos pode ser trabalhada com a árvore de decisões. Consiste em representar graficamente todas as possibilidades de resultados dos experimentos aleatórios, de modo a não se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreender a mecânica do experimento. Exemplo: Uma moeda é jogada duas vezes, em sequência. Qual é a probabilidade de que saia uma cara e uma coroa?

15 Árvore de decisões Moeda honesta ou não? Suponha que tenhamos feito um teste: Jogamos a moeda 100 vezes e saíram 58 caras. Ou seja, a moeda é viciada sendo mais provável sair cara do que coroa.

16 Árvore de decisões Evento Produto: Ideia de obrigação. Expressa pela palavra e Evento soma: Ideia de alternativa. Expressa pela palavra ou. Portanto, a probabilidade de sair uma cara e uma coroa é de: 0, ,2496 = 0,4992 ou 49,92%

17 Interatividade A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que os dois estejam vivos daqui a 10 anos é igual a: a) 30% b) 36% c) 56% d) 38% e) 44%

18 Distribuições de probabilidades Relação entre as possíveis ocorrências de um experimento e a probabilidade dessa ocorrência. São divididas em: Distribuições de probabilidades discretas, sendo que a principal é a distribuição binomial. Distribuições de probabilidades contínuas Distribuições de probabilidades contínuas, sendo que a principal é a distribuição normal.

19 Distribuição binomial Vamos considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições: a) O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n). b) As repetições devem ser independentes. c) Em cada prova ocorre um dos dois possíveis resultados: sucesso ou insucesso (fracasso). d) A probabilidade p do sucesso e a probabilidade 1 p do fracasso são constantes.

20 Distribuição binomial Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem x sucessos em n tentativas. Se a probabilidade de sucesso é p e do fracasso é 1-p, a chance de que um evento se realize exatamente x vezes em um total de n tentativas é dada pela função:

21 Distribuição binomial Exemplo: Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um determinado tipo de venda, tem 30% de probabilidade de concretizá-la. Em um dia qualquer, ele sai para atender a vinte clientes. Qual é a probabilidade de ele fazer exatamente oito vendas? Solução: p = 0,30; n = 20; x = 8, que se aplicando na fórmula fica: Ou seja,

22 Valor e variância esperados Veja o exemplo: Em uma certa operação comercial, um homem pode ter um lucro de R$ 300,00 com a probabilidade de 60%, ou um prejuízo de R$ 100,00, com a probabilidade de 40%. Em longo prazo qual é o valor esperado para essa operação?

23 Valor e variância esperados Esse valor é o mais provável de acontecer e é dado pela fórmula: O valor esperado não é uma certeza, é sujeito à variabilidade. Essa variabilidade pode ser dada pela variância, que tem a mesma definição e as mesmas características daquela definida em Estatística Descritiva, e é calculada pela fórmula:

24 Valor e variância esperados No exemplo anterior, calculamos E(x) = R$ 140,00, precisamos agora calcular E(x 2 ): Logo, teremos:

25 Interatividade A probabilidade de um vendedor atingir a meta de vendas é de 60%. Qual é a probabilidade de que em uma equipe de cinco vendedores apenas 2 atinjam a meta? a) 23% b) 30% c) 45% d) 60% e) 18%

26 Distribuição normal Entre todas as distribuições de probabilidades, a mais empregada é a Distribuição Normal. A maior parte das decisões estatísticas em Administração corresponde à Distribuição Normal ou dela se aproximam. O aspecto gráfico da distribuição normal é o de um O aspecto gráfico da distribuição normal é o de um sino parametrizado pelas medidas estatísticas da Média e do Desvio Padrão.

27 Distribuição normal

28 Distribuição normal A curva recebe o nome de curva de Gauss. A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, o que representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. Como a curva é simétrica em relação à média aritmética Como a curva é simétrica em relação à média aritmética, a probabilidade de encontrarmos um valor menor que a média é de 50%, o mesmo para valores maiores que a média.

29 Distribuição normal Quando temos uma variável aleatória em distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor dentro de um certo intervalo. Para calcular essa probabilidade, definimos uma variável reduzida z, dada por: Sendo x o valor real; µ a média provável e σ o desvio padrão.

30 Distribuição normal Essa variável reduz a distribuição em um modelo padrão com média 0 e desvio padrão 1. As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas, não havendo a necessidade de serem calculadas. Observe que o processo permite apenas que calculemos a probabilidade de ocorrer um valor inferior a x i.

31 Distribuição normal

32 Distribuição normal Exemplo 1: Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 500, com desvio padrão de R$ 40. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$ 490 e R$ 520. Solução: Vamos calcular a probabilidade de um operário ganhar menos do que R$ 490 e depois de ganhar menos de R$ 520. Em seguida, subtrairemos a menor probabilidade da maior, obtendo o resultado intermediário i aos dois valores.

33 Distribuição normal z , 25 z ,5 A probabilidade para z 1 é 0,4013 e para z 2 é 0,6915 (dados pela tabela). A solução é: P (490 < X < 520 ) = 0,6915-0,4013 = 0,2902 ou 29,02%

34 Distribuição normal Abaixo vemos a ilustração da curva normal com destaque para as áreas calculadas.

35 Distribuição normal Exemplo 2: Os depósitos efetuados no Banco B, em um determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Qual a probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00? Solução: z ,00 Na tabela, esse valor corresponde a 0,0228 ou 2,28%. Como quero mais que R$ 6.000,00 e não menos, devemos tirar o valor calculado de 100%.

36 Distribuição normal Assim, a probabilidade procurada é: 100% - 2,28 = 97,72%

37 Interatividade As taxas de retorno no mercado de um determinado investimento distribuem-se normalmente com média igual a 5% e desvio padrão igual a 4%. Selecionando ao acaso uma taxa de retorno, a probabilidade dela ser maior que 6% é: a) 9,87% b) 40,13% c) 59,87% d) 50,13% e) 37,25%

38 Distribuição normal Veja o seguinte exemplo: Uma turma de alunos de Estatística fez uma prova na qual a média foi 5,7 e o desvio padrão foi de 1,3. Qual foi a nota máxima dos 10% alunos que apresentaram menor nota? A resolução deste exercício A resolução deste exercício é o contrário da resolução dos anteriores:

39 Distribuição normal Da tabela, temos: Como vimos a relação entre z e X é dada por: Portanto, no caso: Temos 10% alunos que tiveram menores notas tiraram 4,0 ou menos, ou então, 10% dos alunos tiraram notas iguais ou menores que 4,0.

40 Distribuição normal Usando os dados do exemplo anterior, suponha que queiramos saber a nota mínima de 20% dos alunos. Que maior nota tiveram?

41 Distribuição normal Na tabela, obtemos o valor de z: Consequentemente: Os 20% alunos que tiveram maior nota na turma tiraram 6,8 ou mais, ou então 20% dos alunos tiraram notas iguais ou maiores que 6,8.

42 Distribuição normal Ainda usando os dados dos exemplos anteriores, pergunta-se: entre que valores estão as notas dos 38% alunos de desempenho intermediário?

43 Distribuição normal 30% dos alunos intermediários significa 15% deles com notas abaixo da média e 15% com notas acima da média, o que resulta em: Alunos com notas menores que a média:

44 Distribuição normal Alunos com notas maiores que a média: Portanto, os 30% alunos de alunos intermediários tiraram notas entre 5,2 e 6,2.

45 Interatividade Um fabricante de componentes eletrônicos sabe que a vida útil deles é, normalmente, distribuída com média de horas de uso e desvio padrão de horas. Ele quer dar uma garantia a essas peças de forma que seja obrigado a substituir, no máximo, 1,5% da sua produção. Qual a garantia em horas que ele deve dar á peça? a) horas b) horas c) horas d) horas e) horas

46 ATÉ A PRÓXIMA!