PROBABILIDADE. Prof. Patricia Caldana

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1 PROBABILIDADE Prof. Patricia Caldana Estudamos probabilidade com a intenção de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou fato. Para determinarmos a razão de probabilidade, utilizamos os conceitos descritos nas linhas a seguir. Experimento aleatório: Um experimento é considerado aleatório quando suas ocorrências podem apresentar resultados diferentes. Um exemplo disso acontece ao lançarmos uma moeda que possua faces distintas, sendo uma cara e outra coroa. O resultado desse lançamento é imprevisível, pois não há como saber qual a face que ficará para cima. Espaço amostral: O espaço amostral (S) determina as possibilidades possíveis de resultados. No caso do lançamento de uma moeda o conjunto do espaço amostral é dado por: S = {cara, coroa}, isso porque são as duas únicas respostas possíveis para esse experimento aleatório. Evento: Na probabilidade a ocorrência de um fato ou situação é chamado de evento. Sendo assim, ao lançarmos uma moeda estamos estabelecendo a ocorrência do evento. Temos então que, qualquer subconjunto do espaço amostral deve ser considerado um evento. Um exemplo pode acontecer ao lançarmos uma moeda três vezes, é obtermos como resultado do evento o seguinte conjunto: E = {Cara, Coroa, Cara} Esse evento é subconjunto do espaço amostral, para representar essa afirmação utilizamos a seguinte notação: E S Razão de probabilidade: A razão de probabilidade é dada pelas possibilidades de um evento ocorrer levando em consideração o seu espaço amostral. Essa razão que é uma fração é igual ao número de elementos do evento (numerador) sobre o número de elementos do espaço amostral (denominador). Considera os seguintes elementos: E é um evento. n (E) é o número de elementos do evento. S é espaço amostral. n (S) é a quantidade de elementos do espaço amostral. A Razão de probabilidade é dada por: Pagina: 1

2 A probabilidade normalmente é representa por um fração, cujo seu valor sempre estará entre 0 e 1, ou seja: 0 P(E) 1 Podemos também representar a probabilidade com um número decimal ou em forma de porcentagem (%). Exemplo: Ao lançarmos um dado com seis faces, qual a probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3? Resposta: O espaço amostral do lançamento de um dado é representado pelos números: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; n (S) = 6 O evento é determinado pelas possibilidades de obtermos como resultado do lançamento um número que seja múltiplo de 3. E = {3, 6} n(e) = 2 A Razão de Probabilidade é dada por: A porcentagem referente à probabilidade é: A probabilidade de obtermos um número que seja múltiplo de 3, ao lançar um dado com seis faces é de 33,3% ou 1/3. ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória. Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Pagina: 2

3 Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória. Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória: Fatorial; Princípio fundamental da contagem; Arranjos simples; Permutação simples; Combinação; Permutação com elementos repetidos. Fatorial Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número: n! = n(n 1)(n 2)(n 3) *...* 3 * 2 * 1 Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. Veja alguns exemplos: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = Princípio Fundamental da Contagem Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n. Exemplo 1: Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades: Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades) Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades. Pagina: 3

4 Exemplo 2: Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos? Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos. Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos. Arranjos Simples Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. Por exemplo, vamos considerar dois agrupamentos dos números divisíveis por 3, de 5 algarismos formados com os elementos (algarismos) do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Os números e são divisíveis por 3 e possuem 5 algarismos do conjunto A. E os algarismos utilizados na construção desses números são iguais, mas estão dispostos em ordens diferentes, tornando-os diferentes entre si. Portanto, esse exercício de análise combinatória é um exemplo de arranjo simples. Quando os agrupamentos de um exercício de análise combinatória forem caracterizados como Arranjos simples, para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula: Onde: n é a quantidade de elementos do conjunto e p é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos. Assim, podemos definir arranjo simples como sendo: Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor para natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer sequência formada por p elementos do conjunto. Exemplo: Considere o conjunto I = {a,b,c,d}: Quantos são os arranjos simples dos elementos de I, tomados dois a dois? Pagina: 4

5 Como o exercício já informou que se trata de um arranjo simples, devemos retirar os dados e aplicá-los na fórmula. Temos n = 4 e p = 2. Assim: Permutação Simples Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1 Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24 Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? Resolução: Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples. P = 4! = 24 Combinação Simples Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão: a dois: Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois Pagina: 5

6 Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, mega sena, quina entre outras. A mega sena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n=60 e p=6, sessenta números tomados seis a seis. Na mega sena existem combinações, caso sejam tomadas seis a seis. Permutação com elementos repetidos Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo: A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma: Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim: P 10 = 10! = Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3!. 2!. 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será: Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar anagramas. Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n 1 vezes, n 2 vezes e n n vezes. Então, a permutação é calculada: Pagina: 6

7 Exemplo 1: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos: Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas. Exemplo 2: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos: Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas. EXERCÍCIOS PROBABILIDADE 1. Considerando as letras da palavra SOMA, quantos são os anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras? 2. Calcule o número de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO. 3. Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de escolha? Pagina: 7

8 4. Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados? 5. Considerando as letras da palavra FORTE, calcule o número total de anagramas que podem ser formados com as 5 letras. 6. Quantos números naturais de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 até 9? 7. De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 4 lugares? 8. Uma comissão de cinco membros será escolhida dentre 8 pessoas. Calcule o número de comissões diferentes que podem ser formadas. 9. Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número ? 10. Qual O número de anagramas da palavra ERNESTO? Pagina: 8