Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 12 de Setembro de 2014

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1 Sumário 1 Análise Combinatória Princípio Multiplicativo Exercícios Permutação Simples Exercícios Permutação com Repetição Exercícios Permutação Circular Exercícios Referência Bibliográfica 8 1 Análise Combinatória Em Análise Combinatóriavamos estudar métodos que resolvem, de forma eficiente, os problemas de contagem. Por exemplo, se você quisesse saber de quantas formas diferentes é possível se vestir com as roupas do seu guarda-roupa, você poderia vestir uma a uma as roupas e descobrir o resultado. Porém, se você possui muitas roupas, esse vestir uma a uma irá demorar muito. Veja como resolver esse problema em menos de um minuto. 1.1 Princípio Multiplicativo Vamos supor que para se vestir, é necessário escolher um tênis, uma calça e uma camiseta. Um professor de matemática possui 2 tênis, 3 calças e 4 camisetas. De quantas maneiras ele pode se vestir? Vamos diferenciar os tênis por Tênis 1 e Tênis 2, as calças por Calça 1, Calça 2 e Calça 3 e as camisetas por Camiseta 1, Camiseta 2, Camiseta 3 e Camiseta 4. Agora podemos montar a tabela da próxima página com as possíveis maneiras de se vestir, escolhendo primeiro um tênis, depois uma calça e por último uma camiseta.

2 Tênis Calça Camiseta Possibilidade Tênis 1 Calça 1 Camiseta 1 1 Tênis 1 Calça 1 Camiseta 2 2 Tênis 1 Calça 1 Camiseta 3 3 Tênis 1 Calça 1 Camiseta 4 4 Tênis 1 Calça 2 Camiseta 1 5 Tênis 1 Calça 2 Camiseta 2 6 Tênis 1 Calça 2 Camiseta 3 7 Tênis 1 Calça 2 Camiseta 4 8 Tênis 1 Calça 3 Camiseta 1 9 Tênis 1 Calça 3 Camiseta 2 10 Tênis 1 Calça 3 Camiseta 3 11 Tênis 1 Calça 3 Camiseta 4 12 Tênis 2 Calça 1 Camiseta 1 13 Tênis 2 Calça 1 Camiseta 2 14 Tênis 2 Calça 1 Camiseta 3 15 Tênis 2 Calça 1 Camiseta 4 16 Tênis 2 Calça 2 Camiseta 1 17 Tênis 2 Calça 2 Camiseta 2 18 Tênis 2 Calça 2 Camiseta 3 19 Tênis 2 Calça 2 Camiseta 4 20 Tênis 2 Calça 3 Camiseta 1 21 Tênis 2 Calça 3 Camiseta 2 22 Tênis 2 Calça 3 Camiseta 3 23 Tênis 2 Calça 3 Camiseta 4 24 Ou ainda, podemos montar o seguinte diagrama:

3 Camiseta 1 Possibilidade 1 Calça 1 Camiseta 2 Possibilidade 2 Camiseta 3 Possibilidade 3 Tênis 1 Calça 2 Calça 3 Camiseta 4 Possibilidade 4 Camiseta 1 Possibilidade 5 Camiseta 2 Possibilidade 6 Camiseta 3 Possibilidade 7 Camiseta 4 Possibilidade 8 Camiseta 1 Possibilidade 9 Camiseta 2 Possibilidade 10 Camiseta 3 Possibilidade 11 Camiseta 4 Possibilidade 12 Tênis 2 Calça 1 Calça 2 Calça 3 Camiseta 1 Possibilidade 13 Camiseta 2 Possibilidade 14 Camiseta 3 Possibilidade 15 Camiseta 4 Possibilidade 16 Camiseta 1 Possibilidade 17 Camiseta 2 Possibilidade 18 Camiseta 3 Possibilidade 19 Camiseta 4 Possibilidade 20 Camiseta 1 Possibilidade 21 Camiseta 2 Possibilidade 22 Camiseta 3 Possibilidade 23 Camiseta 4 Possibilidade 24 De qualquer forma, chegamos que há 24 maneiras diferentes de se vestir.

4 Observe que seguimos o seguinte raciocínio: Temos 2 maneiras diferentes para escolher um tênis. Para cada uma dessas possibilidades, há 3 maneiras diferentes para escolher uma calça. E para cada uma dessas possibilidades, há 4 maneiras diferentes para escolher uma camiseta. Logo, para saber o total de possibilidades de se vestir, multiplicamos o número de maneiras diferentes de ocorrer o primeiro evento (Escolher um tênis), pelo número de maneiras diferentes de ocorrer o segundo evento (Escolher uma calça) e ainda pelo número de maneiras diferentes de ocorrer o terceiro evento (Escolher uma camiseta). Ou seja, temos que o total de possibilidades é = 24 Definição: (Princípio Multiplicativo) Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas, A e B, sucessivas. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m n Exercícios 1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, só estão vazias 7 cadeiras. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras? 2. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 5, 7 e 8? 3. Quantos são os números de 4 algarismos divisíveis por 5? 1.2 Permutação Simples Considere o seguinte problema: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra RUMO? Só relembrando, um anagrama é qualquer agrupamento, com ou sem significado, obtido com a transposição das letras de uma palavra. Por exemplo, um anagrama da palavra RUMO é MURO.

5 Voltando para o problema, observe que todos os anagramas da palavra RUMO terão quatro letras, pois a palavra tem quatro letras. Então teremos que escolher uma letra para a primeira posição dentre as 4 possíveis, depois escolher outra para a segunda posição dentre as 3 letras restantes (pois uma esta na primeira posição), em seguida escolher uma letra para a terceira posição dentre as 2 restantes e a letra que sobrou estará na quarta posição. Utilizando o Princípio Multiplicativo, temos = 24 anagramas da palavra RUMO. Observe que em todos os 24 agrupamentos foram utilizadas as quatro letras da palavra RUMO, em diferentes ordens. Por exemplo, em MURO e em UROM. Definição: (Permutação Simples) Dado um conjunto de n elementos, chama-se Permutação Simples dos n elementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos. Outro exemplo em que utilizamos permutação simples é: Em uma sala de aula com 20 carteiras, de quantas maneiras distintas 20 alunos podem ocupar essas carteiras? Seguindo o mesmo raciocínio anterior, para a primeira carteira podemos escolher um dentre os 20 alunos, para a segunda carteira podemos escolher um dentre os 19 alunos restantes, e assim em diante, até a vigésima carteira para qual escolheríamos o último aluno restante. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, temos = possibilidades. Observamos que o número de permutações simples de n elementos é dado por: P n = n! = n (n 1) (n 2)

6 1.2.1 Exercícios 1. Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantas modos diferentes os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? 2. De quantas maneiras diferentes um casal com seus três filhos podem ocupar um banco com cinco lugares, de modo que o casal fique sempre junto? 1.3 Permutação com Repetição Já vimos que para calcular o total de anagramas utilizamos permutação, porém veja o que acontece quando fazemos os anagramas da palavra OVO. Apesar de a palavra OVO possuir 3 letras, todos os anagramas são: OVO, OOV e VOO. Isso porque devemos excluir os 2! casos em que somente a letra O permuta. Logo, chegamos ao total de anagramas da palavra OVO com o seguinte cálculo: 3! 2! = 3 2! 2! = 3 Utilizamos o mesmo raciocínio para repetições de mais de dois elementos. Por exemplo, para calcular o total de anagramas da palavra MATEMATICA, primeiro fazemos o cálculo como se as letras fossem distintas, ou seja, teremos 10!. Agora retiramos os casos em que somente as letras repetidas permutam, ou seja, retiramos 3! casos em que somente a letra A permuta, 2! casos em que somente a letra T permuta e 2! casos em que somente a letra M permuta. Assim, o total de anagramas da palavra MATEMATICA é: 10! 3! 2! 2! = ! 3! 4 = =

7 Ou seja, para calcular o número de permutações de n elementos, dos quais n 1 é de um tipo, n 2 é de um segundo tipo,..., n k de um k-ésimo tipo, utilizamos P n 1,n 2,...,n k n = n! n 1! n 2!... n k! Exercícios 1. Quantos anagramas da palavra ENEM podemos formar? 2. Quantos dos anagramas da palavra ENEM começam com vogal? 1.4 Permutação Circular Isabelle, Jeniffer, Kauana e Taís querem sentar-se formando uma roda. De quantas maneiras diferentes isso é possível? Se considerarmos que há quatro cadeiras, podemos utilizar o que já vimos sobre permutação e dizer que há 4! = 24 maneiras. Porém, como é uma mesa circular, temos que excluir 4 casos em que há a mesma sequência, digamos Isabelle, Taís, Jeniffer e Kauana, começando em uma das quatro cadeiras diferentes. Portanto, temos que o total de maneiras diferentes é: 4! 4 = 4 3! 4 = 3! = 6 Assim, para calcular o número de permutações circulares de n elementos, utilizamos (P C) n = n! n = (n 1)! Exercícios 1. De quantos modos diferentes pode-se pintar uma pirâmide pentagonal regular usando 6 cores diferentes, sendo cada face de uma cor? (Dica: separe em dois casos, pintura da base e pintura das faces laterais)

8 2 Referência Bibliográfica BARROSO, J. M. Conexões com a Matemática. Vol. 2, 1. ed. São Paulo: Editora Moderna, 2010.