Lista de Análise Combinatória. Edson Prestes

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1 Lista de Análise Combinatória Edson Prestes de Dezembro de 011

2 Capítulo 1 Questões 1.1 Questão 1 Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma R paralela a R. Quantos triângulos podem ser formados com estes pontos? Resposta: 0 triangulos. 1. Questão De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres? Resposta: Questão 3 De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher? Resposta: n (n 1)!. 1.4 Questão 4 Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação x + y + z 5? Resposta: Questão 5 Quantas são as soluções inteiras não negativas de x + y + z + w = 0 nas quais x > y? Resposta:85.

3 1.6 Questão 6 Em um congresso há 15 professores de física e 15 de matemática. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas havendo pelo menos 4 professores de matemática e pelo menos professores de física? Resposta: Questão 7 Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPPI nos quais não há letras I consecutivas? Resposta: 7350 anagramas diferentes. 1.8 Questão 8 São colocados em fila n casais. De quantas maneiras isto pode ser feito de forma que marido e mulher não sejam vizinhos? Resposta: n! n i=1 Ci n(n i)! i ( 1) i 1.9 Questão 9 Uma recepcionista recebeu n chapéus, mas estes ficaram totalmente misturados. Decidiu, então, devolvê-los a esmo. Calcular a probabilidade de que nenhum homem receba o seu. Resposta:n! ( 1! 1 3! + 1 4!... + ) ( 1)n 1 n! 1.10 Questão 10 Mostre que ( ) n n k=0 k x k k = xn(x + 1) n 1 Resposta:xn(x + 1) n Questão 11 Calcule n k=0 Ck n k. Resposta: 3 n. 1.1 Questão 1 Calcule a soma C0 0 C1 0 + C 0 C C C0 0 3

4 Resposta: ( ) Questão 13 Calcule o valor de n k=0 k C k n5 k Resposta :5n(6 n (5(n 1) + 6)) = 5n(5n + 1)6 n 1.14 Questão 14 Calcule Resposta:nC n 1 n 1 S = n k=0 ( n k k ) 1.15 Questão 15 Calcule n k 3 Cn5 k k k=0 Resposta:5 3 n(n 1)(n )6 n 3 + 3(5 )n(n 1)6 n + 5n6 n Questão 16 Determine o coeficiente de x 17 no desenvolvimento de (1 + x 5 + x 7 ) 0 Resposta: Questão candidatos compareceram a uma prova do vestibular (5 questões de múltiplaescolha com 5 alternaticas por questão). Considere a afirmativa: pelo menos 4 candidatos responderam de modo idêntico as k primeiras questões da prova. Qual é o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmativa acima continue sendo verdadeira. Resposta: Questão 18 Considere 6 pontos no espaço não havendo 3 colineares. Assuma que cada ponto está conectado com os demais gerando um segmento que pode ser colorido com duas cores azul ou vermelho. Prove que para qualquer que seja a escolha destas cores sempre existirá um triângulo com todos os lados de uma mesma cor. 4

5 1.19 Questão 19 Encontrar a função geradora para a r = r. Resposta: x(1+x) (1 x) Questão 0 Mostrar que a função geradora ordinária para a seqüência é (1 4x) 1/ ( 0 0 ) (, 1 ) ( 4, ) ( 6, 3 ) ( r,..., r ) 1.1 Questão 1 Usar funções geradoras para encontrar o número de maneiras nas quais 4 pessoas cada uma jogando um único dado podem obter um total de 17. Resposta: Questão Mostrar a forma dos coeficientes gerados pela seguinte função geradora (1+4x) 1/ em função do número do termo. Resposta: (1 + 4x) 1/ = r=0 Cr 1 r 1!( 1)r 1 r 1 xr 1.3 Questão 3 Usar funções geradoras para avaliar a soma n Resposta: (n+1)n 1.4 Questão 4 De quantas maneiras podemos acomodar 9 pessoas em 4 quartos sem que nenhum quarto fique vazio? Resposta: Questão 5 Usar funções geradoras para avaliar a soma n. Resposta: n(n+1)(n+1) 6 5

6 1.6 Questão 6 Representantes de três institutos de pesquisa devem formar uma comissão de 9 pesquisadores. De quantos modos se pode formar esta comissão sendo que nenhum instituto deve ter maioria absoluta no grupo? Resposta: Questão 7 Usar funções geradoras para encontrar o número de soluções em inteiros da equação x + y + z + w = 5, onde cada variável é no mínimo 3 e no máximo 8. Resposta: C C C Questão 8 Numa competição cada um dos quatros juizes deve atribui notas de 1 a 6 para cada participante. Para ser finalista um participante deve ter no mínimo pontos. Usar funções geradoras para encontrar o número de maneiras que os juízes têm para atribuir notas de modo que um participante seja finalista. Resposta: Questão 9 Encontrar o número de maneiras de se distribuir 11 laranjas e 6 pêras para 3 crianças de modo que cada criança receba pelo menos 3 laranjas e no máximo pêras. Resposta: Questão 30 Quantas n-tuplas de de 0 s e 1 s podem ser formadas usando-se um número par de 0 s e um número par de 1 s? Resposta: n 1 para n par, e 0 caso contrário Questão 31 De quantas maneiras podemos distribuir 300 cadeiras idênticas em 4 salas de modo que o número de cadeiras em cada sala seja 0, 40, 60, 80 ou 100 cadeiras? Resposta: 5 6

7 1.3 Exercicio 3 Calcule a seguinte relação de recorrência para n 3, a 0 = 3, a 1 = 3 e a = 7. Resposta: a n = 3 n + (i) n + ( i) n 1.33 Exemplo 33 Encontre a fórmula fechada para a n = 3a n 1 a n + 3a n 3 a n = cos αa n 1 a n considerando as seguintes condições iniciais a 1 = cos α e a = cos α Resposta:a n = 1 ((cos α + i sin α)n + (cos α i sin α) n ) 1.34 Questão 34 Ache a solução para a seguinte relação de recorrência f n = 8f n 1 19f n + 1f n 3 considerando as seguintes condições iniciais f 0 = 0, f 1 = 1 e f = 1.35 Questão 35 Ache a solução para a seguinte relação de recorrência f n = f n 1 3f n 3f n 3 considerando as seguintes condições iniciais f 0 = 1, f 1 = 0 e f = 5 Resposta: f n = ( 1) n + ( 3i 3i 1.36 Questão 36 )( 3i) n + ( 3i )( 3i) n 3i Encontrar o número de permutações de 1,,3,4,5,6 nas quais as seqüências 134 e 56 não aparecem. Resposta: Questão 37 De quantas podemos permutar os inteiros 1,,..., 9 de forma que nenhum inteiro par fique em sua posição original. Resposta:

8 1.38 Questão 38 Considere os algarismos do número Forme todos os números de 6 algarismos distintos e coloque-os em ordem crescente. Qual é a posição ocupada pelo número dado? Resposta: Questão 39 Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de segurança, os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abrí-los todos se houver pelo menos 5 cientistas. a) Qual é o número mínimo possível de cadeados? b) Quantas chaves cada cientista deve ter? Resposta: a)16 cadeados. b) 70 chaves Questão 40 Prove C 0 mc p h + C1 mc p 1 h 1.41 Questão 41 Prove + C mc p h C p mc 0 h = C p m+h (C 0 n) + (C 1 n) + (C n) (C n n) = C n n 1.4 Questão 4 Quantos números entre 1 e têm exatamente a soma dos algarismos igual a 6? Resposta: Questão 43 De quantos modos n casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de forma que o marido e mulher não fiquem juntos? Resposta: n i=0 ( 1)i C i n i (n 1 i)! 1.44 Questão 44 Encontrar o número de r-sequências formadas por 0, 1 e onde o número de 0 s é par. Resposta: 3r +1 8