Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20

Transcrição

1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20

2 Alguns Conceitos Básicos de Contagem As ideias de contagem se relacionam com probabilidade. Dessa forma, alguns procedimentos básicos de contagem e enumeração serão apresentados. Regra da adição: Suponha que um procedimento, designado por 1, possa ser realizado de n1 maneiras. Suponha também que um segundo procedimento, designado por 2, possa ser realizado de n2 maneiras. Além disso, suponha que não seja possível que ambos os procedimentos 1 e 2 sejam realizados em conjunto. Então, o número de maneiras pelas quais poderemos realizar ou 1 ou 2 será n1 + n2. Diagrama de Árvore: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 2 / 20

3 GENERALIZANDO: Se existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder ser realizado de n i maneiras, i = 1,..., k, então, o número de maneiras pelas quais poderemos realizar ou o procedimento 1, ou o procedimento 2, ou... ou o procedimento k, é dado por n 1 + n n k, supondo-se que dois quaisquer deles não possam ser realizados conjuntamente. EXEMPLO 1: Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Ênio tenha dinheiro para assistir a apenas 1 evento. Quantos são os programas que Diego pode fazer no sábado? EXEMPLO 2: Uma caixa contém quatro lâmpadas de 40W, cinco de 60W e seis de 75W. Uma lâmpada é sorteada ao acaso. Qual a probabilidade que seja uma lâmpada de 40W ou 75W? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 3 / 20

4 Regra da multiplicação: Suponha que um procedimento, designado por 1, possa ser realizado de n1 maneiras. Admita que um segundo procedimento, designado por 2, possa ser realizado de n2 maneiras. Suponha também que cada maneira de executar 1 possa ser seguida por qualquer daquelas para executar 2. Então, o procedimento formado por 1 seguido de 2 poderá ser executado de n1 n2 maneiras. Diagrama de Árvore: GENERALIZANDO: Se existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder ser realizado de n i maneiras, i = 1,..., k, então, o procedimento formado por 1, seguido por 2,..., seguido pelo procedimento k, poderá ser executado de n 1 n 2... n k maneiras. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 4 / 20

5 Diagrama de Árvore Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 5 / 20

6 EXEMPLO 3: Se no exemplo anterior, Ênio tiver dinheiro para assistir a um filme e a uma peça, quantos são os programas ao todo que ele pode fazer? EXEMPLO 3: Suponha que para fazer uma viagem João Pessoa - Rio - João pessoa, Evânia pode usar como transporte o trem, o ônibus, o avião ou o carro. De quantos modos Evânia pode escolher os transportes se não deseja usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 6 / 20

7 PERMUTAÇÃO SIMPLES: PROBLEMA: Tenho n objetos distintos. De quantas maneiras eu posso dispor (permutar) esses n objetos? Exemplo 4: Como eu posso permutar as letras: a,b,c? Permutar os n objetos equivale a colocá-los dentro de uma caixa com n compartimento, em alguma ordenação. O primeiro compartimento pode ser ocupado por qualquer um dos n objetos, o segundo compartimento por qualquer um dos (n 1) objetos restantes,..., e o último compartimento apenas por um objeto. Aplicando-se a regra da multiplicação, temos que a caixa poderá ser organizada de n (n 1) (n 2)... 1 maneiras. Assim, o número de permutações de n objetos diferentes é dado por P n = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 7 / 20

8 EXEMPLO 5: Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO? Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO que começam e terminam por consoante? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 8 / 20

9 EXEMPLO 6: De quantas formas podemos colocar em fila um casal e seus 7 filhos (4 homens e 3 mulheres)? a) sem nenhuma restrição; b) de modo que os pais fiquem sempre juntos; c) de modo que os pais fiquem sempre separados; d) de modo que os quatro filhos homens fiquem sempre juntos; Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 9 / 20

10 EXEMPLO 6: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 10 / 20

11 ARRANJO SIMPLES: PROBLEMA: Tenho n objetos distintos. De quantas maneiras eu posso escolher r desses n objetos (0 r n)? Considerando novamente o esquema de encher uma caixa de n compartimentos, paramos desta vez, depois que o compartimento de ordem r tenha sido ocupado. O primeiro compartimento pode ser preenchido por qualquer um dos n objetos, o segundo compartimento por qualquer um dos (n 1) objetos,..., e o de ordem r por n (r 1) objetos. Aplicando-se novamente a regra da multiplicação, o procedimento completo poderá ser executado de n (n 1) (n 2)... (n r + 1) maneiras. Dessa forma, arranjos simples são todos os grupos distintos (ordenados) que diferem pela ordem e pela natureza dos elementos que compõem cada grupo. A n,r = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 11 / 20

12 EXEMPLO 7: Quantas palavras contendo três letras diferentes podem ser formadas? EXEMPLO 8: De quantos modos três pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 12 / 20

13 COMBINAÇÃO SIMPLES: PROBLEMA: Considere novamente n objetos distintos. De quantas maneiras eu posso escolher r desses objetos, sem considerar a ordem? EXEMPLO 9: Seja a, b, c, d e r = 2. Temos então: ab, ac, ad, bc, bd e cd. Não contaremos ba, ca, da,... porque os mesmos objetos estão incluídos e somente a ordem é diversa. Combinações simples são todos os grupos não ordenados que diferem entre si apenas pela natureza dos elementos e não pela ordem. Dessa forma, basta dividir o número de arranjos simples tomados r a r pelo número de permutações r a r. Logo, C n,r = A n,r P r = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 13 / 20

14 Observação 1.14: Um símbolo especial é empregado para esse resultado. ( ) n! n r!(n r)! = r ( ) n Os números são denominados coeficientes binomiais, porque r eles aparecem como coeficientes no desenvolvimento da expressão binomial (a + b) n. Teorema Binomial: (a + b) n = ( n n r=0 r ) a r b n r Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 14 / 20

15 Observação 1.15: Note que ( ) ( ) n n (i) = r n r (Números Binomiais Complemetares) (ii) ( n r ) = ( n 1 r 1 ) ( n 1 + r ) (Relação de Stifel) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 15 / 20

16 EXEMPLO 10: Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes? EXEMPLO 11: De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres? EXEMPLO 12: De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 16 / 20

17 Exercício 1: Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Dois artigos ésão escolhidos ao acaso sem reposição. Ache a probabilidade de que: a) Ambos sejam perfeitos. b) Ambos tenham defeitos graves. c) Ao menos um seja perfeito. d) No máximo um seja perfeito. e) Exatamente um seja perfeito. f) Nenhum deles tenha defeitos graves. g) Nenhum deles seja perfeito. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 17 / 20

18 Exercício 2: Suponha que no exemplo da lâmpada, duas sejam selecionadas ao acaso, uma após a outra. Qual a probabilidade que a) Exatamente duas sejam de 75W. b) Sair uma de 40W e uma de 60W. c) As lâmpadas sejam da mesma potência. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 18 / 20

19 Exercício 3: Para escolher as casas que serão entrevistadas em uma pesquisa, um estatístico decide fazer um sorteio aleatório. Dez fichas numeradas de 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (X, Y ), são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. A soma das fichas é o número da casa sorteada. Qual é a probabilidade da casa 10 ser sorteada? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 19 / 20

20 Exercício 4: Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois países determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 20 / 20