Matemática. Setor A. Índice-controle de Estudo. Prof.: Aula 37 (pág. 84) AD TM TC. Aula 38 (pág. 85) AD TM TC. Aula 39 (pág.

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1 Matemática Setor A Prof.: Índice-controle de Estudo Aula 7 (pág. 84) AD TM TC Aula 8 (pág. 85) AD TM TC Aula 9 (pág. 85) AD TM TC Aula 40 (pág. 87) AD TM TC Aula 41 (pág. 89) AD TM TC Aula 4 (pág. 89) AD TM TC Aula 4 (pág. 91) AD TM TC Aula 44 (pág. 91) AD TM TC Aula 45 (pág. 9) AD TM TC Aula 46 (pág. 94) AD TM TC Aula 47 (pág. 94) AD TM TC Aula 48 (pág. 96) AD TM TC Aula 49 (pág. 97) AD TM TC Aula 50 (pág. 97) AD TM TC Aula 51 (pág. 98) AD TM TC Aula 5 (pág. 99) AD TM TC Aula 5 (pág. 100) AD TM TC Aula 54 (pág. 101) AD TM TC

2 Aula 7 Introdução às técnicas de contagem Alguns exercícios de contagem. Revisar o número de elementos da união de dois conjuntos finitos. Contagem: Princípio da Adição. 1. Quantos elementos tem o conjunto A = {x IN 11 < x < 19}? Temos: A = {11, 1, 1,, 19} Como {1,,,, 19} tem 19 elementos e {1,,,, 10} tem 10 elementos, temos: {1,,,, 19} 19 elementos {1,,,, 10} 10 elementos {11, 1, 1,, 19} 9 elementos Resposta: O conjunto A tem 9 elementos.. Quantos elementos possui o conjunto A = {x IN 15, x, 6}? A = {16, 17, 18,, 5} O número de elementos de A é 5 15 = 0 Resposta: 0. Sejam os conjuntos A = {x IN 5 < x, 1} e B = {x IN 8, x < 0}. Obtenha o número de elementos que pertencem a A a B. Temos: 1º- modo A = {5, 6, 7,, 11} n(a) = 11 4 = 7 B = {9, 10, 11,, 0} n(b) = 0 8 = 1 A B = {9, 10, 11} n(a B) = 11 8 = n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(a B) = = 16 º- modo A B = {5, 6, 7,, 0} Daí: n(a B) = 0 4 = 16 Resposta: Sejam os conjuntos A = {x IN 7, x < 5} e B = {x IN 51 < x < 71}. Obtenha o número de elementos que pertencem a A a B. A = {8, 9, 10,, 5} n(a) = 5 7 = 18 B = {51, 5, 5,, 71} n(b) = = 1 A B = n(a B) = 0 n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) = = 9 Resposta: 9 Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo Leia os itens 1 e.. Faça os exercícios de 1 a 4. Faça os exercícios de 5 a 7. ensino médio ª- série 84 sistema anglo de ensino

3 Aulas 8 e 9 Princípios básicos da contagem Revisar o número de elementos do produto cartesiano de dois conjuntos finitos. Contagem: Princípio Fundamental da Contagem ( Princípio da Multiplicação).. Um homem possui 7 ternos, 5 camisas e pares de sapatos. De quantos modos ele pode escolher um terno, uma camisa e um par de sapatos? Devemos contar as triplas ordenadas (a, b, c), em que existem 7 possibilidades para a, 5 para b e para c. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: a e b e c 7 5 = 105 Resposta: 105 modos. 1. Existem estradas ligando a cidade A à cidade B, e 4 estradas ligando B a C. De quantos modos uma pessoa pode viajar de A para C, passando por B e utilizando dessas 7 estradas? Viajar de A até C, de acordo com o enunciado, implica escolher um par ordenado (a, b) em que a é o percurso AB, e b é o percurso BC. Para a existem possibilidades, e para b existem 4. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: AB BC 4 = 1 Resposta: 1 modos. 4. Quantos números naturais de algarismos podemos formar com os algarismos 1,,, 4, 5, 6 e 7? De vemos contar as seqüências (a, b, c), em que, para cada e l e m e n t o, existem 7 possibilidades. centenas dezenas unidades Em um campeonato de futebol participam 8 times. De quantos modos podemos ter os primeiros colocados? De vemos contar os pares ordenados (a, b) que podem ser formados com a b. Pa ra a temos 8 possibilidades, e para b, apenas 7. Esquema: 1º- lugar e º- lugar 8 7 = 56 Resposta: 56 modos. Resposta: 4 números ensino médio ª- série 85 sistema anglo de ensino

4 5. Quantos números naturais de algarismos d i s- t i n t o s podemos formar com os algarismos 1,,, 4, 5, 6 e 7? Devemos contar as seqüências (a, b, c), em que a b, a c e b c. existem 7 possibilidades para a escolha do algarismo da 1ª- casa 7 existem 6 possibilidades para a escolha do algarismo da ª- casa, pois não podemos repetir o algarismo que já foi escolhido para a 1ª- casa Logo: 7 Resposta: 1.09 números Nota O hábito de escrever ao lado da casa com restrição o algarismo que poderia ocupá-la facilita sobremaneira a resolução de exercícios em que haja mais de uma casa com restrição existem 5 possibilidades para a escolha do algarismo da ª- casa, pois nenhum dos dois escolhidos para as casas já preenchidas podem ser usados novamente Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos = 10 Resposta: 10 números Quantos números naturais pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1,,, 4, 5, 6 e 7? Como os números são pares, devem terminar por, 4 6; isso faz com que haja restrições ao preenchimento da última casa: 7. Quantos números naturais pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,,, 4, 5, 6 e 7? Temos restrição na última casa: Como os algarismos do número devem ser distintos, vamos perdendo um algarismo a cada casa preenchida. Assim, restam 6 possibilidades para a primeira casa (perdeu-se um algarismo na restrição), 5 possibilidades para a segunda e 4 possibilidades para a terceira. Logo: 6 Resposta: 60 números Chamamos de casa com restrição uma casa onde somente alguns dos candidatos podem entra r. Iniciamos o pre e n- chimento das possibilidades pelas casas com re s t r i ç ã o, p a ra que não aconteçam complicações posteriore s. Como o enunciado permite a repetição dos algarismos, temos 7 possibilidades para cada uma das casas restantes. 4 6 ensino médio ª- série 86 sistema anglo de ensino

5 AULA 9 Faça os exercícios de 17 a 19. Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 AULA 8 1. Leia os itens e 4.. Faça os exercícios de 8 a 1. AULA 8 Faça os exercícios de 1 a 16. AULA 9 Faça os exercícios de 0 a. Aula 4 0 Princípios básicos da contagem Exercícios sobre os Princípios da Adição e da Multiplicação. Problemas com duas casas com restrição. 1. No Brasil, as placas de automóvel são formadas por três letras, seguidas de quatro algarismos. Quantas placas podem ser formadas contendo somente vogais, todas distintas e com algarismo da unidade de milhar igual a 7? Temos 5 possibilidades para a primeira vogal, 4 para a segunda, e para a terceira. Usando o 7 no algarismo da unidade de milhar, e como podemos ter algarismos repetidos, são 10 possibilidades para cada casa de algarismo restante.. Com os algarismos ímpares, quantos números de algarismos distintos que estejam entre 700 e podemos formar? Os candidatos a ocuparem lugar na confecção do número são: 1,, 5, 7 e 9. Temos dois tipos de números: números de algarismos, maiores que 700 números de 4 algarismos, menores que Pelo Princípio da Adição, temos = 6 Resposta: 6 números Resposta: placas. ensino médio ª- série 87 sistema anglo de ensino

6 . Quantos números naturais pares e de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1,,, 5, 7? Candidatos: 0, 1,,, 5, 7 Os números em questão não podem começar por 0 e devem terminar em 0 : Se tentássemos resolver o exercício em um só bloco, possivelmente perderíamos detalhes importantes como: Quando o 0 estiver na última casa não haverá restrição na primeira casa. Para não cairmos nesse tipo de armadilha, evitaremos trabalhar com duas restrições; isto é, fixaremos uma delas e abriremos o problema em vários problemas de uma restrição só. Assim, temos: Pelo Princípio da Adição: = 108 Resposta: 108 números Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 Faça os exercícios de a 5. Faça os exercícios de 6 a 8. ensino médio ª- série 88 sistema anglo de ensino

7 Aulas 41 e 4 Arranjos Simples Fatorial Definição de Arranjos Simples e de Fatorial. Cálculo do número de Arranjos Simples pelo Princípio Fundamental da Contagem. Fórmula com o auxílio de Fatorial. 1. Calcule: a) 4! +! b) 7! c)! 4! d) ( 4)! 6! e)! a) 4! +! = = = 0 b) 7! = = Observe que 4! +! 7! c)! 4! = = 48 d) ( 4)! = 8! = = 40.0 Observe que! 4! ( 4)! 6! 6 5 4! e) = = 10!! 6! Observe que!!. Simplifique: 10! a)! 8! b) c) 8! + 7! 7! 10! + 11! + 1! 1! 10! ! a) = = 45! 8! 1 8! 8! + 7! 7!(8 + 1) b) = 8 7! + 7! = = 9 7! 7! 7! c) 10! + 11! + 1! 10! ! ! = = 1! ! 10!( ) 144 = = = ! 1 11 (n + 1)! n!. Simplifique a expressão n IN n! (n + 1)! n! n! Resposta: n 1 11 (n + 1)n! n! n!(n + 1 1) = = = n n! n! ensino médio ª- série 89 sistema anglo de ensino

8 4. Resolva a equação: (n + 1)! = 10(n + 1)n (n + 1)n(n 1)! = 10(n + 1)n Como (n + 1)n 0, dividindo os dois membros por (n + 1)n: (n 1)! = 10 (n 1)! = (n 1)! = 5! n 1 = 5 n = 6 Resposta: S = {6} 6. Resolva a equação: A n, + 1 A n, = A n + 1, n(n 1)(n ) + 1n(n 1) = (n + 1)n(n 1) Dividindo por n(n 1), pois n(n 1) 0: n + 1 = n + n = 8 Resposta: S = {8} A n, 5. Resolva a equação: = A n 1, 5 Do enunciado: A n, = 5 A n 1, n(n 1) = 5(n 1)(n ) Dividindo por (n 1), pois (n 1) 0: n = 5n 10 n = 10 n = 5 (convém) Resposta: S = {5} Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 AULA Leia os itens 5 e 6.. Faça os exercícios 9 e 0. AULA 4 Faça os exercícios de 4 a 6. AULA 41 Faça os exercícios de 1 a. AULA 4 Faça os exercícios 7 e 8. ensino médio ª- série 90 sistema anglo de ensino

9 Aulas 4 e 44 Permutações Simples Definição de Permutações Simples. Cálculo do número de Permutações Simples. 1. C o n s i d e re todos os anagramas da palavra PENSADOR. a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantos anagramas começam pela letra P? c) Quantos anagramas começam pelas letras P, E, N, juntas, e nessa ordem? d) Quantos anagramas possuem as letras P, E, N, juntas, e nessa ord e m? e) Quantos anagramas possuem as letras P, E, N j u n t a s? f) Quantos anagramas começam por vogal? g) Quantos anagramas terminam por consoante? h) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? A palavra apresenta 8 letras distintas, sendo vogais e 5 consoantes. a) Devemos dispor as 8 letras em 8 posições: b) Resposta: 40.0 anagramas. P Resposta: anagramas. c) Colocando PEN nas primeiras posições, resta-nos permutar as tras 5 letras. P E N P 8 5 8! Resposta: 10 anagramas. P 7 5 7! P 5 5 5! 5 10 d) A seqüência PEN funciona agora como um só elemento. Assim, devemos permutar o bloco formado por PEN com as letras restantes S, A, D, O, R. PEN + 5 letras P 6 = 6! = 70 Resposta: 70 anagramas. e) Observe que, para cada seqüência formada pelas letras P, E, N (como, por exemplo, no item anterior), temos P 6 = 6!. Como as letras P, E, N se permutam de P =! maneiras, temos: P 6 P = 6!! = 70 6 = 4.0 Em símbolos: _ + 5 letras e _ 6!! = 70 6 = 4.0 Resposta: 4.0 f) Temos possibilidades para a vogal na primeira posição, restando permutar as 7 letras restantes entre si. Resposta: anagramas. g) Temos 5 possibilidades para a consoante na última posição e, depois, permutamos as 7 letras re s t a n t e s. Resposta: 5.00 anagramas. h) Temos possibilidades de vogais na primeira posição e 5 possibilidades de consoantes para a última posição, restando permutar as 6 letras restantes. vogal vogal.. 7! ! 6! Resposta: anagramas... consoante consoante ensino médio ª- série 91 sistema anglo de ensino

10 . Uma empresa vai promover uma reunião de seus diretores e gerentes com os acionistas. Uma mesa é preparada para acomodar seus diretores e 4 gerentes, conforme a ilustração a seguir. De quantos modos é possível essa acomodação, se os diretores devem ocupar os três lugares centrais? Podemos acomodar os diretores de! maneiras, e os gerentes de 4!. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:! 4! = 6 4 = 144 Resposta: 144 modos. 4. Seis amigos vão ao cinema e devem ocupar as seis poltronas contíguas de uma determinada fileira. Entre eles há o casal Daniel e Adriana. a) De quantos modos eles podem ocupar os seis lugares, sabendo que Daniel e Adriana devem ficar juntos? b) De quantos modos eles podem ocupar os seis lugares, de modo que Daniel e Adriana, que estão brigados, não fiquem juntos em hipótese nenhuma? a) De vemos permutar o bloco formado por Daniel e Adriana com as 4 pessoas restantes e, também, trocar a o rdem dos dois dentro do bloco. 5!! = 40 Resposta: 40 modos. b) Calculamos o número de permutações possíveis com as 6 pessoas e descontamos aquelas em que Daniel e Adriana estão juntos. 6! 5!! = = 480 Resposta: 480 modos.. Quantos anagramas formados com as letras da palavra CAPETO possuem vogais e consoantes alternadas? Sendo v uma das vogais e c uma das consoantes, temos as disposições: c v Para cada disposição temos!! anagramas!! = 6 6 = 7 Resposta: 7 anagramas. v c c v v c v c c v Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 AULA 4 1. Leia o item 7.. Faça os exercícios 9 e 40. AULA 44 Faça os exercícios 4 e 44. AULA 4 Faça os exercícios 41 e 4. AULA 44 Faça os exercícios de 45 a 48. ensino médio ª- série 9 sistema anglo de ensino

11 Aula 45 Permutações Simples Cálculo do número de Permutações Simples. 1. Considere as permutações formadas com os algarismos 1,,, 4 e 5. Colocando-se os números assim obtidos em ordem crescente, qual a posição ocupada pelo número.415? Dispondo-se os números em ordem crescente, temos:. Considere os anagramas formados com as letras da palavra ANGLO. Em quantos anagramas temos a letra A antes da letra O (não necessariamente juntas)? Com as letras da palavra ANGLO temos 5! = 10 anagramas. Se pensarmos nas posições das letras A e O, A vem antes de O O vem antes de A. Assim, exatamente a metade deles tem A antes de O, pois a tra metade tem O antes de A. 5! Portanto: = 60 Resposta: Em 60 anagramas. 1. 4! ! 5 6 1! 5 Assim, até chegar ao número.415, temos = 57 números. Logo,.415 ocupa a 57ª- posição. Resposta: 57ª Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 Faça os exercícios de 49 a 51. Faça os exercícios de 5 a 54. ensino médio ª- série 9 sistema anglo de ensino

12 Aulas 46 e 47 Combinações Simples Cálculo do número de Combinações Simples 1. Calcule: C 7, + C, C 4, 0.. Um químico dispõe de 10 tipos de substâncias. De quantas maneiras ele poderá associar 4 dessas substâncias de modo que uma determ i n a d a substância sempre esteja na escolha efetuada? Se uma determinada substância deve estar sempre pres e n t e, resta ao químico escolher substâncias entre as 9 re s t a n t e s. 9! C 9, = = 84! 6! 7!! 4!! 4! + =! 0! 0! 4! Resposta: !! 4! = + = 1 4!! 1 1 4! = = 5 Resposta: 5. A diretoria de um centro acadêmico de uma faculdade é constituída por 5 estudantes do sexo masculino e do sexo feminino. Determine quantas comissões de 5 desses estudantes podem ser formadas de modo que cada uma tenha rapazes e moças. Para escolher os rapazes, temos C 5, modos, e para as moças, temos C, modos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: C 5, C, modos. Em símbolos: rapazes e moças C 5, C, = 4. Em um encontro de amigos todos trocaram cumprimentos com apertos de mão. Sabendo que aconteceram 66 apertos de mão, quantas pessoas se encontraram? Sendo n o número de pessoas, e observando que em um aperto de mão não importa a ordem, temos: C n, = 66 n!!(n )! n n 1 = 0 n(n 1)(n )! = 66 = 66 (n )! Resolvendo a equação do º- grau: n = 1 n = 11(não convém) Resposta: 1 5!! 5 = 4 = = 0!!! 1! 1 Resposta: 0 ensino médio ª- série 94 sistema anglo de ensino

13 5. De quantos modos podemos separar 10 pessoas em dois grupos, um de 7 pessoas e o tro de pessoas? Podemos escolher o grupo de 7 pessoas de C 10, 7 modos (pois a ordem não importa). Escolhido o grupo de 7, restam pessoas para se escolher o grupo de, o que significa que esse grupo já está praticamente escolhido. Resumindo: 7 pessoas e 10! C 10, 7 C, =! = 1 = 10 7!!! 0! 1 Resposta: 10 pessoas 6. Qual é o número de triângulos que podemos formar com 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e sobre tra reta paralela à primeira? r 1º- modo Supomos que todos os 7 pontos determinam triângulos, quando associados a, e descontamos as ligações a que não determinam triângulos. C 7, C 4, C, = 5 4 1= 0 º- modo Ter um triângulo significa escolher um vértice e uma base. vértice em r e base em s vértice em s e base em r 4 C, + C 4, = = 0 Resposta: 0 s AULA 47 Faça os exercícios de 6 a 64. Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 AULA 46 Faça os exercícios de 55 a 57. AULA 46 Faça os exercícios de 58 a 61. AULA 47 Faça os exercícios de 65 a 68. ensino médio ª- série 95 sistema anglo de ensino

14 Aula 48. Quantas diagonais possui um polígono convexo de n lados? Combinações Simples Cálculo do número de Combinações Simples 1. São dados 8 pontos em um plano, sendo que não existem quaisquer alinhados, com exceção de 5 deles que estão em uma mesma reta (figura a seguir). Quantas retas esses pontos determinam? Quando ligamos dois vért i c e s, temos um lado temos uma diagonal. Tomamos, portanto, todas as ligações, sem importar a ordem, dos n vértices a e descontamos os lados: C n, n = n! n =!(n )! n(n 1) = n = n n n = n(n ) 1º- modo Obtemos todas as combinações de 8 pontos a, descontamos as combinações formadas apenas pelos 5 pontos da reta suporte e somamos 1, que é a própria reta sup o rte dos 5 pontos. C 8, C 5, + 1 = = 19 º- modo Podemos formar reta ligando um ponto da reta suporte a um ponto de fora ligando pontos de fora a própria reta suport e. 5 + C, + 1 = = 19 Resposta: 19 Resposta: n(n ) Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 Faça os exercícios 69 e 70. Faça os exercícios 71 e 7. ensino médio ª- série 96 sistema anglo de ensino

15 Aulas 49 e 50 Permutações de elementos nem todos distintos Cálculo do número de permutações de elementos nem todos distintos Colocando na última casa: (, P ) 4! 4 = = 4 = 6!! Como esses números podem terminar em 1, temos: = 18 Resposta: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA? Temos 5 letras, das quais A e R. Logo: (, P ) 5! 5 = = 5 4 = 10!! Resposta: 10. Considere as letras da palavra ARRASADO. Quantos anagramas começam pela sílaba RA? A palavra tem 8 letra s, iguais a A e iguais a R. Colocando R na primeira posição e A na segunda, resta-nos permutar 6 letra s, em que temos letras iguais a A e um único R. R A P () 6 = 6! = 60! Resposta: 60. Quantos números naturais ímpares de 5 algarismos podemos escrever com os dígitos 1, 1,, e, respeitadas as repetições apre s e n t a d a s? Colocando 1 na última casa: P () 4! 4 = = 4 = 1! 6 letras A 1 4. Uma palavra tem 8 letras, sendo que uma delas comparece n vezes, e as tras não se repetem. Determine n, sabendo que o número de anagramas possíveis de serem formados com as letras dessa palavra é igual a 6. Do enunciado: P 8 (n) = 6 8! n! = 6 n! = 10 n! = n! = 5! n = 5 Resposta: n = 5 Livro Capítulo 47 Caderno de Exercícios Capítulo 47 AULA Leia o item 8.. Faça os exercícios 7 e 74. AULA 50 Faça os exercícios 77 e 78. AULA 49 Faça os exercícios 75 e 76. AULA 50 Faça os exercícios 79 e 80. ensino médio ª- série 97 sistema anglo de ensino

16 Aula 51 Situações gerais 1. Quantas são os divisores inteiros e positivos de 7? Decompondo 7 em fatores primos, temos 7 =. Para a formação de um divisor de 7 devemos escolher um divisor de e um divisor de. apresenta 4 divisores: 0, 1, e. apresenta divisores: 0, 1 e. Assim, pelo Princípio de Multiplicação temos: 4 = 1 divisores positivos Generalizando: Seja a decomposição de um número inteiro positivo N em fatores primos dada por N = a α b β c γ O número de divisores positivos de N é (α + 1) (β + 1) (γ + 1). Com os algarismos do conjunto {1,,, 4, 5, 6, 7} podemos formar 840 números de 4 algarismos distintos. Quantos desses números apre s e n t a m exatamente algarismos pares e algarismos í m p a re s? Escolhemos entre os elementos do conjunto, sem importar a ordem, algarismos pares e algarismos ímpares e, depois, permutamos os 4 algarismos escolhidos.! 4! C, C 4, 4! = 4 = 4! 1!!! Observação: Um tro modo seria quantificar a seqüência (Par, Par, Ímpar, Ímpar) e depois permutá-la, sendo dois iguais a par e dois iguais a ímpar. (Par, Par, Ímpar, Ímpar) (, 4 P ) 4! 4 = 7 = 4.!!. Um pequeno clube possui 8 conselheiros. Em sua eleição anual devem ser escolhidos entre eles 1 p residente, 1 vice-presidente e membros para o conselho fiscal. Sabendo que não é permitida a acumulação de cargas, de quantos modos é possível se fazer essa escolha? Presidente 8 Observação: Se usássemos uma tra ordem a resposta seria a mesma. Ex: Conselho fiscal e Presidente Vice C.. 8, e Vice. 7. C 6, modos. e Conselho fiscal e (PUC-RJ) Quantos divisores naturais o número 6! possui?. (U N I F E S P - S P) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo pro i- bida a acumulação de cargas. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? a) 64 b) 16 c) 5 d) 640 e) 160 ensino médio ª- série 98 sistema anglo de ensino

17 1. (I TA - S P) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham duas das letras a, b e c? a) 169 b) 157 c) 150 d) 151 e) 19. (ESPM-SP) Quantos divisores positivos possui o número N = 18 1? a) d) 6 b) e) 8 c) 4. Em um grupo formado por três homens e três m u l h e res, deverão ser escolhidos dois homens e duas mulheres e dispostos em uma fila. De quantos modos essa fila pode ser org a n i z a d a? Aula 5 Números binomiais Apresentar os números binomiais 1. Resolva a equação: C 9, x = C 9, x + 1 = Dessa igualdade, temos: x = x + 1 x = 1 (convém) 9 x 9 x + 1 x + x + 1 = 9 x = Resposta: S = {1} 8 5 (não convém). Resolva a equação: = Pela Relação de Stifel: + = = 9 x Dessa igualdade, temos: x = 6 (convém) x = (convém) Assim, x = x = 6 Resposta: S = {, 6} 9 x 9 6 Livro Capítulo 48 Caderno de Exercícios Capítulo Leia o item 1.. Faça os exercícios de 1 a. Faça os exercícios de 4 a 7. ensino médio ª- série 99 sistema anglo de ensino

18 Aula 5 Números binomiais Apresentar os números binomiais Usando a relação de Stifel: e = = n + 1 n 1. Resolva a equação: + = n n = + = = (n + 1)!! (n )! n! + =! (n )! n! (n )!! (n + 1)n(n 1)(n )! 6(n )! = n(n 1)(n )! + = (n )! Como n(n 1) não pode ser zero, dividindo os dois membros por n(n 1): n n(n 1)(n )(n )! 6(n )! 1 + = Multiplicando os dois membros da igualdade por 6: n = n 6 n = 10 n = 5 (convém) Resposta: S = {5} (n ) 6. Seja A um conjunto com n elementos. Calcule o número de subconjuntos de A, seja, C n, 0 + C n, 1 + C n, + + C n, n. Para cada elemento de A temos possibilidades: o colocamos no subconjunto em questão não o colocamos. Assim, temos: Conclusão: n 0 n n n = n. 1 n Efetuando + +, obtemos: a) b) c) d) e) Livro Capítulo 48 Caderno de Exercícios Capítulo 48 Faça os exercícios 8 e 9. Faça os exercícios de 10 a 1. ensino médio ª- série 100 sistema anglo de ensino

19 Aula 54 Binômio de Newton Apresentar o desenvolvimento do binômio de Newton. Dê a soma dos coeficientes de (x y). Uma maneira seria desenvolver todo o binômio (exercício anterior) e calcular: Soma = = 1 Para não termos de efetuar o desenvolvimento, basta fazermos as variáveis assumirem o valor 1. Assim, fazendo x = y = 1, vem: Soma = ( 1 1) = 1 = 1 Resposta: 1 1. Desenvolva as potências: a) (x + ) 4 b) (x y) a) (x + ) 4 4 = 0 x x x 4 + x x 0 = 4 = 1 1 x x x x = = x 4 + 1x + 54x + 108x + 81 Resposta: x 4 + 1x + 54x + 108x + 81 b) (x y) = ( y) 0 (x) ( y) 1 (x) + ( y) (x) ( y) (x) 0 = = 8x 1x y + 6xy y Resposta: 8x 1x y + 6xy y Livro Capítulo 48 Caderno de Exercícios Capítulo Leia o item.. Faça os exercícios de 1 a 15. Faça os exercícios 17 e. Respostas da AULA E Respostas da AULA D. 16. C ensino médio ª- série 101 sistema anglo de ensino