Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 19 de Setembro de 2014

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1 Sumário 1 Análise Combinatória Questões de Vestibular IME-RJ, Adaptada ESPM-SP Mackenzie-SP, Adaptada UFRGS-RS FEMM-MG UFPel-PR UFPI ITA-SP s IME-RJ, Adaptada ESPM-SP Mackenzie-SP, Adaptada UFRGS-RS FEMM-MG UFPel-PR UFPI ITA-SP Referência Bibliográfica 9 1 Análise Combinatória 1.1 Questões de Vestibular IME-RJ, Adaptada O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme representado na figura.

2 Um ladrão observa de longe e percebe que: a senha utilizada possui 4 dígitos; o primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha; o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior. Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa ESPM-SP A quantidade de números naturais de 3 algarismos distintos cuja soma dos algarismos é 20 é: Mackenzie-SP, Adaptada Num avião, uma fila tem 7 poltronas dispostas, como na figura abaixo. Os modos de João e Maria ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que não haja um corredor entre eles, são em número de:

3 1.1.4 UFRGS-RS Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: FEMM-MG Uma fábrica de sucos de frutas utiliza laranjas, uvas, maçãs, abacaxis e kiwis para produzir seus produtos, que são sucos com um único tipo de fruta ou sucos com mistura de dois tipos d frutas. Aos sucos produzidos pode ser adicionado açúcar ou adoçante. A quantidade de sucos diferentes que essa fábrica produz é: UFPel-PR Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. Esses arranjos são chamados permutações simples e o número de permutações é dado pelo produto n(n 1)(n 2) Utilizando essa teoria, o valor de n! na expressão (n + 1)! 2n! = 6(n 1)! é: UFPI A quantidade de números inteiros ímpares de três dígitos, escritos na base 10, tais que em cada um deles nenhum dígito se repita, é igual a:

4 1.1.8 ITA-SP Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c?

5 1.2 s IME-RJ, Adaptada Do enunciado, concluímos que temos três casos para a linha em que estão o primeiro e o último dígitos: 1. estão na segunda linha; 2. estão na terceira linha; 3. estão na última linha. Observe que não podem estar na primeira linha pois não há linha imediatamente superior para o segundo e terceiro dígitos. 1. Neste caso, o primeiro dígito pode ser 4, 5 ou 6; o segundo pode ser 1, 2 ou 3; o terceiro também pode ser 1, 2 ou 3; e o quarto pode ser 4, 5 ou 6. Utilizando o Princípio Multiplicativo, temos que o número de senhas possíveis é = 81, para este caso. 2. Este caso é praticamente igual ao caso anterior, pois também temos três possibilidades para cada dígito e, assim, o número de senha possíveis é = 81, para esse caso. 3. Já neste caso, para o primeiro e para o último dígito só temos uma possibilidade, o 0. E para o segundo e para o terceiro temos as possibilidades 7, 8 ou 9. Portanto, o número de senhas possíveis para esse caso é = 9. Agora, somando o número de senhas possíveis encontrado em cada caso, temos = 171, que é o número de senhas que o ladrão deve digitar para, com certeza, conseguir entrar na casa.

6 1.2.2 ESPM-SP Vamos começar descobrindo quais são as sequências de três algarismos distintos cuja soma deles é 20. {3, 8, 9} {4, 7, 9} {5, 6, 9} {5, 7, 8} Agora, observe que para cada caso acima é possível formar 6 números de três algarismos, basta fazer a permutação simples de 3 elementos. Então, temos um total de = 24 números naturais de 3 algarismos distintos cuja soma dos algarismos é Mackenzie-SP, Adaptada Como eles não podem estar separados por um corredor, vamos separar em três casos: Eles estão nas duas poltronas da esquerda; Eles estão nas duas poltronas da direita; Eles estão nas três poltronas do meio. Para o primeiro caso, há P 2 = 2! = 2 1 = 2 modos diferentes para que João e Maria ocupem os lugares. E para o segundo caso também há 2 modos diferentes. Para o terceiro caso, se fixarmos uma pessoa em uma poltrona, há duas possibilidades para a outra pessoa escolher o lugar. Como há três possibilidades para fixar a pessoa, temos que o total de possibilidades é 3 2 = 6, para esse caso. Logo, o total de maneiras diferentes para João e Maria ocupares as poltronas, sem que haja um corredor separando-os é = 10.

7 1.2.4 UFRGS-RS Do enunciado, temos que para a escolha de cada linha há três possibilidades e para a escolha de cada espaço há duas possibilidades. Como o código possui 5 linhas e 4 espaços, utilizando o Princípio Multiplicativo obtemos = = 3888 possibilidades para representar os preços FEMM-MG Vamos separar em dois casos: Suco com um único tipo de fruta; Suco com dois tipos de frutas. No primeiro caso, temos que escolher uma das 5 possibilidades de frutas e uma das 2 possibilidades para adoçar o suco. Então, pode-se produzir 5 2 = 10 sucos diferentes. No segundo caso, temos que escolher dois tipos de frutas e uma das 2 possibilidades para adoçar o suco. Observe que não faz sentido escolher duas frutas iguais, pois voltaríamos para o primeiro caso; e escolher tanto laranja e uva quanto uva e laranja estamos produzindo o mesmo suco. Portanto, para a escolha dos tipos de frutas temos = 10 possibilidades diferentes. Assim, podemos produzir 10 2 = 20 sucos diferentes, para esse caso. Logo, o total de sucos diferentes que se pode produzir é = UFPel-PR Para resolvendo a equação (n + 1)! 2n! = 6(n 1)!, vamos começar abrindo os fatoriais maiores até o menor (n + 1)! 2n! = 6(n 1)! (n + 1) n (n 1)! 2 n (n 1)! = 6(n 1)! Agora, colocamos o fator comum em evidência, para então simplificar (n 1)![(n + 1) n 2n] (n 1)! = 6

8 (n + 1) n 2n = 6 n 2 + n 2n 6 = 0 n 2 n 6 = 0 Utilizando a fórmula para resolver a equação do 2 grau, temos n = 3 ou n = 2 No contexto do problema não faz sentido o valor negativo, então n = 3. Portanto, n! = 3! = UFPI Vamos começar considerando as restrições: O último dígito do número deve ser ímpar; O primeiro dígito não pode ser 0. Então, para o último dígito temos 5 possibilidades. Para o primeiro dígito, temos 8 possibilidades, pois não consideramos o 0 e já utilizamos um algarismo na última posição. E para o dígito do meio temos também 8 algarismos, pois agora podemos utilizar o 0, mas já utilizamos 2 algarismos nas outras posições. Logo, obtemos o total de = 320 números ímpares de três algarismos distintos ITA-SP Do enunciado, concluímos que precisamos formar anagramas de 4 letras distintas, sendo que 2 delas devem ser do conjunto {a, b, c} e as outras duas devem ser do conjunto {d, e, f, g, h, i, j}. Considerando as duas letras do primeiro conjunto como * e do segundo conjunto como *, podemos ter os seguintes casos: E para cada caso, há 3 possibilidades para a primeira * e 2 para a segunda *; há 7 possibilidades para a primeira * e 6 para a segunda *. Então, em cada caso temos = 252 possibilidades.

9 Como são 6 casos, temos que = 1512 é o número total de anagramas possíveis, respeitando as restrições do enunciado. 2 Referência Bibliográfica BARROSO, J. M. Conexões com a Matemática. Vol. 2, 1. ed. São Paulo: Editora Moderna, 2010.