ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 ANÁLISE OMBINATÓRIA

2 ANÁLISE OMBINATÓRIA é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los. A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc. 2

3 PRINÍPIO FUNDAMENTAL DA ONTAGEM Diagrama da Árvore

4 1. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas(a,b,c) onde a {,K},b {,K} e c {,K}. 4

5 Pelo Diagrama da Árvore K K K K K K K K K K K K K K K K K K - K 5

6 PRINÍPIO FUNDAMENTAL DA ONTAGEM Princípio Multiplicativo

7 PRINÍPIO FUNDAMENTAL DA ONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E 1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E 2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : E n é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E 1. E E k é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (onsidere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) =

8 Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados? Alguns números possíveis Usando o princípio fundamental da contagem: : : : = números fixo

9 Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? = 9900 maneiras

10 ANÁLISE OMBINATÓRIA FATORIAL 5! = = 120 4! = = 24 3! = = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 ONVENÇÃO n! = n.(n 1). (n 2). (n 3) Exemplo: alcular o valor de: a) 4! + 3! b) 7! Observe que: c) 10! 8! = ! 90 = 8! !+3! 7!

11 (n + 1)! = (n + 1).n.(n 1).(n 2).(n 3)... (n + 1)! = (n + 1).n.(n 1)! d) 50! 49! 49! O conjunto solução de: ( 1)! ( n 1)! n é: 210 Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m 3)! = ! 49! 49! 49!(50 1) 49! ( n 1)! 210 ( n 1)! (n + 1).n.(n 1)! (n 1)! = 210 (m 3)! = 1! ou (m 3)! = 0! m 3 = 1 m = 4 m 3 = 0 m = 3 Logo a soma dos valores de m é 7 49 (n + 1).n = 210 n 2 + n 210 = 0 n = 14 n = - 15 (não convém)

12 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO IMPORTA ORDEM OMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM FORMULÁRIO P n = n! p A n n! (n p)! p n n! (n p)!p!

13 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO OMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 01) ( UFS ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: n = 8 total p = 2 usa A p n n! (n p)!p! 2 8 8! 28 (82)!2! orda A = A OMBINAÇÃO

14 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO OMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine: a) Total de Anagramas P n = n! P 6 = 6! P 6 = 720 b)o número de anagramas que começam em N e terminam em O c)o número de anagramas que possuem N, U, M juntas. N U M E R O X E R O P 3. P 4 3!.4! = 144 N O d)o número de anagramas que possuem N, U, M juntas e nessa ordem. {U, M, E, R} P 4 = 4! = 24 P n = n! P 4 = 4! P 4 = 24

15 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO OMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 04) Determine o número de anagramas da palavra ARARÁ (não considere o acento) P 3,2,2 7 3! 7! 2! 2! 210

16 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO OMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 06) As pessoas presentes a uma determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é: n = x total p = 2 usa José arlos arlos José OMBINAÇÃO p n n! (np)!p! x! 28 (x 2)!2! x(x -1)(x-2)! 28 (x2)! = x 2 - x x 2 x 56 = 0 x = 8

17 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO OMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. om o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é: x 43 6! x! 43 (6 2)!2! (x 2)!2! x(x -1)(x-2)! (x2)!2.1 x 2 x =56 x 2 x 56 = 0 x = 8

18 USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO OMBINAÇÃO Importa ordem Não Importa ordem 08) ( UFS ) Assinale a(s) proposição(ões) ORRETA(S). 2 A x 01. A equação = 12 não possui solução. A 2 x 12 x! 12 (x 2)! x(x 1)(x 2)! 12 (x 2)! x(x 1) = 12 x 2 x 12 = 0 x 1 = 4 ou x 2 = 3 (não serve). 02. om a palavra AJU podemos formar 24 anagramas P n = n! P 4 = 4! = 24 V F 04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30. ou + e x Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de ARRANJO P.F. 7 6 =336 F F

19 09) ( UFS-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) ORRETA(S). 01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. om esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros.. 5! 4!.1!. 10! 6!. 4! Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (não considere o acento) F P 2 3 3! 2! 3 F 04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos ! 9!.3! 220 F 08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180. Terminados em 2 Terminados em 6 P 3 6 6! 120 3! 6! 3!.2! P 3, TOTAL: 180 V