Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística

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1 Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prova 1 de Probabilidade I Prof.: Fabiano F. T. dos Santos Goiânia, 15 de setembro de 2014 Aluno: Nota: Descreva seu raciocínio e desenvolva todas as contas. Dena todos os eventos necessários Não utilize caneta vermelha. Responda todas as perguntas nas folhas correspondentes. O pessimista reclama do vento, o otimista espera que ele mude, o realista ajusta as velas. (Provérbio chinês)

2 Questão 1 a) Uma classe é formada por 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco pessoas para representar esta classe. Qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por um homem e quatro mulheres? (1,00 ponto) O número de maneiras de montar uma comissão qualquer de cinco pessoas com esses 20 homens e essas 25 mulheres é dado por ( 45 5 ). O número de maneiras de escolher um homem e quatro mulheres para compor a comissão é dado por ( 20 1 )( 25 4 ). Logo, a probabilidade pedida vale ( 20 1 )( 25 4 ) ( 45 5 ). b) Escolhe-se ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a probabilidade de que o anagrama escolhido comece por X e termine po Z? (1,00 ponto) O número total de anagramas desta palavra é 6!. A quantidade de anagramas que começam por X e terminam por Z, somam 4!. Logo, a probabilidade pedida vale 4! 6! = 1 30.

3 Questão 2 Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma preta. Uma outra caixa B contém uma bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola é retirada também ao acaso. a) Suponha que as duas caixas são agrupadas em uma só. Qual é a probabilidade de, em duas retiradas ao acaso e sem reposição, obtermos bolas de cores diferentes? (1,00 ponto) A árvore de probabilidades é a seguinte: Dena os eventos: B i : extrair bola branca na i-ésima retirada, P i : extrair bola preta na i-ésima retirada e V i : extrair bola vermelha na i-ésima retirada, i = 1, 2. Dessa forma, a probabilidade pedida é P [(B 1 V 2 ) (B 1 P 2 ) (P 1 B 2 ) (P 1 V 2 ) (V 1 B 2 ) (V 1 P 2 )] = = 5 6. Alternativamente, poderíamos ter calculado a probabilidade de extrair duas bolas de cores iguais: Logo, a probabilidade pedida vale P [(B 1 B 2 ) (P 1 P 2 ) (V 1 V 2 )] = = = 5 6. b) Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Qual é a probabilidade de, em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha? (1,50 pontos) A árvore de probabilidades é a seguinte:

4 Considerando os mesmos eventos denidos no item (a), mas com i = 1, 2, 3, vamos calcular a probabilidade de não extrair nenhuma bola vermelha: P [(V 1 B 2 B 3 ) (P 1 B 2 B 3 ) (P 1 B 2 P 3 ) (P 1 P 2 B 3 ) (P 1 P 2 P 3 )] = = Logo, a probabilidade de obtermos pelo menos uma bola vermelha vale =

5 Questão 3 Numa dada população, foram estudadas famílias com exatamente três lhos. Os seguintes eventos são de interesse do pesquisador: A: o primeiro lho é homem; B: o segundo lho é homem e C: no máximo um lho é homem. a) Os evento são mutuamente independentes? Justique. (0,75 pontos) Usando a notação H para homem e M para mulher, um espaço amostral é S = {HHH, HHM, HMH, MHH, MMH, MHM, HMM, MMM}. Os eventos de interesse são: A = {HHH, HHM, HMH, HMM}, B = {HHH, HHM, MHH, MHM} e C = {MMM, MMH, MHM, HMM}. Precisamos também dos eventos: A B = {HHH, HHM}, A C = {HMM} e B C = {MHM}. Dessa forma, obtemos as seguintes probabilidades: P (A) = P (B) = P (C) = 1 2, P (A B) = 1 4, e P (A C) = P (B C) = 1 8. Como P (A B) = P (A) P (B), P (A C) P (A) P (C) e P (B C) P (B) P (C), concluímos que os únicos eventos independentes são A e B. b) Os eventos são totalmente independentes? Justique. (0,75 pontos) Note que e A B C =. Dessa forma, P (A B C) = 0 1 = P (A) P (B) P (C); logo, os 8 eventos A, B e C não são totalmente independentes. c) O que se pode dizer sobre os itens (a) e (b), para famílias com n lhos? Justique. (1,00 ponto) Precisamos da cardinalidade do espaço amostral e dos eventos de interesse. São elas: n(s) = 2 n, n(a) = n(b) = 2 n 1, n(c) = n + 1, n(a B) = 2 n 2, n(a C) = 1, n(b C) = 1 e n(a B C) = 0. Dessa forma, P (A) = P (B) = 1 n+1, P (C) =, P (A B) = 1 1, P (A C) = P (B C) = e 2 2 n 4 2 n P (A B C) = 0. Agora, A e B são independentes, pois P (A B) = P (A) P (B). Por outro lado, A e C serão 1 independentes se, e somente se, = 1 n+1 e isso ocorre só para n = 1. Pelo mesmo motivo, B 2 n 2 2 n e C serão independentes apenas no caso n = 1. O independência total não acontece em nenhum caso, pois não existe n N tal que 1 4 n+1 2 n = 0.

6 Questão 4 Uma caixa contém três moedas: duas honestas e uma de duas caras. aleatoriamente e jogada. Qual a probabilidade de que Uma moeda é escolhida a) o resultado do lançamento seja coroa? (1,50 pontos) Denotando por H: a moeda é honesta, D: a moeda é desonesta, C: sai cara e K: sai coroa, a árvore de probabilidades é a seguinte: Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total, obtemos P (K) = = 1 3. b) a moeda escolhida tenha sido a de duas caras, dado que o resultado do lançamento foi cara? (1,50 pontos) Pelo item (a), temos que P (C) = 1 P (K) = = 2 3. Aplicando o Teorema de Bayes, obtemos P (H c C) = P (C Hc ) P (H c ) = P (C) 2 3 = 1 2.