Matemática e Raciocínio Lógico Análise Combinatória Prof. Dudan

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1 Matemática e Raciocínio Lógico Análise Combinatória Prof. Dudan

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3 Matemática e Raciocínio Lógico ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!. n! = n.(n 1).(n 2).(n 3) Exemplo: 7! = ! = Faça você Determine: a) 5! = b) 6! = c) 4! + 2! = d) 6! 5! = e) 3!2! = f) 5! 3!= Princípio da Contagem Os primeiros passos da humanidade na matemática estavam ligados à necessidade de contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. Mas as situações se tornavam mais complexas, ficando cada vez mais difícil fazer contagens a partir da enumeração dos elementos. A análise combinatória possibilita a resolução de problemas de contagem, importante no estudo das probabilidades e estatísticas. Problema: Para eleição de uma comissão de ética, há quatro candidatos a presidente (Adolfo, Márcio, Bernardo e Roberta) e três a vice-presidente (Luana, Diogo e Carlos). 87

4 Quais são os possíveis resultados para essa eleição? PRESIDENTE VICE-PRESIDENTE RESULTADOS POSSÍVEIS PARA ELEIÇÃO 12 RESULTADOS POSSÍVEIS PARA ELEIÇÃO O esquema que foi montado recebe o nome de árvore das possibilidades, mas também podemos fazer uso de tabela de dupla entrada: VICE-PRESIDENTE PRESIDENTE L D C A AL AD AC M ML MD MC B BL BD BC R RL RD RC Novamente podemos verificar que são 12 possibilidades de resultado para eleição. 88

5 Meu Primeiro Concurso Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Dudan PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Você sabe como determinar o número de possibilidades de ocorrência de um evento, sem necessidade de descrever todas as possibilidades? Vamos considerar a seguinte situação: Edgar tem 2 calças (preta e azul) e 4 camisetas (marrom, verde, rosa e branca). Quantas são as maneiras diferentes que ele poderá se vestir usando uma calça e uma camiseta? Construindo a árvore de possibilidades: CALÇAS CAMISETAS MANEIRAS DE EDGAR SE VESTIR Edgar tem duas possibilidades de escolher uma calça para cada uma delas, são quatro as possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número de maneiras diferentes de Edgar se vestir é 2.4 = 8. Como o número de resultados foi obtido por meio de uma multiplicação, dizemos que foi aplicado o PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO. LOGO: Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: p 1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; p 2 é o número de possibilidades da 2ª etapa;... p k é o número de possibilidades da k-ésima etapa; Então o produto p 1. p 2... p k é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer. De maneira mais simples poderíamos dizer que: Se um evento é determinado por duas escolhas ordenadas e há n opções para primeira escolha e m opções para segunda, o número total de maneiras de o evento ocorrer é igual a n.m. De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto. Exemplo: EVENTO = etapa 1 x etapa 2 x etapa 3 x... etapa n Vamos supor que uma fábrica produza motos de tamanhos grande, médio e pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potência. O cliente ainda pode escolher as seguintes cores: preto, vermelha e prata. Quais são as possibilidades de venda que a empresa pode oferecer? Tipos de venda: = 18 possibilidades 89

6 Tamanho Motor Cor Grande Média Pequena Listando as possibilidades, tem-se: 125 Preta 250 Vermelha Prata 125 Preta 250 Vermelha Prata 125 Preta 150 Vermelha Prata Grande 125 cc preta Grande 125 cc vermelha Grande 125 cc prata Grande 250 cc preta Grande 250 cc vermelha Grande 250 cc prata Média 125 cc preta Média 125 cc vermelha Média 125 cc prata Média 250 cc preta Média 250 cc vermelha Média 250 cc prata Pequena 125 cc preta Pequena 125 cc vermelha Pequena 125 cc prata Pequena 250 cc preta Pequena 250 cc vermelha Pequena 250 cc prata Problema: Os números dos telefones da cidade de Porto Alegre têm oito dígitos. Determine a quantidade máxima de números telefônicos, sabendo que os números não devem começar com zero. Resolução: 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = Problema: Utilizando os números 1,2,3,4 e 5, qual o total de números de cinco algarismos distintos que consigo formar? Resolução: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = Uma pessoa está dentro de uma sala onde há sete portas (nenhuma trancada). Calcule de quantas maneiras distintas essa pessoa pode sair da sala e retornar sem utilizar a mesma porta. a) 77 b) 49 c) 42 d) 14 e)

7 Meu Primeiro Concurso Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Dudan 2. Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de três notas musicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é: a) 3 b) 21 c) 35 d) 210 e) A figura abaixo pode ser colorida de diferentes maneiras, usando-se pelo menos duas de quatro cores disponíveis. Sabendo-se que duas faixas consecutivas não podem ter cores iguais, o número de modos de colorir a figura é: a) 12 b) 24 c) 48 d) 72 e) O número de frações diferentes entre si e diferentes de 1 que podem ser formados com os números 3, 5, 7, 11, 13, 19 e 23 é: a) 35 b) 42 c) 49 d) 60 e)

8 5. Lucia está se preparando para uma festa e separou 5 blusas de cores diferentes (amarelo, preto, rosa, vermelho e azul), 2 saias (preta, branca) e dois pares de sapatos (preto e rosa). Se nem o sapato nem a blusa podem repetir a cor da saia, de quantas maneiras Lucia poderá se arrumar para ir a festa? a) 26 b) 320 c) 14 d) 30 e) 15 Identificação A ORDEM IMPORTA? SIM NÃO ARRANJO COMBINAÇÃO USA TUDO E EMBARALHA? PERMUTAÇÃO 92

9 Meu Primeiro Concurso Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Dudan Permutação Permutação Simples É caracterizada por envolver todos os elementos, nunca deixando nenhum de fora. Muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras. Fórmula: P n = n! Exemplo: Quantos anagramas possui a palavra AMOR. Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = = 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA... Faça você 6. Quantos anagramas possui a palavra CHAPÉU? a) 24 b) 40 c) 120 d) 720 e)

10 7. Quantos anagramas possui a palavra GAÚCHOS de modo que as vogais fiquem juntas? a) 24 b) 40 c) 120 d) 720 e) Cinco amigos Ana, Bernardo, Carlos, Débora e Elisa estão sentados num banco de uma praça. Calcule de quantas maneiras podemos dispô-los sendo que Ana, Bernardo e Carlos sempre estejam juntos. a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 E se houver elementos repetidos?? Assim, temos a Permutação com Repetição na qual deveremos descontar" os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura. Permutação com repetição 94

11 Meu Primeiro Concurso Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Dudan Faça você 9. Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA. a) 24 b) 60 c) 120 d) 720 e) Calcule de quantas maneiras podemos enfileirar quatro bolinhas vermelhas, uma preta e 2 azuis, sendo todas as bolinhas indistinguíveis a não ser pela cor. a) b) 720 c) 210 d) 120 e) Uma pessoa dispõe de 4 livros de matemática, 2 livros de física e 3 livros de química, todos distintos entre si. O número de maneiras diferentes de arrumar esses livros numa fileira de modo que os livros de cada matéria fiquem sempre juntos é: a) b) c) d) e) Arranjo É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo!), em que a ordem faz diferença. Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, situações em que houver hierarquia. Fórmula: A n p = n! (n p)! Dica: Deve ser resolvido usando o P. F da Contagem 95

12 Exemplo: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Solução: As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas; para a segunda, 9; e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: = 720. Observe que 720 = A 10,3 Faça você 12. Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? a) 90 b) 60 c) 45 d) 15 e) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? a) 69 b) c) d) e) Num curso de pós-graduação, Marcos, Nélson, Osmar e Pedro são candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Serão escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar podem ser formadas? a) 24 b) 18 c) 16 d) 12 e)

13 Meu Primeiro Concurso Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Dudan Combinação É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo!) onde a ordem NÃO faz diferença. Muito comum em questões de criação de grupos, comissões e agrupamentos em que não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos. Fórmula: Dica: Só pode ser resolvido usando a fórmula, mas iremos aprender o método prático! Calcule: Exemplo Resolvido: Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher as 2 questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação. Aplicando a fórmula, chegaremos a: C5,2 = 5! / [(5-2)!. 2!] = 5! / (3!. 2!) = / ! = 20/2 = 10 Método Prático e Combinação Complementar Para não perder tempo, poderíamos aplicar o método prático: 10 Para isso, basta usar a regra: rebobinar o n até o total de p itens e dividir pelo p fatorial. 97

14 Calcule pelo Método Prático: a) C 5,2 = b) C 10,4 = c) C 8,1 = d) C 7,5 = São combinações que têm o mesmo resultado final. Ambos tem o mesmo resultado. Dica: Combinações Complementares agilizam os cálculos: C 5,2 = C 5,3 pois 2 e 3 se complementam para somar 5. Exemplo: a) C 20, 18 = C 20, 2 b) C 9, 6 = C 9, 3 c) C 10, 4 = C 10,6 Faça você 15. Os 32 times que jogarão a Copa do Mundo 2014 no Brasil estão agrupados em oito grupos de quatro seleções cada. As quatro seleções de cada grupo se enfrentarão uma única vez entre si, formando a primeira etapa da copa. Calcule a quantidade de jogos que cada grupo terá. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)

15 Meu Primeiro Concurso Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Dudan 16. As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 9, para participar da gincana da quermesse da cidade onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas? a) b) c) 728 d) 120 e) Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que essa lanchonete poderá vender é de: a) 720 b) 70 c) 150 d) 300 e) Uma pizzaria permite que seus clientes escolham pizzas com 1, 2 ou 3 sabores diferentes dentre os 7 sabores que constam no cardápio. O número de pizzas diferentes oferecidas por essa pizzaria, considerando somente os tipos e número de sabores possíveis, é igual a: a) 210 b) 269 c) 63 d) 70 e) Em uma sala existem 10 pessoas, sendo 8 mulheres e 2 homens. O número de possibilidades de formar, com essas 10 pessoas, um grupo que contenha exatamente 3 mulheres e 2 homens é: 3 a) C 8 5 b) C 10 3 c) 2C 8 5 d) A 10 e) A

16 20. Numa Câmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. O número de comissões de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3 vereadores do partido A, 2 do partido B e 2 vereadores do partido C, é igual a a) 7 b) 36 c) 152 d) e) Gabarito: 1. C 2. D 3. E 4. B 5. C 6. D 7. D 8. D 9. B 10. E 11. A 12. A 13. D 14. D 15. E 16. A 17. E 18. C 19. A 20. D 100